Partie I - Dimension de l’espace vectoriel E.

(1)

SP´ ECIALE MP* : CORRIG´ E DU DEVOIR LIBRE

Partie I - Dimension de l’espace vectoriel E.

I.1. Preuve ´evidente et imm´ediate.

I.2. E est non vide car 0 ∈ E.

E est stable par combinaison lin´eaire.

Si (A, B) ∈ E

²

et (a, b) ∈ C

²

alors (aA + bB )J = aAJ + bBJ = aJ A + bJ A = J (aA + bB).

E est stable pour le produit : (AB)J = A(BJ) = A(J B) = (AJ )B = (J A)B = J(AB).

Enfin I ∈ E; donc E est une sous-alg`ebre de M

_n

( C ).

Il est imm´ediat que s est une application lin´eaire de E vers C . Calculons s(AB) = P

ⁿ

k=1

n

P

j=1

a

_i,j

b

_j,k

= P

ⁿ

j=1

a

_i,j

n

P

k=1

b

_j,k

= s(A)s(B).

Enfin s(I ) = 1.

I.3. On peut ´ecrire que E = Ker S ⊕ Vect{J}.

En effet toute matrice A ∈ E se d´ecompose de fa¸con unique en A = (A −

^s(A)_n

J ) +

^s(A)_n

J. I.4. On a J

²

= nJ donc X

²

− nX est un polynˆ ome annulateur scind´e ` a racines simples donc J est diagonalisable. J est de rang 1 donc dim Ker J = n − 1 et dim E

_n

(J ) = 1.

Si A ∈ E alors AJ = J A entraˆıne que A stabilise les sous-espaces propres de J .

R´eciproquement : si A stabilise les sous-espaces propres de J : soit X = X

₁

+ X

₂

o` u X

₁

∈ Ker J et X

₂

∈ E

_n

(J) alors AJ X = AJ (X

1

+ X

₂

) = AJ X

₂

= nAX

₂

et J A(X

1

+ X

₂

) = J AX

₁

| {z }

=0

+ J AX

₂

| {z }

=nAX2

donc AJ = J A.

On a alors dim C(J ) = (dim Ker J)

²

+ (dim E

_n

(J ))

²

= (n − 1)

²

+ 1.

Partie II - Matrice d’adjacence d’un graphe orient´ e.

II.1. On notera b

^(k)_i,j

le nombre de chemins deux ` a deux distincts du sommet x

_i

vers le sommet x

_j

terme général de la matrice notée B

_k

.

La formule est vraie pour k = 1 c’est-` a dire que A = B

₁

; on suppose qu’elle est vraie jusqu’au rang k − 1 avec k > 2 et en particulier on a B

_k−1

= A

^k−1

.

Tout chemin de longueur k entre x

i

et x

j

se d´ecompose en un chemin de longueur k − 1 entre x

_i

et un certain sommet x

_t

suivi d’une fl`eche entre x

_t

et x

_j

. Donc le nombre total de chemins deux ` a deux distincts entre x

_i

et x

_j

est alors ´egale ` a la somme des produits b

^(k−1)_i,t

a

_t,j

avec le sommet x

_t

qui balaie tout S. Donc b

^(k)_i,j

= P

ⁿ

t=1

b

^(k−1)_i,t

a

_t,j

. Cela signifie que B

_k

= B

_k−1

A d’o` u l’on tire B

_k

= A

^k

.

II.2. a. • Cette relation est manifestement r´eflexive.

• Antisym´etrie.

Supposons que x ≺ y et y ≺ x.

Si x = y c’est fini. Sinon on est dans la situation x

₁

= y

₁

, . . . x

_k−1

= y

_k−1

, x

_k

< y

_k

d’une part et y

₁

= x

₁

, . . . , y

_p−1

= x

_p−1

, y

p

< x

p

d’autre part. Par sym´etrie on a k = p;

enfin les deux inégalités restantes étant contradictoires cette situation est impossible.

• Transitivit´e.

Si x ≺ y et y ≺ z. On peut supposer x 6= y et y 6= z sinon c’est ´evident.

Alors x

₁

= y

₁

, . . . x

_k−1

= y

_k−1

, x

_k

< y

_k

et y

₁

= z

₁

, . . . y

_p−1

= z

_p−1

, y

_p

< z

_p

.

