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Soit E un K -espace vectoriel non réduit au vecteur nul et de dimension nie n . On se donne deux sous-espaces vectoriels A et B on cherche

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(1)

MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 11 (pour le 01/02/13) 29 juin 2019

Soit E un K -espace vectoriel non réduit au vecteur nul et de dimension nie n . On se donne deux sous-espaces vectoriels A et B on cherche

1

une condition caractérisant l'exis- tence de sous-espaces vectoriels C tels que

C est supplémentaire de A dans A + B C est supplémentaire de B dans A + B

On dira alors que C est un supplémentaire commun à A et B dans A + B .

1. On suppose qu'il existe un sous-espace C vériant la condition du préambule. Montrer que dim(A) = dim(B) . Préciser dim(C) .

Dans toute la suite de l'exercice, on supposera que dim(A) = dim(B) . 2. On se place d'abord dans le cas où A et B sont deux hyperplans distincts.

a. Montrer qu'il existe des vecteurs a ∈ A et b ∈ B tels que a 6∈ B et b 6∈ A . b. Montrer que C = Vect(a + b) est solution au problème posé.

3. On revient au cas général en supposant seulement dim(A) = dim(B) avec A 6= B . On considère un sous-espace A

0

supplémentaire de A ∩ B dans A et un sous-espace B

0

supplémentaire de A ∩ B dans B

a. Montrer que A

0

et B

0

ne sont pas réduits au vecteur nul, que leur intersection est réduite au vecteur nul et qu'ils sont de même dimension.

On note p cette dimension. On considère une base A = (a

1

, · · · , a

p

) de A

0

et une base B = (b

1

, · · · , b

p

) de B

0

. On dénit enn une famille C = (c

1

, · · · , c

p

) en posant

c

i

= a

i

+ b

i

pour les entiers i entre 1 et p .

b. Montrer que la famille C est libre.

c. Montrer que C = Vect(c

1

, · · · , c

p

) est un supplémentaire commun à A et B dans A + B .

1

D'après http ://mpsiddl.free.fr/pbsup.php

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai M1211E

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