MPSI B Année 2016-2017. Énoncé DS 9 le 21/04/17 29 juin 2019
Exercice
Soit E un R-espace vectoriel de dimension nie, U et V deux bases de E , la matrice de changement de base de U vers V est notée P .
Soit f un endomorphisme de E , exprimer Mat
VU f en fonction de P et de Mat
U V f .
Problème 1.
On note B = (1, X, X 2 ) la base canonique du R-espace vectoriel des polynômes à coe- cients réels de degré inférieur ou égal à 2 noté R 2 [X ] . Lorsque P et Q sont deux polynômes et a un réel, le polynôme P b (Q) est obtenu en substituant Q à X dans l'expression de P . Le réel P e (a) est obtenu en substituant a à X dans l'expression de P .
On dénit 1 les deux applications suivantes : f :
R 2 [X ] → R 2 [X]
P → 1 2 h
P( b X
2 ) + P b ( X + 1
2 ) i ϕ :
( R 2 [X ] → R P → P e (1)
On rappelle aussi que l'on note f 0 = Id R
2[X] et, pour tout n ∈ N ∗ , f n = f ◦ f n−1 .
Partie I.
1. Vérier que f est bien à valeurs dans R 2 [X ] et montrer que f est linéaire.
2. Montrer que ϕ est linéaire.
3. Écrire la matrice de f dans la base B de R 2 [X ] . 4. L'application f est elle injective ? surjective ?
5. Déterminer une base de ker ϕ . Quelle est la dimension de ker ϕ ? 6. L'application ϕ est-elle injective ? surjective ?
1
d'après Épreuve toute lière du concours commun 2009 des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes
Partie II
On considère la matrice A ∈ M 3 ( R ) et la famille B 0 de R 2 [X ] :
A =
1 1
4 1 8 0 1
2 1 4
0 0 1
4
B 0 = 1, −2X + 1, 6X 2 − 6X + 1
1. Écrire la matrice de ϕ dans les bases canoniques de R 2 [X] et R. On notera L cette matrice.
2. a. Justier que la famille B 0 est une base de R 2 [X ] . b. Écrire la matrice de passage Q de B à B 0 .
c. Justier que Q est inversible et calculer son inverse.
3. a. Écrire la matrice D de f dans B 0 .
b. Pour tout n ∈ N, exprimer A n en fonction de puissances de Q et D .
c. Pour tout n ∈ N, exprimer, dans les bases canoniques de R 2 [X ] et R, la matrice de l'application de R 2 [X] dans R dénie par :
P 7→ ϕ(f n (P)) en fonction de L et de puissances de Q et D . 4. Montrer que
∀P ∈ R 2 [X] : (ϕ(f n (P ))) n∈N → Z 1
0
P(t)dt e
Partie III
1. Montrer que :
∀P ∈ R 2 [X], ∀n ∈ N : f n (P) = 1 2 n
2
n−1
X
k=0
P b ( X + k 2 n )
2. En déduire une deuxième démonstration (indépendante de celle de la partie II) de
∀P ∈ R 2 [X ] : (ϕ(f n (P ))) n∈
N → Z 1
0
P(t)dt e Ce résultat est-il toujours valable sans restriction sur le degré ?
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1609EMPSI B Année 2016-2017. Énoncé DS 9 le 21/04/17 29 juin 2019
Problème 2.
On note C = C 0 ([0, +∞[, C ) . On dira qu'une fonction f ∈ C est strictement positive lorsque f (t) ∈ R et f (t) > 0 pour tous les t ∈ [0, +∞[ . On note u ∈ C la fonction constante de valeur 1 . Pour toute fonction f ∈ C on dénit une fonction (notée T (f ) )
T (f ) :
[0, +∞[ → C
x 7→
f (0) si x = 0 1
x Z x
0
f (t) dt si x 6= 0
On notera simplement T (f )(x) la valeur en x de la fonction T (f ) . Pour tout réel c stricte- ment positif, on dénit une fonction N c par
∀f ∈ C, N c (f ) = max
[0,c]
|f |.
1. a. Soit f ∈ C , montrer que T (f ) ∈ C et que T dénit un endomorphisme 2 de C . b. Montrer que T (u) = u et que l'ensemble des fonctions strictement positives de C
est stable par T . On dira que T est stochastique.
c. Montrer que T (f ) est dérivable dans l'ouvert ]0, +∞[ . Pour x > 0 , préciser x(T (f )) 0 (x) en fonction de f (x) et de T(f )(x) .
d. Montrer que T est injective mais pas surjective.
2. Soit f ∈ C à valeurs réelles et a , b deux réels tels que 0 < a < b . Dans cette question seulement, on notera f = T(f ) et F la primitive de f nulle en 0 .
a. Montrer à l'aide d'une intégration par parties faisant intervenir f f = (xf) 0 f que
Z b a
f 2 (t) dt ≤ F 2 (a) a + 2
Z b a
f (t) f (t) dt.
b. En utilisant F 2 (a) = a 2 f 2 (a) , montrer que
Z b 0
f 2 (t) dt ≤ 4 Z b
0
f 2 (t) dt.
3. Soit c > 0 xé.
2
Dans un contexte d'analyse comme ici, on utilisera plutôt le mot opérateur que le mot endomorphisme.
a. Justier la dénition de N c . Montrer que
∀f ∈ C, N c (T (f )) ≤ N c (f ).
b. Soit 0 < x < y ≤ c . Montrer que
∀f ∈ C, |T (f)(y) − T (f )(x)| ≤ 2N c (f )
y (y − x).
c. Soit 0 < x , montrer que |T (f )(x) − T (f )(0)| ≤ max [0,x] |f − f (0)| . 4. Étude des valeurs propres.
Une valeur propre de T est un nombre complexe λ pour lequel il existe une fonction v ∈ C non identiquement nulle telle que T (v) = λv . L'ensemble des valeurs propres est appelé le spectre de l'opérateur.
a. Pour tout nombre complexe µ , on dénit la fonction p µ dans l'ouvert ]0, +∞[ par p µ (x) = x µ . Pour quels µ la fonction p µ se prolonge-t-elle à une fonction de C ? Calculer alors T (p µ ) .
b. En utilisant la question 3a, montrer que le module d'une valeur propre est inférieur ou égal à 1 .
c. En formant une équation diérentielle, déterminer le spectre de T . Bien vérier qu'il est inclus dans le disque unité. Quelles sont les fonctions v ∈ C telles que T(v) = v ?
5. On considère ici une fonction f ∈ C croissante. On note f n = T n (f ) et x n = f n (x) pour x ≥ 0 . On étudie la suite (x n ) n∈
N .
a. Soit x ≥ 0 , montrer que T (f )(x) ≤ f (x) et que T (f ) est croissante.
b. Montrer que, pour tout x ≥ 0 , la suite (x n ) n∈N converge. On note l(x) sa limite ce qui dénit une fonction l dans [0, +∞[ .
c. Montrer que l est continue. On admet que T (l) = l , en déduire la fonction l .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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