En choisissant q = min{k, p} on a x

₁

= z

₁

, . . . x

_q−1

= z

_q−1

, x

q

< z

q

c’est-` a-dire x ≺ z.

• Ordre total : On peut raisonner algorithmiquement en parcourant les caract`eres de gauche ` a droite.

On note x.(i) le i−i`eme caract`ere de x.

1

(2)

Pour i = 1 jusque N faire

si x.(i) < y.(i) alors FIN et x ≺ y sinon si x.(i) > y.(i) alors FIN et y ≺ x, sinon boucler

Enfin x = y.

b. • Pour d = 1 et N = 2 on a S = [[0, 1], [1, 0]]. La matrice d’adjacence est 0 1

1 0

.

• Pour d = 2 et N = 2 on a S = [[0, 1], [0, 2], [1, 0], [1, 2], [2, 0], [2, 1]].

La matrice d’adjacence est



 



0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0



 

 .

II.3. Algorithmique et programmation.

Les algorithmes seront d’abord décrits en métalangage puis codés en MAPLE.

a. Construction de la liste des sommets.

METALANGAGE.

On part du vecteur S = [[0], ... ,[d]] de longueur d+1 .

# Ce vecteur sera modifi´ e en place.

On donne une variable de boucle B initialis´ ee ` a 1 qui repr´ esente la longueur des cha^ ınes de S.

Tant que B <N faire (1) SS:=[] # vecteur vide

Pour L = 1 jusqu’` a L = longueur(S) faire (2) Pour x variant de 0 jusqu’` a d faire (3)

Tester si le dernier terme ` a droite de S[L] est diff´ erent de x et si oui faire

SS <- concat(SS,concat(sousvect(S[L],2..N),[x])) sinon rien

Fin de faire (3) Fin de faire (2) S := SS ; B := B + 1 Fin de faire (1)

On peut remarquer que dans l’ordre lexicographique les caract`eres les moins significatifs

´etant ` a droite cet algorithme renvoie alors une liste de sommets dans l’ordre lexicographique strict.

Par ailleurs tous les sommets sont trouv´es.

MAPLE.

restart;with(linalg):

sommet := proc(d,N) local i,S,B,L,x,SS ; S := [seq([i],i=0..d)];

B :=1;

while B < N do SS := [] :

for L from 1 to nops(S) do for x from 0 to d do

if (S[L][nops(S[L])]<>x) then SS := [op(SS),[op(S[L]),x]] fi od :

od :

(3)

S := SS : B := B+1:

od:

S;

end ;

b. Construction de la matrice d’adjacence.

METALANGAGE.

S = sommet(d,N) # S est un vecteur n = longueur(S)

A est une matrice carr´ ee n x n dont tous les termes sont nuls Pour i=1 jusqu’` a n faire (1)

Lire le sommet x = S[i]= x_1x_2 ...x_N Pour j=0 jusqu’` a d faire (2)

Si j <> x.(N)=x_N alors calculer y = x_2...x_N j calculer k = numero(y) # rang de y dans S A[i][k] := 1

Fin Si

Fin de faire (2) Fin de faire (1) MAPLE.

# la proc´ edure sommet est suppos´ ee connue (cf question pr´ ec´ edente)

# on utilise toujours la biblioth` eque linalg mat_adj := proc(d,N)

local S,A,i,j,u,y,k ; S := sommet(d,N) :

# nops renvoie la longueur du vecteur ou liste A:=matrix(nops(S),nops(S),(i,j)->0):

for i from 1 to nops(S) do u := S[i] ;

for j from 0 to d do

if (j<>u[N]) then y := [op(u[2..N]),j] : member(y,S,’k’) :

# member renvoie le num´ ero dans k non ´ evalu´ e k=eval(k):

A[i,k]:= 1 fi :

od : od : evalm(A);

end;

II.4. D’apr`es l’algorithme de la construction de la liste des sommets alors Card S = (1 + d)d

^N⁻¹

. On peut v´erifier la formule avec les exemples K(1, 2) et K(2, 2).

II.5. Cette relation caractérise les graphes tels que tout couple de sommets de ce graphe peut être relié par un et un seul chemin de longueur m ou (exclusif) de longueur m + k.

Partie III - Existence de solutions d’une ´ equation matricielle

III.1. a. Si A est une matrice satisfaisant ` a la relation et comme J est un polynˆ ome en A alors J commute avec A.

