Soit A, B deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel E , montrer la formule de Grassmann en utili- sant l'application

(1)

1.

^(Edi01)

Soit A, B deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel E , montrer la formule de Grassmann en utili- sant l'application

Φ :

( A × B → E (a, b) 7→ a + b

2.

^(Edi02)

Soit f un endomorphisme d'un K -espace vectoriel de dimension nie E . Montrer que ker f = Imf si et seulement si f

²

= 0

_L(E)

et 2 rg(f) = dim E .

3.

^(Edi03)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie et A un sous-espace vectoriel de E .

a. Montrer que l'application restriction ( L(E) → L(A, E)

f 7→ f

_|A

est linéaire et surjective.

b. Montrer que {f ∈ L(E) tq A ⊂ ker f } est un sous- espace de L(E) . Quelle est sa dimension ? Voir exer- cices 27 et 28.

4.

^(Edi04)

Soit a ∈ K , on dénit une application f dans K

n

[X ] par :

f (P ) = (X − a)(P

⁰

+ f P

⁰

(a)) − 2(P − P e (a)) Montrer que f ∈ L(K

n

[X ]) , calculer f ((X − a)

^k

) , déter- miner l'image et le noyau de f .

5.

^(Edi05)

Soit E un K espace vectoriel de dimension nie et A , B deux sous-espaces vectoriels de E tels que

dim A + dim B = dim E

En utilisant l'existence de bases, le théorème de la base incomplète et le théorème de prolongement linéaire, fa- briquer un endomorphisme f ∈ L(E) tel que ker f = A et Im f = B . Malgré la relation entre les dimensions, le noyau et l'image d'un endomorphisme ne sont pas sup- plémentaires en général.

6.

^(Edi06)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension n . a. Soit (α

1

, · · · , α

n

) une base de E

^∗

et Φ dénie par :

Φ :

( E →K

ⁿ

x →(α

1

(x), · · · , α

_n

(x)) Montrer que Φ est un isomorphisme.

b. Base antéduale.

Soit (α

1

, · · · , α

n

) une base de E

^∗

. Montrer qu'il existe une base (a

1

, · · · , a

n

) de E dont la famille des formes coordonnées est (α

₁

, · · · , α

_n

) . On dit que (a

₁

, · · · , a

_n

) est antéduale de (α

₁

, · · · , α

_n

) . c. Multiplicateurs de Lagrange.

Soit (α

1

, · · · , α

p

) une famille de vecteurs de E

^∗

et α ∈ E

^∗

. Montrer que

ker(α

1

) ∩ · · · ∩ ker(α

p

) ⊂ ker(α)

⇔ α ∈ Vect(α

1

, · · · , α

p

)

d. Soit (α

1

, · · · , α

p

) une famille de vecteurs de E

^∗

. Montrer que

(α

1

, · · · , α

p

) libre

⇔ dim(ker α

₁

∩ · · · ∩ ker α

_p

) = dim E − p On considèrera une base (α

1

, · · · , α

n

) de E

^∗

et des applications

Φ

n

:

( E →K

ⁿ

x →(α

1

(x), · · · , α

n

(x)) Φ

p

:

( E →K

^p

x →(α

1

(x), · · · , α

p

(x))

7.

(Edi07)

Soit E un C-espace vectoriel de dimension 3 . Soit u un endomorphisme de E et x

₀

∈ E tels que

(x

0

, u(x

0

), u

²

(x

0

)) base de E

a. Montrer que si on se donne un vecteur x

0

non nul, il existe bien des endomorphismes u vériant la pro- priété.

b. Montrer qu'il existe des nombres complexes a , b , c tels que

u

³

= au

²

+ bu + c Id

E

c. Montrer que u est un automorphisme si et seule- ment si c 6= 0 .

8.

^(Edi08)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et f ∈ L(E) . On pose :

∀k ∈ N , N

k

= ker f

^k

, I

k

= Im f

^k

. Montrer que N

_k

⊂ N

_k+1

et I

_k+1

⊂ I

_k

. Montrer que

I

k

= I

k+1

⇒ (N

k

= N

k+1

et I

k+1

= I

k+2

) . Montrer l'existence de r ∈ N tel que

∀k ≥ r, N

_k

= N

_r

, I

_k

= I

_r

, N

_r

⊕ I

_r

= E.

9.

^(Edi09)

Preuve du théorème de prolongement linéaire.

Soit (a

1

, · · · , a

p

) une base d'un K -espace vectoriel E et (α

₁

, · · · , α

_p

) la famille des formes coordonnées dans cette base. Soit (y

₁

, · · · , y

_p

) une famille de vecteurs dans un K -espace vectoriel F .

a. Soit f ∈ L(E, F ) telle que f (a

i

) = y

i

pour i de 1 à p . Pour tout x ∈ E , exprimer f (x) à l'aide des y

i

et des α

i

(x) . Que peut-on en déduire quant au théorème de prolongement linéaire.

b. Achever la démonstration du théorème.

10.

