SoientE un K-espace vectoriel de dimension nie et u∈ L(E)

Problème : Endomorphismes échangeurs

Soient E un K-espace vectoriel de dimension nie et u ∈ L(E). On dit que u est échangeur s'il existe deux sous-espaces vectorielsF etG deE pour lesquels :

E=F ⊕G, u(F)⊂Getu(G)⊂F.

On souhaite démontrer la caractérisation suivante des endomorphismes échangeurs.

SoientE un K-espace vectoriel de dimension nie et u∈ L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes :

i) u est échangeur,

ii) il existe deux endomorphismes aetb deE tels quea²=b²= 0 etu=a+b. Théorème 1 : Caractérisation algébrique des endomorphismes échangeurs

Partie N^o1 : i) ⇒ ii) et un résultat préliminaire Soient E un K-espace vectoriel de dimension nie etu∈ L(E).

1. On supposeu échangeur et on noteF etG deux sous-espaces vectoriels deE pour lesquels : E =F⊕G, u(F)⊂Getu(G)⊂F.

On note en outrep_F (respectivement p_G ) la projection surF (respectivementG) parallèlement àG (respectivementF) et on pose :

a=p_F ◦u etb=p_G◦u.

Montrer quea² =b² = 0 etu=a+b.

2. SoientA etB deux sous-espaces vectoriels deE stables par upour lesquels : E =A⊕B. Montrer que siu^|A_|Aetu^|B_|B sont échangeurs alorsu l'est aussi.

La suite de ce problème est entièrement consacrée à la démonstration de l'implication ii)⇒ i).

Partie N^o2 : Cas d'un automorphisme

SoientE un K-espace vectoriel de dimension nien6= 0etu∈GL(E). On suppose qu'il existe deux endomorphismesaetb deE tels quea²=b²= 0 etu=a+b.

1. Montrer queKer(a)∩Ker(b) ={0}. 2. Montrer queE = Ker(a)⊕Ker(b). 3. En déduire que uest échangeur.

Partie N^o3 : Cas général.

Dans cette partie, on admet temporairement le résultat tout endomorphisme nilpotent est échan- geur que l'on démontrera dans la partie suivante.

1. SoientE un K-espace vectoriel de dimension nienetu∈ L(E). On souhaite établir le résultat suivant, appelé décomposition de Fitting de E par rapport à u : il existe p ∈ [[1, n]] tel que E= Ker(u^p)⊕Im(u^p).

1

(a) Montrer que, pour toutk∈N,Ker(u^k)⊂Ker(u^k+1) etKer(u^k) etIm(u^k) sont stables par u.

(b) Montrer qu'il existe k∈[[1, n]] tel que Ker(u^k+1) = Ker(u^k). Cet entier que l'on noterap est appelé l'indice deu.

(c) Montrer que, pour tout k>p,Ker(u^k) = Ker(u^p). (d) En déduire que E= Ker(u^p)⊕Im(u^p).

(e) Montrer queu^|Ker(u_|Ker(u^pp⁾) est nilpotent et queu^|Im(u_|Im(u^pp⁾) est un automorphisme de Im(u^p). 2. On conserve les notations de la question précédente, mais on suppose de plus qu'il existe deux

endomorphismesa, b∈ L(E)tels que a² =b² = 0 etu=a+b. (a) Montrer queu² commute avec aetb.

(b) En déduire que Ker(u^p) etIm(u^p) sont stables paraetb. (c) En déduire que uest échangeur.

Partie N^o4 : Cas nilpotent.

L'objectif de cette partie est de prouver que tout endomorphisme nilpotent est échangeur.

1. Un Résultat préliminaire.

SoientE un espace vectoriel de dimension nien6= 0,(f1,· · ·, fp)une famille libre deE^?formée de pformes linéaires et

B={x∈E / f₁(x) =· · ·=f_p(x) = 0}.

Dans cette question, on cherche à prouver queH est un sous-espace vectoriel deE de dimension n−p.

(a) Montrer queB est un sous-espace vectoriel de E.

(b) Pourquoi est-il possible de compléter la famille(f₁,· · ·, f_p)en une base(f₁,· · ·, f_n)deE^?. (c) Soit16i6n. Montrer que

∃x_i ∈E /∀ 16j6n, fj(xi) =δi,j.

Indication : On pourra utiliser l'applicationψ:E →Kⁿ qui à un vecteurx deE associe le n-upplet (f1(x),· · · , fn(x)).

(d) Montrer que la famille(x1,· · ·, xn) est une base deE. (e) Montrer queB = Vect(xp+1,· · ·, xn).

(f) En déduire que dim(B) =n−p.

2. À présent, soient E un K-espace vectoriel de dimension nie n6= 0 etu∈ L(E). On supposeu nilpotent d'indicep, c'est-à-dire que u^p−1 6= 0_L(E)= etu^p = 0_L(E).

(a) Justier l'existence d'un vecteury de E tel que u^p−1(y)6= 0.

Calculer la dimension du sous-espace vectorielVect(y, u(y),· · ·, u^p−1(y)), qu'on notera dé- sormaisA.

(b) En déduire que p6n.

(c) Montrer que sip=nalorsu est échangeur.

Indication : On procèdera par récurrence surn. On prendra garde quendésigne deux choses : la dimension de E et l'indice de nilpotence de u.

Dans la question suivante, on prouve par récurrence forte surn∈N^? la propriété qui suit.

2

Si E est un espace vectoriel de dimension nalors tout endomorphisme nilpotent deE est échangeur.

3. (a) Initialiser la propriété.

(b) On suppose donnén>2 tel que le résultat soit établi pour tous les entiersk allant de1 à n−1.

E désigne alors un espace vectoriel de dimension n ∈N^?, u un endomorphisme nilpotent de E etp son indice de nilpotence.

En vertu de 2.(c), on peut supposer quep∈[[1, n−1]]. i. Justier l'existence de ϕ∈E^? tel que ϕ(u^p−1(y))6= 0.

ii. Montrer que la famille(ϕ, ϕ◦u,· · · , ϕ◦u^p−1) est libre dansE^?. iii. On poseB ={x∈E /∀06i6p−1, ϕ(uⁱ(x)) = 0}.

Montrer queA etB sont stables par u. iv. Montrer queA∩B={0_E}.

v. Montrer que E =A⊕B. vi. Conclure.

3