Donc J A = J A et on en conclut que A ∈ E d’apr`es I-1.

b. Comme A ∈ E il existe une constante d ` a élément de N (évident) telle que AJ = J A = dJ.

Il est clair que s(A) = d.

Si d = 0 alors comme A ∈ M

_n

{0, 1} il vient que A = 0 ce qui est impossible. Donc d ∈ N

^∗

.

(4)

Il suffit d’appliquer s ` a la relation de l’´equation P

_m,n

. Cela donne s(A)

^m

+ s(A)

^m+k

= s(J ) = n. D’o` u n = d

^m

+ d

^m+k

.

c. On a U =



 

  1 1 .. . 1



 

 

(i) Si A est solution avec d > 0 on a n´ecessairement AU = s(A)U . Il vient que U est vecteur propre de A associ´e ` a la valeur propre d = s(A).

(ii) Soit X ∈ Ker(A − dI). Alors AX = dX d’o` u ∀ t ∈ N : A

^t

X = d

^t

X. On en tire que (A

^m

+ A

^m+k

)X = (d

^m

+ d

^m+k

)X mais c’est aussi ´egal ` a J X . Donc nX = J X et on en conclut imm´ediatement que X ∈ Vect(U ).

Donc dim

C

Ker(A − dI) = 1.

(iii) Soit a ∈ C une valeur propre de A telle que a 6= d.

Alors si X est un vecteur propre associ´e il vient que AX = aX mais aussi que (a

^m

+ a

^m+k

)X = J X = (

P

n i=1

x

i

)U .

Si a

^m

+ a

^m+k

6= 0 alors X est colin´eaire ` a U est a = d ce qui est impossible.

Donc a

^m

+ a

^m+k

= 0 et a vaut 0 ou une racine k−i`eme de −1.

(iv) On utilise ici une propriété classique de la comatrice qui est la suivante adaptée ` a notre problème et ` a nos notations:

∀ λ ∈ C : (A − λI)B(λ) = B(λ)(A − λI) = χ

_A

(λ)I

[α] En faisant λ = d on obtient (A − dI)B(d) = B (d)(A − dI) = χ

_A

(d)I = 0. Donc Im B (d) ⊂ Ker(A − dI) d’o` u dim Im B(d) 6 1.

Les colonnes de B(d) sont proportionnelles ` a U d’après l’inclusion précédente.

Donc B (d) = [c

₁

U |c

₂

U | . . . |c

_n

U ].

[β] Si Rg(B(d)) = 0 alors B(d) = 0 ce qui est impossible. En effet Rg(A − dI) = n − 1 et donc cette matrice admet un cofacteur non nul.

On en conclut que Rg B(d) = 1.

Ensuite A

^T

∈ E et a les mˆeme valeurs propres que A. B(γ )

^T

est la transpos´ee de la comatrice de A

^T

− γI donc B

^T

= [d

₁

U|d

₂

U | . . . |d

n

U ] par cons´equent c

₁

= . . . = c

n

.

[γ] On d´erive la relation B(λ)(A − λI) = χ

_A

(λ)I par rapport ` a λ puis on fait λ = d.

On obtient −B(λ)+B

^′

(λ)(A −λI) = χ

^′_A

(λ)I puis −B(d)U = χ

^′_A

(d)U en multipliant ` a droite par U et en remarquant que U est vecteur propre de A.

Donc χ

^′_A

(d) 6= 0 d’o` u d est racine simple du polynˆ ome caract´eristique de A.

III.2. ´ Etude du cas o` u le nombre k est pair.

a. Un simple calcul donne A

^m

(I + A

^2h

)(A − dI) = (A

^m

+ A

^l+2h

)(A − dJ) = J (A − dJ) = J A − dJ = 0.

Ensuite comme (A

^h

− d

^h

I) = (A − dJ)S(A) o` u S(A) est un polynˆ ome de la matrice A il vient que A

^m

(I + A

^2h

)(A

^h

− d

^h

I) = A

^m

(I + A

^2h

)(A − dI)S(A) = 0S(A) = 0.

b. D’après la formule de la question précédente il est clair que les valeurs propres complexes de A

^h

sont inclues dans l’ensemble {0, i, −i, d

^h

}.