(Edi10)

Soit E = R

3

[X ] et a , b , c trois réels distincts. On considère les formes linéaires φ

₁

, φ

₂

, φ

₃

, ψ dénies sur E par :

φ

1

(P) = P e (a) φ

2

(P ) = P e (b) φ

3

(P) = P e (c) ψ(P) =

Z

b

a

P e (t) dt

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Applications linéaires (dimension nie)

Montrer que (φ

1

, φ

2

, φ

3

) est libre.

Montrer que (φ

1

, φ

2

, φ

3

, ψ) est liée si et seulement si ψ((X − a)(X − b)(X − c)) = 0

En déduire que (φ

1

, φ

2

, φ

3

, ψ) est liée si et seulement si c =

^a+b₂

. (on pourra poser m =

^a+b₂

, l =

^b−a₂

et exprimer la polynôme à intégrer avec des puissances de X − m . 11.

^(Edi11)

Soit E de dimension nie et f ∈ L(E) . Montrer

que

ker f ⊕ Im f = E ⇔ Im f

²

= Im f ⇔ ker f

²

= ker f.

12.

^(Edi12)

Soit E , F , G de dimensions nies, f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G) . Montrer que

ker g = Im f ⇔

( g ◦ f = 0

_L(E,G)

rg f + rg g = dim F.

13.

^(Edi13)

Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L(E, F ) . a. On suppose rg f = 1 . Montrer qu'il existe α ∈ E

^∗

,

a ∈ F tels que (α) libre, (a) libre et

∀x ∈ E, f (x) = α(x)a.

b. On suppose rg f = 2 . Montrer qu'il existe α et β dans E

^∗

, a et b dans F tels que (α, β) libre, (a, b) libre et

∀x ∈ E, f (x) = α(x)a + β(x)b.

14.

(Edi14)

Soit E un K espace vectoriel de dimension nie.

a. Soient f et g deux endomorphismes qui commutent.

Montrer que ker g et Im g sont stables par f . La dimension nie est-elle utile dans cette question ? b. Soit x un vecteur non nul. Fabriquer un endomor-

phisme g tel que ker g = Vect(x) . Fabriquer un en- domorphisme h tel que Im h = Vect(x) . Comment intervient la dimension nie ici ?

c. Montrer en utilisant l'exercice di07 (feuille Espaces vectoriels sans dimension que si un endomorphisme f commute avec tous les endomorphismes alors il existe un scalaire λ tel que f = λId

E

.

15.

^(Edi15)

Soit a complexe non nul, on dénit

f : (

C → C z 7→ z + az

On munit C de sa structure de R-espace vectoriel. Mon- trer que f est linéaire. Étudier son noyau et son image.

16.

(Edi16)

Soit E de dimension n , 1 ≤ p < n et f ∈ L(E) . Montrer que rg(f) = p si et seulement si il existe (a

₁

, · · · , a

_p

) libre dans E et (α

₁

, · · · , α

_p

) libre dans E

^∗

telles que

∀x ∈ E, f (x) = α

1

(x)a

1

+ · · · + α

p

(x)a

p

17.

^(Edi17)

Soit E et F deux K -espaces vectoriels de dimen- sions nies et f linéaire de E dans F . Soit (x

₁

, · · · , x

_l

) une famille de vecteurs de E . Montrer que

rg(x

1

, · · · , x

l

) = rg(f (x

1

), · · · , f (x

l

))

⇔ f

_|_Vect(x₁_,···_,x_l₎

injective

18.

^(Edi18)

Soient E , F , G des K -espaces vectoriels de dimen- sion nie et f ∈ L(E, F ) , g ∈ L(F, G) . Montrer que

rg f = rg(g ◦ f ) + dim(Im f ∩ ker g)

19.

(Edi19)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E) . Montrer que

dim(ker f

²

) ≤ 2 dim(ker f )

20.

^(Edi20)

Soit α et β deux éléments distincts d'un corps K . Montrer que l'application

P → P(X b − α) + P(X b − β)

est un automorphisme (de K espace vectoriel) de K[X ] . 21.

^(Edi21)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie et

f , g deux endomorphismes non nuls de E tels que Im f + Im g = E, ker f + ker g = E

Montrer que Im f et Im g sont supplémentaires. Montrer que ker f et ker g sont supplémentaires. Former deux endomorphismes f et g de R [X] tels que

Im f + Im g = R [X ] = ker f + ker g sans que les espaces soient supplémentaires.

22.

(Edi22)

Soit E un K -espace vectoriel et f , g deux endo- morphismes de E tels que f +g = Id

_E

et rg(f ) + rg(g) ≤ dim E . Montrer que f et g sont des projecteurs.

23.

^(Edi23)

(base usuelle de L(E, F ) : démonstration) Soit (a

1

, · · · , a

p

) une base d'un K -espace vectoriel E et (α

1

, · · · , α

p

) la famille des formes coordonnées dans cette base. Soit (b

1

, · · · , b

q

) une base d'un K -espace vec- toriel F et (β

1

, · · · , β

q

) la famille des formes coordonnées dans cette base.

