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1- Soient K un corps et E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L( E ) un endomorphisme de E. Montrer que u est injectif si et seulement si l’image d’une base de E par u est une base.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPA S2 alg`ebre

Responsable : Christine Huyghe Contr ˆole Continu du 21 mai 2013. Dur´ee : 3h.

Il sera accord´e le plus grand soin `a la qualit´e de la r´edaction. Sont interdits : les docu- ments, les t´el´ephones portables, les baladeurs, et tout autre objet ´electronique (calcula- trice, ...). Le barˆeme not´e n’est qu’indicatif.

Cours (4 pts). Soit K un corps.

1- Soient K un corps et E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L( E ) un endomorphisme de E. Montrer que u est injectif si et seulement si l’image d’une base de E par u est une base.

Vrai/Faux (6 pts). Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier votre r´eponse : donner une d´emonstration si vous trouvez que l’affirmation est juste.

Dans le cas contraire, donner un contre-exemple.

a- Soient E un C -espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L( E ) un endomor- phisme de E tel que u

3

= Id. Alors les valeurs propres λ de u v´erifient λ

3

= 1.

b- Soient E = C

3

et u ∈ L( E ) , alors si u

3

= 0, on a u

2

= 0.

c- Soient E = C

3

, u ∈ L( E ) , x ∈ E, alors il existe λ

1

, λ

2

, λ

3

, λ

4

∈ C non tous nuls, tels que λ

1

x + λ

2

u ( x ) + λ

3

u

2

+ λ

4

u

3

( x ) = 0.

d- Soit t ∈ R , les 4 vecteurs suivants forment une base de C

4

:

U =

 1 0 1 0

 , V =

 1 t

2

+ 1

1 0

 , W =

 1 0 0

− 2

 , Z =

 1 0

− 1 0

 .

e- Soient K un corps et E un K-espace vectoriel de dimension finie, f , g ∈ L( E ) , alors Im ( f + g ) ⊂ Im ( f ) + Im ( g ) .

f- Deux matrices de M

n

( C ) qui ont mˆeme rang ont aussi mˆeme trace.

Exercice 1 (5 pts). a- Soit A = ( a

i,j

) ∈ M

3

( R ) . Calculer Tr ( A (

t

A )) en fonction des coefficients a

i,j

et montrer que Tr ( A (

t

A )) = 0 si et seulement si A = 0.

b- Montrer que l’application Φ

A

:

M

3

( R ) → R

M 7→ Tr ( AM ) ,

1

(2)

est une forme lin´eaire non nulle si A 6= 0, ce qu’on suppose dans la suite de l’exercice.

c- Soient H

A

= Ker ( Φ

A

) et H = Ker ( Φ

Id

) . Quelle est la dimension de H

A

? Donner une base de H. (Indication : on pourra chercher une base constitut´ee de la somme de au plus 2 matrices ´el´ementaires).

1- a- On suppose que A est inversible, donner une base de H

A

. d- Soit

J =

1 0 0 0 0 0 0 0 0

 .

Donner une base de H

J

constitu´ee de matrices ´el´ementaires.

e- Soit A une matrice de rang 1. Donner une base de H

A

. Exercice 2 (6 pts) Soit t ∈ R , et A ∈ M

3

( C ) la matrice

− 1 0 0

2 2 + t 2

1 0 1 − t

 .

a- Calculer P

A

( X ) le polyn ˆome caract´eristique de la matrice A, et le factoriser.

b- Quelles sont les valeurs propres complexes de A ?

c- Discuter, suivant les diff´erentes valeurs de t, la dimension des sous-espaces propres (dans C

3

) associ´es `a A.

1- Pour quelles valeurs de t la matrice A est-elle diagonalisable sur C ? sur R ? 2- On suppose que A est diagonalisable sur C .

d- Donner une matrice diagonale D et une matrice inversible P de GL

3

( C ) telles que

A = PDP

−1

. e- Montrer que

( A + Id )( A − ( 1 − t ) Id )( A − ( 2 + t ) Id ) = 0.

3- On suppose que t = − 1 / 2.

f- Montrer que A est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure.

g- Montrer qu’on a

( A + Id )( A − 3

2 Id )

2

= 0.

2

Références

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