La matrice A ´etant trigonalisable sur C la matrice A

^h

est aussi trigonalisable sur C . On sait que A est semblable ` a une matrice triangulaire de diagonale principale (d, a

₁

, . . . , a

_n−1

) avec

|a

i

| ⁶ 1 d’apr`es III.1.d.(iii). Donc A

^h

est semblable ` a une matrice triangulaire de diagonale principale ´egale ` a (d

^h

, a

^h₁

, . . . , a

^h_n−1

).

Donc d

^h

est valeur propre simple de A

^h

.

La matrice A étant réelle i et −i ont même ordre de multiplicité ω(i) = ω(−i).

Donc Tr A

^h

= ω(i)i + ω(−i)(−i) + d

^h

= d

^h

> 0.

c. Notons par c

_i,j

le terme g´en´eral de la matrice A

^h

. Il est clair que les ´el´ements de A

^h

sont des entiers naturels (donc positifs ou nuls). Alors

Tr A

^2h

= X

(i,k)

c

_i,k

c

_k,i

= X

(i,k),i6=k

c

_i,k

c

_k,i

+ X

i

c

²_i,i

> X

i

c

²_i,i

(5)

Or comme c

_i,i

est entier naturel on a toujours c

²_i,i

> c

_i,i

. Donc Tr A

^2h

> Tr A

^h

> 0 et même élément de N

^∗

.

d. (i) On note e

_i

la colonne



 

  0

.. . 1 .. . 0



 

 

avec un seul 1 ` a la i−`eme position. On note u

_i,j

le terme

g´en´eral de la matrice I + A

^2h

.

Comme Tr A

^2h

> 1 il existe un indice q tel que u

q,q

> 2.

(ii)Alors U = J e

q

= A

^m

(I + A

^2k

)e

q

= A

^m



 

  u

_1,q

.. . u

_q,q

.. . u

_n,q



 

  .

(iii) Si on note cette fois par c

_r,s

le terme g´en´eral de la matrice A

^h

la formule ci-dessus donne

U =



 



j=n

P

j=1

c

_1,j

u

_j,q

.. .

j=n

P

j=1

c

_n,j

u

_j,q



 



Comme tous les termes qui interviennent dans ces relations sont des entiers naturels on en d´eduit n encadrements de la forme

0 6 c

_1,q

u

_q,q

6 1 , . . . , 0 6 c

_j,q

u

_q,q

6 1 , 0 6 c

_n,q

u

_q,q

6 1

Comme u

_q,q

> 2 on obtient que la colonne de rang q de A

^h

est nulle. Mais A ∈ E donc A

^h

∈ E. Une matrice élément de E et ` a coefficients positifs ou nuls ne peut avoir une rangée nulle que si elle est nulle ce qui est manifestement impossible.

III.3. ´ Etude du cas k impair.

a. N est une matrice de permutation, si u ∈ L( R

ⁿ

) est l’endomorphisme de matrice N dans la base canonique alors u(e

i

) = e

_i−1

pour i > 2 et u(e

₁

) = e

_n

. u est donc inversible et

u

⁻¹

(e

_i

) = e

_i+1

et u

⁻¹

(e

_n

) = e

₁

d’o` u Donc N

⁻¹

=



 

 

0 . . . 0 1

1 . .. 0

. .. ... ...

0 1 0



 

 

∈ M

_n

({0, 1}).

b. En remarquant que N

^k

C

i

= C

i−k

on remarque que pour chaque colonne C

i

on a (N + N

²

+ . . . + N

ⁿ

)C

i

= (I + N + . . . + N

ⁿ⁻¹

)C

i

= U

Donc N + N

²

+ . . . + N

ⁿ

= I + N + . . . + N

ⁿ⁻¹

= J.

c. (i) Il est clair que L

_i

B est la ligne de rang i de la matrice B . De plus B = C.

(ii)

[α] Conditions n´ecessaires sur H.

L

₁

H = L

₁

signifie que la premi`ere ligne de H est L

₁

. Il est clair que L

_i

N = L

_i+1

pour 1 6 i 6 n − 1.

Donc de L

₁

(N H) = L

₁

(HN

^p

) on tire que L

₂

H = (L

₁

H)N

^p

= L

₁

N

^p

.

Donc la deuxi`eme ligne de H est L

₁

N

^p

c’est-` a-dire la premi`ere ligne de la matrice N

^p

.