Pour tout couple (i, j) ∈ {1, · · · , p} × {1, · · · , q} , on dé- nit f

i,j

par le théorème du prolongement linéaire avec

∀k ∈ {1, · · · , p}, f

i,j

(a

k

) = δ

ik

b

j

Soit λ

_i,j

avec (i, j) ∈ {1, · · · , p} × {1, · · · , q} une famille d'éléments de K et

l = X

(i,j)∈{1,···,p}×{1,···,q}

λ

i,j

f

i,j

Exprimer λ

i,j

en fonction des a

i

, α

i

, b

j

, β

j

. Démontrer que les f

i,j

forment une base de L(E, F ) .

24.

^(Edi24)

Commutant d'un endomorphisme cyclique.

Soit E un K espace vectoriel de dimension p et f un endomorphisme de E cyclique c'est à dire qu'il existe u ∈ E tel que

u, f(u), · · · , f

^p−1

(u)

est une base de E . Soit g un endomorphisme dans le commutant de f c'est à dire tel que f ◦g = g ◦f . Montrer qu'il existe a

0

, · · · , a

_p−1

dans K tels que

g = a

₀

Id

E

+a

₁

f + · · · + a

_p−1

f

^p−1

(3)

25.

^(Edi25)

Soient E , F deux K -espaces vectoriels de dimen- sion nie et f , g dans L(E, F ) . Montrer que rg(g) ≤ rg(f ) si et seulement si il existe h ∈ GL(F) et k ∈ L(E) tels que h ◦ g = f ◦ k .

26.

^(Edi26)

Dualité.

Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie. Pour tout sous-espace vectoriel F de E , on note

F

^⊥

= {ϕ ∈ E

^∗

tq F ⊂ ker ϕ} .

Montrer que F

^⊥

est un sous-espace vectoriel de E

^∗

. Dé- terminer E

^⊥

, {0

E

}

^⊥

. Montrer que

dim F + dim F

^⊥

= dim E.

On pourra considérer l'application restriction ( E

^∗

→ F

^∗

α 7→ α

_|F

.

27.

^(Edi27)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie.

a. Soit A un sous-espace de E . Montrer que A = {f ∈ L(E) tels que Im f ⊂ A}

est isomorphe à L(E, A) .

b. Soit a ∈ L(E) xé. On dénit la fonction γ par :

γ :

( L(E) → L(E) f 7→ a ◦ f

Montrer que γ est linéaire, préciser son noyau, son image et leurs dimensions.

28.

^(Edi28)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie.

a. Soit A un sous-espace de E et B un supplémentaire de A . Montrer que

A = {f ∈ L(E) tq A ⊂ ker f }

est isomorphe à L(B, E) . En déduire sa dimension.

b. Soit a ∈ L(E) xé. On dénit la fonction δ par :

δ :

( L(E) → L(E) f 7→ f ◦ a

Montrer que δ est linéaire, préciser son noyau, son image et leurs dimensions.

29.

^(Edi29)

Dans E = R

⁵

, la base canonique est notée

(e

1

, e

2

, e

3

, e

4

, e

5

) et (ε

1

, ε

2

, ε

3

, ε

4

, ε

5

) la base duale des formes coordonnées dans la base canonique. Soit

α

1

= ε

1

+ ε

2

− ε

3

+ ε

4

+ ε

5

α

₂

= 2ε

₁

+ ε

₂

+ ε

₃

− ε

₅

α

3

= −ε

1

− 2ε

2

+ ε

4

+ 2ε

5

et A = ker α

1

∩ ker α

2

∩ ker α

3

. Soit x = (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

, x

5

) ∈ E.

Caractériser x ∈ A . Former une base de A . Les vecteurs seront exprimés dans la base canonique.

Mêmes questions avec A = ker α

₁

∩ ker α

₂

et α

1

= ε

1

− 2ε

2

+ 2ε

3

+ 3ε

5

α

2

= ε

1

+ ε

2

+ ε

3

30.

^(Edi30)

Dans E = R

⁵

, on se donne les vecteurs suivants u

₁

= (1, 2, −1, −1, 0)

u

2

= (1, 1, 1, 0, −1) u

3

= (−2, 1, 0, 1, 2) a

1

= (1, 1, −1, 0, 1) a

2

= (0, 1, 1, −1, 0) a

₃

= (1, 0, 1, 1, −1) a

4

= (2, 2, 1, 0, 0)

et U = Vect(u

1

, u

2

, u

3

) , A = Vect(a

1

, a

2

, a

3

, a

4

) . Exprimer U et A comme des intersections d'hyperplans.

Les formes linéaires dénissant ces hyperplans seront données dans la base duale de la base canonique notée (ε

1

, ε

2

, ε

3

, ε

4

, ε

5

) .

31.

^(Edi31)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie, a non nul dans E et α non nul dans E

^∗

tels que

α(a) = 0.

L'application de E dans E

x 7→ x + α(x)a

est appelée une transvection. Montrer que toute trans- vection est un automorphisme.

32.

