Colle PCSI Semaine 19 2013-2014
EXERCICE 1 :
1. SoitE unR−espace vectoriel. Prouver que∀u∈E,0.u= 0E. 2. Prouver que siF est un sous-espace vectoriel deE alors 0E∈F.
3. SoitF =
(x, y, z)∈R3:x−y+z= 0 . Montrer queF est un sous-espace vectoriel deR3. 4. Déterminer une famille génératrice deF. Est-ce une base deF?
EXERCICE 2 :
SoitE l’ensemble des fonctionsf :R→Rtelles qu’il existea, b, c∈Rpour lesquels :
∀x∈R, f(x) = (ax2+bx+c) cosx 1. Montrer queE est un sous-espace vectoriel deF(R,R).
2. Déterminer une base deE et sa dimension.
EXERCICE 3 :
SoitE unR-espace vectoriel et (u1, u2, . . . , un, un+1) une famille de vecteurs deE. Prouver que : 1. Si (u1, . . . , un) est libre etun+1∈/vect(u1, . . . , un) alors (u1, u2, . . . , un, un+1) est libre.
2. Si (u1, u2, . . . , un, un+1) est génératrice etun+1∈vect(u1, . . . , un) alors (u1, . . . , un) est génératrice.
EXERCICE 4 : SoitF =
(x, y, z)∈R3 : x= 0 .
1. Prouver queF est un sous-espace vectoriel deR3.
2. Déterminer une famille génératrice deF. Quelle est la dimension deF?
EXERCICE 5 :
DansR4, on considère les vecteurs :
u1= (2,1,0,3), u2= (3,−1,5,2), u3= (−1,0,2,1) etF = Vect(u1, u2, u3).
1. Déterminer une base deF.
2. Soitv= (2,3,−7,3).v est-il un vecteur deF?
EXERCICE 6 : SoitF =
(x, y, z)∈R3 : 2x−3y+z= 0 etG= Vect(u, v) avecu= (1,1,1) etv= (2,1,−1).
1. Montrer queG⊂F. 2. En déduire queF=G.
EXERCICE 7 :
SoitE=R2[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 etP1, P2, P3 les polynômes définies parP1=X+ 1,P2=X−1 etP3=X2−1.
1. Montrer que (P1, P2, P3) est une base deE.
2. Donner les coordonnées dans cette base deP ∈E définie parP=X2−5X+ 4.
3. SoitF ={P ∈E : P(1) = 0}. Vérifier queF est un sous-espace vectoriel deE et en donner une base.
My Maths Space 1 sur 2