Ensuite on applique L

₂

` a gauche d’o` u L

₂

N H = L

₂

HN

^p

qui donne L

₃

H = (L

1

N

^p

)N

^p

=

L

₁

N

^2p

d’après le résultat obtenu ` a la ligne précédente. Donc la 3-ième ligne de H est L

₁

N

^2p

c’est-` a-dire la premi`ere ligne de N

^2p

.

(6)

On poursuit par r´ecurrence et on obtient la forme de H comme empilement de lignes:

H =



 

  L

₁

L

₁

N

^p

L

₁

N

^2p

.. . L

₁

N

^(n−1)p



 

 

Ce r´esultat prouve l’unicit´e de la matrice H en cas d’existence et donne son expression.

Chaque premi`ere ligne de N

^kp

ne contient que des 0 ou des 1 car ce sont des it´er´es d’une matrice de permutation (donc aussi matrice de permutation); on en conclut que H ∈ M

_n

{0, 1}.

[β] Condition suffisante. Il reste ` a montrer que la matrice H trouvée précédemment est solution du problème posé.

La condition L

₁

H = L

₁

est trivialement vérifiée. Il suffit de montrer que l’égalité L

i

(N H) = L

_i

(HN

^p

) est vérifiée pour tout entier 1 6 i 6 n (cela signifie que ces matrices ont les même lignes).

Or L

_i

(N H) = (L

_i

N )H = L

_i+1

H = L

₁

N

^(i+1)p

en remarquant que L

_n

N = L

₁

. Et L

_i

(HN

^p

) = (L

i

H)N

^p

= L

₁

N

^ip

N

^p

= L

₁

N

^(i+1)p

. Dont acte!

(iii) On remarque tout d’abord que, si p ≡ a[n] alors Q

p

= Q

a

car N

^p

= N

^a

donc, si on prouve que Q

_p

Q

_q

= Q

_pq

pour p et q dans N alors cette propri´et´e sera vraie dans Z car Q

p

Q

q

= Q

a

Q

_b

= Q

_ab

= Q

pq

o` u a et b d´esignent les restes des divisions de p et q par n.

On pose H = Q

_p

Q

_q

.

Alors L

₁

H = L

₁

(Q

p

Q

q

) = (L

₁

Q

p

)Q

q

= L

₁

Q

q

= L

₁

. Ensuite

N H = N (Q

p

Q

_q

) = (N Q

p

)Q

q

= (Q

p

N

^p

)Q

q

= Q

_p

N

^(p−1)

(N Q

q

) = Q

_p

N

^(p−1)

Q

_q

N

^q

N H = Q

_p

N

^(p−2)

N Q

_q

N

^q

= Q

_p

N

^(p−2)

Q

_q

N

^2q

On termine par r´ecurrence et on trouve N H = Q

_p

Q

_q

N

^pq

= HN

^pq

.

En vertu de l’unicité démontrée ` a la question précédente il vient que Q

p

Q

q

= Q

pq

.

d. (i) On peut ´ecrire (−d)

^m

= (−1)

^m

n + (−d)

^m+k

car k est impair. Ensuite on calcule N Q

_(−d)^m+k

= Q

_(−d)^m+k

N

^(−d)^m⁺^k

= Q

_(−d)^m+k

N

^(−d)^m⁺⁽⁻¹⁾^m⁺¹ⁿ

= Q

_(−d)^m+k

N

^(−d)^m

car N

⁽⁻¹⁾^m⁺¹ⁿ

= I.

En vertu de l’unicit´e il vient que Q

_(−d)^m

= Q

_(−d)^m+k

. (ii) f (X) = X X

^d

− 1

X − 1 , f (X

^−d

) = X

^−d

X

^−d²

− 1 X

^−d

− 1 donc f (X

^−d

)f (X) = X

^−d²

− 1

1 − X

^d

X X

^d

− 1

X − 1 = X

^−d²

− 1 X

⁻¹

− 1 =

d²−1

X

j=1

(X

⁻¹

)

^j

.

Par r´ecurrence on trouve

f (X

^(−d)⁽^s⁻¹⁾

)f (X

^(−d)⁽^s⁻²⁾

) . . . f (X

^(−d)

)f (X) = (

d^s−1

P

j=0

X

^−j

si s est pair et

d^s

P

j=1

X

^j

si s est impair .