^(Edi32)

On considère l'application ( R [X] → R [X]

P 7→ P b (X + 1) + P(X b − 1) − 2P Pour n ∈ N

^∗

, on note E = R

ⁿ

[X ] .

a. Montrer que la restriction à E de cette application dénit un endomorphisme de E .

b. Pour p ∈ J 0, n K, calculer f (X

^p

) . En déduire l'image, le rang et le noyau de f .

c. Montrer que pour tout Q ∈ Im f , il existe un unique P ∈ E tel que

f (P) = Q, P(0) = e f P

⁰

(0) = 0

33.

^(Edi33)

On note E = R

n

[X] . Soit A et B dans R [X ] de degré n + 1 . On dénit une fonction f :

( E → E

P 7→ reste de la division de AP par B Montrer que f ∈ L(E) et que

f automorphisme ⇔ A ∧ B = 1

34.

^(Edi34)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension n , soit f un endomorphisme de E pour lequel il existe p ∈ N

^∗

tel que

f

^p

= 0

_L(E)

et f

^p−1

6= 0

_L(E)

.

a. Montrer qu'il existe u ∈ E et ϕ ∈ E

^∗

tels que

f

^p−1

(u) 6= 0

E

et ϕ ◦ f

^p−1

6= O

E^∗

.

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Applications linéaires (dimension nie)

b. Montrer que les sous-espaces U et V : U = Vect(u, f(u), · · · , f

^p−1

(u)

V = (ker ϕ) ∩ (ker ϕ ◦ f) ∩ · · · ∩ (ker ϕ ◦ f

^p−1

) sont supplémentaires. On pourra utiliser le résultat (hors programme) sur la dimension de l'intersection d'une famille d'hyperplans.

35.

^(Edi35)

Soit n ∈ N

^∗

, on considère n + 1 espaces vectoriels de dimension nie et n applications linéaires

E

0 f0

−→ E

1 f1

−→ · · · E

n fn

−→ E

n+1

.

On suppose que Im f

i

= ker f

i+1

pour i ∈ J 0, n −1 K avec f

0

injective et f

n

surjective. Que vaut

n+1

X

j=0

(−1)

^j

dim E

j

?

36.

^(Edi36)

Soit E de dimension nie. Montrer que dim E paire ⇔ ∃f ∈ L(E) tq Im f = ker f

37.

^(Edi37)

Soit E et F de dimension nie et f , g dans

L(E, F ) . Montrer que

|rg(f ) − rg(g)| ≤ rg(f + g) rg(f + g) = rg(f) + rg(g) ⇔

( E = ker f + ker g Im(f ) ∩ Im(g) = {0

F

} 38.

^(Edi38)

Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et f ,

g dans L(E) . Montrer, en considérant la restriction de g à ker(f ◦ g) , que

rg f + rg g − n ≤ rg f ◦ g ≤ inf(rg f, rg g) 39.

^(Edi39)

Soit E de dimension nie et f , g dans L(E) . Mon-

trer que

f + g ∈ Gl(E) f ◦ g = 0

_L(E)

)

⇒ rg f + rg g = dim E

(5)

1.

^(Cdi01)

On vérie facilement que Φ est linéaire et que son image est A + B . Son noyau est formé par les couples (a, b) ∈ A × B tels que

a + b = 0

_E

⇒ a = −b ∈ A ∩ B

d'où ker Φ = {(x, −x), x ∈ A ∩ B} . L'application de A∩ B dans ker Φ qui à x associe (x, −x) est clairement un isomorphisme. On en déduit l'égalité des dimensions. Par le théorème du rang :

dim(A × B) = dim ker Φ + rg Φ

⇔ dim A + dim B = dim(A ∩ B) + dim(A + B).

2.

^(Cdi02)

Ici E est de dimension nie et f ∈ L(E) . Im f ⊂ ker f ⇔ f ◦ f = O

_L(E)

. De plus, à cause du théorème du rang,

2 rg(f ) = dim(E) ⇔ dim(ker f ) = rg(f ).

On a aussi : soit A et B deux sous-espaces tels que A ⊂ B , alors

A = B ⇔ dim(A) = dim(B).

3.

^(Cdi03)

Notons r

A

l'application restriction à A . a. La linéarité de r

A

vient des propriétés des opé-

rations fonctionnelles. Montrons qu'elle est surjec- tive.

Soit g ∈ L(A, E) et (a

₁

, · · · , a

_α

) une base de A . On complète en une base (a

₁

, · · · , a

_n

) de E et on dénit f par prolongement linéaire avec

f (a

i

) =

( g(a

_i

) si i ∈ J 1, α K 0 si i ∈ J α + 1, n K

.

Alors r

_A

(f ) = g .

b. Avec L = {f ∈ L(E) tq A ⊂ ker f } = ker r

_A

et les dimensions des espaces d'applications linéaires, le théorème du rang appliqué à r

A

conduit à

dim L = (dim E − dim A) dim E.

4.

