MPSI 2
Exercice 1 Applications linéaires
On rappelle qu’un espaceF est stable par une applicationusiu(F)⊂F.
1. Soitf un endomorphisme deEetFun sous-espace vectoriel. Montrerdim(Ker(f)∩F)≥dim(F)−
rg(f).
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur F etG, sous-espaces vectoriels deE, pour qu’il existeudansEnd(E)telle queKer(u) =F etIm(u) =G.
3. SoitEunK-espace vectoriel,fune application linéaire injective deEetE1etE2deux sous-espaces vectoriels deE, supplémentaires. MontrerIm(f) =f(E1)⊕f(E2).
4. SoitE unK-espace vectoriel,u∈ L(E)etpun projecteur deE. Montreru◦p=p◦u⇐⇒Im(p) et Ker(p)sont stables paru.
5. SoitEunK-espace vectoriel de dimension finienetf ∈ L(E). MontrerKer(f) = Im(f)⇔(f2= 0 et n= 2 rg(f)).
6. Soitf etg dansL(E, F). Montrerrg(f +g) = rg(f) + rg(g)⇔(Im(f)∩Im(g) ={0}et Ker(f) + Ker(g) =E).
7. Soituet v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie ntels queu◦v= 0 et u+v est bijectif. Montrerrg(u) + rg(v) =n.
8. SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie,F etGdeux sous-espaces vectoriels deE. Montrer (dim(F+G))2+ ((dim(F∩G))2≥(dim(F))2+ (dim(G))2. On pourra utiliser des endomorphismes et des décompositions par blocs.
9. Soit uune application linéaire de E dans F, montrer queN = ∪k≥0Ker(uk)est un sous-espace vectoriel deE et qu’il est stable paru.
Exercice 2 Anneau de matrices
SoitAl’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels de la forme
a−b 0 0
0 a b
0 b a
avec aetb réels.
1. Montrer que c’est un espace vectoriel et donner sa dimension.
2. Montrer que(I, U)en est une base avecU =
0 0 0 0 1 1 0 1 1
.
3. Montrer queAest stable par multiplication et forme un anneau commutatif.
4. Déterminer les éléments inversibles deAet calculer l’inverse deM lorsqu’elle est inversible.
Exercice 3 Identité de Jacobi
On se place dans l’anneau A des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans K. On note [A, B] = AB−BA.
1. Montrer l’identité de Jacobi : pour toutA,BetCdansA,[A,[B, C]] + [B,[C, A]] + [C,[A, B]] = 0.
2. Soit H, X et Y dans A tels que[H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y et [X, Y] = H. Montrer que, pour tout entier naturelp,[H, Xp] = 2pXpet [H, Yp] =−2pYp.
3. Montrer que4XY +H2−2H commute àH,X et Y.
4. En déduire que le plus petit sous-anneau deAcontenantH,XetY est formé des matrices sommes de matrices de la forme mXiYjHk avecm∈Zet i,j,kentiers naturels.
5. Donner un exemple de telles matrices H,X etY lorsque n= 2.
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Exercice 4 Matrices nilpotentes
On se place dans l’anneau A des matrices carrées d’ordren à coefficients dansK. On dit que A dans A est nilpotente s’il existe un exposant p tel que Ap = 0. On dit que A est unipotente si A−Id est nilpotente.
1. Montrer que siA est nilpotente,I−Aest inversible et donner son inverse.
2. Montrer que si Aet B sont nilpotentes et commutent (i.e.AB=BAou encore [A, B] = 0), alors A+BetABsont nilpotentes. L’ensemble des matrices nilpotentes deAen est-il un sous-anneau ? 3. Montrer que siAest nilpotente, l’application adAdéfinie sur AparadA(B) =AB−BA= [A, B]
est nilpotente en tant qu’endomorphisme.
Exercice 5 Quaternions (*)
Soit, pour p et q dans K∗, Hp,q l’ensemble des matrices carrées d’ordre 4 à coefficients dans K de la forme
x py qz −pqt y x qt −qz z −pt x py
t −z y x
avecx, y, z et t dans K. On note e =M(1,0,0,0), i =M(0,1,0,0), j=M(0,0,1,0)et k=M(0,0,0,1).
1. Montrer queHp,q est unK-espace vectoriel.
2. Montreri2=pe,j2=qe,k2=−pqe,jk=−kj=−qi,ki=−ik=−pj,ij=−ji=k. En déduire queHp,q est un anneau.
3. Siu=M(x, y, z, t), on noteu¯=M(x,−y,−z,−t)etN(u) =x2−py2−qz2+pqt2. Montrer qu’on a, pour tout uet vdansHp,q,uv= ¯vu,¯ u¯u= ¯uu=N(u)eetN(uv) =N(u)N(v).
4. En déduire queHp,q est un corps si et seulement si, pour toutudansHp,q,N(u) = 0⇔u= 0.
5. Lorsque K=R, montrer queHp,q est un corps si et seulement si pet qsont négatifs et que tous les corps ainsi obtenus sont isomorphes, i.e. qu’il existe un isomorphisme linéaire entre eux, en tant queR-espaces vectoriels, qui préserve également la multiplication, le passage à l’inverse ete.
6. Toujours pourK=R, montrer que siHp,qn’est pas un corps, c’est un anneau isomorphe àM2(R), i.e. qu’il existe un isomorphisme linéaire entre eux, en tant que R-espaces vectoriels, qui préserve également la multiplication ete.
7. Enfin lorsqueK =C, montrer queHp,q n’est jamais un corps, et que c’est un anneau isomorphe à M2(C)
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