(iii) La formule propos´ee est trivialement vraie pour s = 1.

Supposons qu’elle soit vraie au rang s.

Ecrivons ´ M

^s+1

= M

^s

M = Q

_(−d)^s

f (N

^(−d)⁽^s⁻¹⁾

)f (N

^(−d)⁽^s⁻²⁾

) . . . f (N

^(−d)

)f (N )M grˆ ace ` a l’hypoth`ese de r´ecurrence.

On remarque que

M

^s+1

= Q

_(−d)^s

f (N

^(−d)⁽^s⁻¹⁾

)f (N

^(−d)⁽^s⁻²⁾

) . . . f (N

^(−d)

)[f (N )Q

−d

]f (N ) On va avoir besoin de transformer f (N

^q

)Q

−d

.

On ´ecrit f (N

^q

)Q

−d

= P

d j=1

N

^jq

Q

_−d

= P

d j=1

Q

_−d

N

^−jqd

= Q

_−d

f (N

^−qd

) d’après les propriétés

(7)

fondamentales de la matrice Q

_−d

. Alors

M

^s+1

= Q

_(−d)^s

f (N

^(−d)⁽^s⁻¹⁾

)f (N

^(−d)⁽^s⁻²⁾

) . . . f (N

^(−d)

)[f (N )Q

_−d

]f (N ) devient

M

^s+1

= Q

_(−d)^s

f (N

^(−d)⁽^s⁻¹⁾

)f (N

^(−d)⁽^s⁻²⁾

) . . . f (N

^(−d)

)[Q

−d

f (N

^−d

)]f (N ) On transforme ensuite le groupement f(N

^(−d)

)Q

_−d

= Q

_−d

f (N

^(−d)²

).

Par des pivotages successifs on obtient

M

^s+1

= Q

_(−d)^s

Q

−d

f (N

^(−d)^s

)f(N

^(−d)⁽^s⁻¹⁾

) . . . f(N

^(−d)²

)f (N

^(−d)

)f (N ) On ach`eve en remarquant que Q

_(−d)^s

Q

_−d

= Q

_(−d)^s+1

.

(iv) Grˆ ace au (ii) on a

M

^s

= Q

_(−d)^s

d^s−1

X

j=0

N

^−j

si s est pair et M

^s

= Q

_(−d)^s

d^s

X

j=1

N

^j

si s est impair

et donc V =



 

 

 

 

d

P

^s−1 j=0

N

^−j

si s est pair,

d^s

P

j=1

N

^j

si s est impair

(v) Il faut d’abord v´erifier que les coefficients de M sont ´egaux ` a 0 ou 1.

En utilisant les remarques et notations ci-dessus on peut ´ecrire que L

_i

(Q

−d

f (N )) = P

d

j=1

L

_i

Q

_−d

N

^j

= P

d j=1

L

₁

N

^−di

N

^j

= P

d j=1

L

₁

N

^j−di

Chaque premi`ere ligne de N

^j−di

a tous ses termes nuls sauf 1 et comme les matrices de permutations qui interviennent sont des it´er´es deux ` a deux distincts il vient que L

_i

(Q

−d

f (N )) n’a que des 0 et des 1.

Pour ensuite calculer M

^m

+ M

^m+k

il faut discuter la parit´e de m d’o` u deux cas (k est toujours impair).

Cas m = 2t.

On a M

^m

+ M

^m+k

= Q

_(−d)^m

"

d^m−1

P

j=0

N

^−j

+

^d

m+k

P

i=1

N

ⁱ

#

car Q

_(−d)^m

= Q

_(−d)^m+k

. On fait le changement d’indice i = n − j dans la premi`ere somme et on trouve

M

^m

+ M

^m+k

= Q

_(−d)^m



 X

n

i=d^m⁺^k+1

N

ⁱ

+

d^m⁺^k

X

i=1

N

ⁱ



 = Q

_(−d)^m

X

n

i=1

N

ⁱ

= Q

_(−d)^m

J

Or pour tout i on a L

_i

(Q

_(−d)^m

J ) = (L

_i

Q

_(−d)^m

)J = L

₁

N

^i(−d)^m

J = L

₁

J car N J = J N = J.

Il vient que toutes les lignes de cette matrice sont ´egales `a [1 . . . 1]. Donc M