^(Cdi04)

La linéarité de f découle de celle de la dérivation et de la prise de valeur en a . Comme deg f (P) ≤ deg P , la fonction est bien un endomorphisme. par un calcul immédiat :

∀k ∈ J 2, n K , f((X − a)

^k

) = (k − 2)(X − a)

^k

car a est racine au moins double. De plus

f (1) = 0 f (X − a) = 0

On en déduit que 1, X −a et (X −a)

²

sont dans le noyau donc

Vect(1, X − a, (X − a)

²

) ⊂ ker f et les (X − a)

^k

pour k ≥ 3 sont dans l'image :

Vect (X − a)

³

, · · · , (X − a)

ⁿ

⊂ Im f

Comme les familles de vecteurs sont libres : dim ker f ≥ 3, dim Im f ≥ n − 2 À cause du théorème du rang

dim ker f + dim Im f = n + 1

⇒ dim ker f ≥ n + 1 − (n − 2) = 3

⇒ ker f = Vect(1, X − a, (X − a)

²

) De même pour l'image.

Vect (X − a)

³

, · · · , (X − a)

ⁿ

= Im f

5.

^(Cdi05)

Il faut bien noter ici que A et B ne sont pas sup- plémentaires. On considère deux bases :

(a

1

, · · · , a

α

) base de A, (b

1

, · · · , b

β

) base de B avec α + β = n = dim E . D'après le théorème de la base incomplète, il existe u

1

, · · · , u

β

tels que

(a

1

, · · · , a

α

, u

1

, · · · , u

β

) base de E On dénit f par prolongement linéaire :

∀i ∈ J 1, α K , f (a

i

) = 0

E

, ∀i ∈ J 1, β K , f (u

i

) = b

i

On vérie facilement que ker f = A et Im f = B . 6.

(Cdi06)

a. La fonction est clairement linéaire et son noyau est ker(α

1

) ∩ · · · ∩ ker(α

n

)

Soit x dans ce noyau. Alors α(x) = 0 pour toute forme linéaire α car α est une combinaison linéaire des α

i

. En considérant pour α les formes coor- données dans une base, on prouve que toutes les coordonnées de x dans une base sont nulles donc x = 0

E

. L'application Φ est injective donc bijective car c'est un endomorphisme en dimension nie.

b. On utilise l'isomorphisme de la question précé- dente. On dénit (a

1

, · · · , a

n

) comme les antécé- dents des vecteurs de la base canonique de K

ⁿ

. c. On vérie facilement que

α ∈ Vect(α

1

, · · · , α

p

)

⇒ ker(α

₁

) ∩ · · · ∩ ker(α

_p

) ⊂ ker(α).

Pour la réciproque, on peut supposer que la famille est libre. En eet, si elle ne l'est pas, on extrait une sous-famille libre qui engendre le même sous-espace et on raisonne avec celle-ci.

On complète en une base de E

^∗

(α

₁

, · · · , α

_n

)

et on utilise la base antéduale de la question b.

(a

₁

, · · · , a

_n

) Considérons la forme linéaire

ϕ = α − α(a

₁

)α

₁

− · · · − α(a

_p

)α(p)

La forme ϕ est nulle car ϕ(a

i

) = 0 pour tous les i

entre 1 et n (les raisons sont diérentes selon i ≤ p

ou i > p ).

(6)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Applications linéaires (dimension nie) : corrigés

d. Supposons

dim(ker α

1

∩ · · · ∩ ker α

p

) = dim E − p Le théorème du rang appliqué à Φ

p

montre que Φ

p

est surjective. Il existe alors des antécédents a

1

, · · · , a

p

aux vecteurs de la base canonique. Ils permettent de montrer que la famille est libre.

Supposons la famille libre ; on la complète en une base. La fonction Φ

n

est alors surjective ce qui en- traine que Φ

p

est surjective. On obtient la dimen- sion avec le théorème du rang appliqué à Φ

_p

. 7. pas de correction pour Edi07.tex

8. pas de correction pour Edi08.tex 9. pas de correction pour Edi09.tex

10.

^(Cdi10)

On considère, dans R

3

[X] , les trois polynômes de Lagrange

L

_a

= (X − b)(X − c)

(a − b)(a − c) , L

_b

= (X − a)(X − c) (b − a)(b − c) , L

c

= (X − a)(X − b)

(c − a)(c − B) et une combinaison nulle des trois formes linéaires.

λ

₁

φ

₁

+ λ

₂

φ

₂

+ λ

₃

φ

₃

En prenant la valeur de cette fonction en L

a

, L

b

, L

c

, on obtient λ

1

= λ

2

= λ

3

.

Notons M = (X − a)(X − b)(X − c) . La famille (L

a

, L

b

, L

c

) est libre (prendre les valeurs en a , b , c ). Le polynôme M n'est pas combinaison des L

_a

, L

_b

, L

_c

(consi- dérer le degré). La famille (L

_a

, L

_b

, L

_c

, M ) est donc libre dans un espace de dimension 4 , c'est une base.

Comme (φ

₁

, φ

₂

, φ

₃

) est libre :

(φ

1

, φ

2

, φ

3

, φ) liée ⇔ φ ∈ Vect(φ

1

, φ

2

, φ

3

) Dénissons une forme ϕ :

ϕ = φ(L

a

)φ

1

+ φ(L

b

)φ

2

+ φ(L

c

)φ

3

Par construction : L

a

, L

b

, L

c

sont dans ker(φ − ϕ) . On en déduit (prolongement linéaire) :

ϕ = φ ⇔ ϕ(M ) = φ(M ) ⇔ φ(M ) = 0 Avec les notations préconisées par l'énoncé,

a = m − l, b = m + l, c = m + (c − m) d'où, après développement,

M = (X − m)

³

− l

²

(X − m) + l

²

(c − m) Les puissances impaires disparaissent par symétrie

ψ(M ) = l

²

(c − m)(b − a) 11. pas de correction pour Edi11.tex

12.

^(Cdi12)

Par dénition de la composition : g ◦ f = 0

_L(E,G)

⇔ Im f ⊂ ker g.

Donc ker g = Im f ⇒ g ◦ f = 0

_L(E,G)

. De plus, d'après le théorème du rang appliqué à g

rg f + rg g = rg f + dim F − dim(ker g) = dim F car rg f = dim(ker g) .

Réciproquement,

g ◦ f = 0

_L(E,G)

→ Im f ⊂ ker g.

L'égalité des sous espaces vient de l'égalité des dimen- sions et du théorème du rang appliqué à g :

rg f + rg g = dim F

⇒ dim(ker g) = dim F − rg g = rg f.

13.

^(Cdi13)

à remplacer

14. pas de correction pour Edi14.tex 15.

^(Cdi15)

La linéarité est facile :

∀(z, z

⁰

) ∈ C

²

, ∀λ ∈ R ,

f (z + z

⁰

) = z + z

⁰

+ a (z + z

⁰

) = z + a z + z

⁰

+ a z

⁰

= f(z) + f (z

⁰

)

f (λz) = λz + a λz = λ(z + a z) = λf (z).

Si ker f 6= {0

_C

} , il existe z 6= 0 tel que z + az = 0 ⇒ a = − z

z ⇒ |a| = 1.

On en déduit que si a n'est pas de module 1 , f est un automorphisme du R-espace vectoriel C.

Si a = e

^iα

, son image et son noyau sont des droites : ker f = Vect(e

ⁱ^α+π²

), Im f = Vect(e

ⁱ^α²

).

16.

^(Cdi16)

Supposons rg(f ) = p .

Il existe une base (a

1

, · · · , a

p

) de Im(f ) . On la complète en une base (a

1

, · · · , a

n

) de E . Soit (α

1

, · · · , α

n

) la base duale des formes coordonnées. Pour tout x ∈ E , f (x) se décompose mais seulement sur les premiers vecteurs

∀x ∈ E, f(x) = α

₁

(x)a

₁

+ · · · + α

_p

(x)a

_p

+ 0

_E

. La famille (α

1

, · · · , α

p

) extraite d'une base est libre.

Réciproquement, supposons que

∀x ∈ E, f(x) = α

₁

(x)a

₁

+ · · · + α

_p

(x)a

_p

+ 0

_E

avec

( (a

₁

, · · · , a

_p

) libre dans E (α

1

, · · · , α

p

) libre dans E

^∗

. Alors ker α

1

∩ · · · ∩ ker α

p

⊂ ker(f ) .

Comme (a

₁

, · · · , a

_p

) est libre ; pour tout x ∈ E : x ∈ ker(f ) ⇒ α

₁

(a)a

₁

+ · · · + α

_p

(x)a

_p

= 0

_E

⇒ α

1

(x) = · · · = α

p

(x) = 0

K

⇒ x ∈ ker α

1

∩ · · · ∩ ker α

p

.

(7)

Donc ker α

1

∩ · · · ∩ ker α

p

= ker(f ) .

D'après le résultat hors programme (ex. 6) sur la di- mension de l'intersection d'une famille d'hyperplans et le théorème du rang,

(α

₁

, · · · , α

_p

) libre ⇒ dim ker(f ) = n − p

⇒ rg(f ) = p.

17. pas de correction pour Edi17.tex 18.

(Cdi18)

Appliquons le théorème du rang à

g

_|_Im(f)

∈ L(Im(f ), G) On obtient

rg(f ) = dim(Im(f ))

= dim(ker(g

_|_Im(f)

)) + dim(Im(g

_|Im(f)

)) avec

ker(g

_|_Im(f)

) = ker(g) ∩ Im(f )

Im(g

_|Im(f)

) = Im(g ◦ f ) 19.

^(Cdi19)

Appliquer le théorème du rang à

ker f

²

→ E x 7→ f (x)

Elle est à valeurs dans ker f et son noyau sont ker f . 20.

^(Cdi20)

L'application est clairement linéaire et conserve

le degré. Considérons d'abord la restriction à l'espace K

n

[X ] des polynômes de degré inférieur ou égal à n . L'image d'une base formée de polynômes de degrés éche- lonnés est une famille de polynômes de degré échelonnés donc libre dans le même espace. C'est donc une base ce qui assure que chaque restriction est surjective. L'appli- cation complète est donc elle même surjective.

21.

^(Cdi21)

Écrivons les formules donnant la dimension pour chaque somme puis additionnons en utilisant la formule du rang :

rg f + rg g − dim(Im f ) ∩ (Im g) = dim E

dim ker f + dim ker g − dim(ker f ) ∩ (ker g) = dim E

⇒ 2 dim E − dim(Im f ) ∩ (Im g) − dim(ker f ) ∩ (ker g)

= 2 dim E

⇒ dim(Im f) ∩ (Im g) + dim(ker f ) ∩ (ker g) = 0

⇒ dim(Im f ) ∩ (Im g) = dim(ker f) ∩ (ker g) = 0 On en déduit que les deux sommes sont directes.

On dénit f et g par :

∀P ∈ R [X], f(P ) = P

⁰

, g(P) = P e (0) alors

Im f = R [X], ker f = R

0

[X]

Im g = R

0

[X ], ker g = X R [X]

22.

^(Cdi22)

Soit x dans ker f , alors x = (f + g)(x) = g(x) donc ker f ⊂ Im g . D'autre part, l'inégalité avec les rangs s'écrit aussi rg g ≤ dim E − rg f = dim ker f d'après le théormème du rang. De ker f ⊂ Im g et rg g ≤ dim ker f , on tire l'égalité des espaces ker f = Im g . Ceci entraine que f ◦ g est l'endomorphisme nul. On peut donc com- poser la somme à gauche par f :

f = f ◦ (f + g) = f ◦ f + f ◦ g = f ◦ f ce qui assure que f est une projection.

23. pas de correction pour Edi23.tex 24.

(Cdi24)

Il existe a

₀

, · · · , a

_p−1

tels que

g(u) = a

₀

u + a

₁

f(u) + · · · a

_p−1

f

^p−1

(u) Dénissons un endomorphisme h :

h = a

0

Id

E

+a

1

f + · · · a

p−1

f

^p−1

Par dénition, il commute avec f et coïncide avec g sur u . De plus,

g(f (u)) = f (g(u)) = f (h(u)) = h(f (u))

Il coïncide donc avec g sur le deuxième vecteur de base.

On vérie de même qu'il coïncide pour les autres vec- teurs de base.

25.

^(Cdi25)

Un sens est facile :

h ◦ g = f ◦ k avec h bijectif entraine

rg(g) = rg(h ◦ g) = rg(f ◦ k) ≤ rg(f ).

Réciproquement, supposons rg(g) ≤ rg(f ) .

Soit (g

₁

, · · · , g

_p

) une base de Im(g) que l'on complète en une base (g

₁

, · · · , g

_n

) de F et (f

₁

, · · · , f

_q

) une base de Im(f ) que l'on complète en une base (f

₁

, · · · , f

_n

) de F . On dénit h ∈ GL(F) par :

∀i ∈ J 1, n K , h(g

_i

) = f

_i

.

C'est une bijection car l'image d'une base particulière est une base. Il existe aussi des familles libres de E

(e

1

, · · · , e

p

) et (e

⁰₁

, · · · , e

⁰_q

) telles que

∀i ∈ J 1, p K , g(e

i

) = g

i

∀i ∈ J 1, q K , f (e

⁰_i

) = f

_i

Considérons une base (e

_p+1

, · · · , e

_m

) de ker g . D'après le lemme noyau-image, (e

₁

, · · · , e

_m

) est une base de E . On dénit k en posant

k(e

1

) = e

⁰₁

, · · · , k(e

p

) = e

⁰_p

,

k(e

p+1

) = · · · = k(e

m

) = 0

(8)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Applications linéaires (dimension nie) : corrigés

Alors, par h ◦ g :

e

1

→ g

1

→ f

1

... → ... → ...

e

_p

→ g

_p

→ f

_p

e

p+1

→ 0

F

→ 0

F

... → ... → ...

e

m

→ 0

F

→ 0

F

et, par f ◦ k :

e

1

→ e

⁰₁

→ f

1

... → ... → ...

e

_p

→ e

⁰_p

→ f

_p

e

p+1

→ 0

F

→ 0

F

... → ... → ...

e

m

→ 0

F

→ 0

F

26.

^(Cdi26)

Considérer l'application restriction à F de E

^∗

dans F

^∗

.

27.

^(Cdi27)

a. L'application de A dans L(E, A) qui à une fonction f associe sa corestriction à A est bien dénie car f prend ses valeurs dans A . Il est évident que c'est un isomorphisme.

b. Le noyau de γ est la partie A de la question pré- cédente avec A = ker a . Il est isomorphe à L(E, A) donc de dimension

dim(ker(a)) dim(E).

Son image est clairement incluse dans un sous- espace A

⁰

dénie comme à la première question mais avec A = Im a cette fois. On a

dim A

⁰

= rg(a) dim E.

D'après le théorème du rang appliqué à γ :

rg(γ) = (dim(E))

²

− dim(ker(γ))

= dim(E) (dim(E) − dim(ker(a)))

= dim(E) rg(a) = dim(A

⁰

).

On en déduit Im(γ) = A

⁰

. 28.

^(Cdi28)

a. On vérie que

( A → L(B, E)

f 7→ f

_|B

est un isomorphisme. On en déduit

dim A = dim(B) dim(E)

= (dim(E) − dim(A)) dim(E).

b. La linéarité est immédiate car toutes les fonctions en jeu sont linéaires. D'autre part, il est clair que

{f ∈ L(E) tq Im a ⊂ ker f } = ker δ

Im(δ) ⊂ {g ∈ L(E) tq ker a ⊂ ker g} . D'après la question a.

dim(ker δ) = dim(ker a) dim E,

dim {g ∈ L(E) tq ker a ⊂ ker g} = rg a dim E Or, d'après le théorème du rang

dim(ker δ) + dim(Im(δ)) = dim(E)

²

⇒ dim(Im(δ)) = dim(E)

²

− dim(ker a) dim E

= rg a dim E.

On en déduit

Im(δ) = {g ∈ L(E) tq ker a ⊂ ker g} . 29. pas de correction pour Edi29.tex

30. pas de correction pour Edi30.tex

31.

^(Cdi31)

Comme une transvection est un endomorphisme en dimension nie, il sut de montrer qu'elle est injective.

Soit x dans le noyau. Alors

x + α(x)a = 0

E

⇒ x ∈ Vect(a) ⇒ α(x) = 0

K

⇒ x = 0

E

. 32.

^(di32)

On note f l'application dénie par l'énoncé.

a. La linéarité est évidente. L'examen des termes de plus haut degré montre que

deg(f (P )) ≤ deg(P ) − 1.

Donc f ∈ L(E) .

b. D'après la formule du binôme, f (1) = f (X) = 0 donc

R

1

[X] ⊂ ker f et dim(ker f ) ≥ 2.

et

f (X

^p

) = X

i∈J1,pK ipair

2 p

i

X

^p−i

dont le degré est p − 2 pour p ≥ 2 .

Les p−1 polynômes f (X

²

), · · · , f (X

^p

) forment une famille échelonnée donc libre de l'image. On en dé- duit

R

n−1

[X] ⊂ Im f et rg f ≥ n − 1.

D'après le théorème du rang

2 ≤ dim(ker f ) = n+1−rg f ≤ n+1−(n−1) = 2

⇒

( dim(ker f ) = 2, ker f = R

1

[X ]

rg f = n − 1, Im f = R

n−2

[X ] .

c.

(9)

33. pas de correction pour Edi33.tex 34. pas de correction pour Edi34.tex 35.

^(di35)

Formons des théorèmes du rang :

dim E

₀

= dim(Im f

₀

) + dim(ker f

₀

) ×(−1)

⁰

dim E

₁

= dim(Im f

₁

) + dim(ker f

₁

) ×(−1)

¹

dim E

2

= dim(Im f

2

) + dim(ker f

2

) ×(−1)

²

...

dim E

n

= dim(Im f

n

) + dim(ker f

n

) ×(−1)

ⁿ

On somme en tenant compte de Im f

i

= ker f

i+1

:

n

X

i=0

(−1)

ⁱ

dim E

i

= dim(ker f

0

) + (−1)

ⁿ

Im f

n

= (−1)

ⁿ

dim E

_n+1

car f

0

est injective et f

n

est surjective. On en déduit

n+1

X

i=0

(−1)

ⁱ

dim E

_i

= 0.

36. pas de correction pour Edi36.tex

37.

^(Cdi37)

Pour majorer la valeur absolue, écrivons f = (f + g) − g ⇒ Im(f ) ⊂ Im(f + g) + Im(g)

⇒ rg(f ) ≤ dim (Im(f + g) + Im(g))

≤ rg(f + g) + rg(g) On en déduit une première inégalité, on obtient l'autre en échangeant les rôles de f et g .

Supposons

( E = ker f + ker g Im(f ) ∩ Im(g) = {0

_F

} Montrons

Im(f ) + Im(g) ⊂ Im(f + g)

En eet, pour tout y ∈ Im(f ) + Im(g) , il existe x

_f

et x

_g

tels que

y = f (x

_f

) + g(x

_g

)

Chacun se décompose dans la somme de noyau et seul l'autre noyau contribue. Il existe a ∈ ker(g) et b ∈ ker(f ) tels que

y = f (a) + g(b) = (f + g)(a + b) car f (b) = g(a) = 0 .

On en déduit

Im(f ) + Im(g) = Im(f + g) car l'autre inclusion est évidente puis

rg(f ) + rg(g) = rg(f + g)

car la somme est directe d'après la deuxième hypothèse.

Supposons

rg(f + g) = rg(f) + rg(g)

Alors, d'après le théorème du rang dim(E) − dim (ker(f + g))

= 2 dim(E) − dim(ker(f )) − dim(ker(g))

⇒ dim(ker(f)) + dim(ker(g))

= dim(E) + dim (ker(f + g))

⇒ dim (ker(f ) + ker(g)) = dim(E)

+ dim (ker(f + g)) − dim (ker(f ) ∩ ker(g))

| {z }

≥0