1.2 Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel

(1)

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

Algèbre linéaire Espaces vectoriels

Dans la feuille, (K,+,×) désigne un corps qui est Q,RouC.

1 La structure d’espace vectoriel.

1.1 Calcul dans un espace vectoriel

⊲ Exercice 1.1.

Soit (E,+,·) un K-espace vectoriel. Montrer que

∀(λ, µ)∈K², ∀(x, y)∈E², (λ−µ).x=λ.x−µ.xet λ.(x−y) =λ.x−λ.y .

1.2 Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel

⊲ Exercice 1.2. Sous-espaces vectoriels de (K,+,×)

Déterminer tous les sous-espaces vectoriels du corpsKmuni de sa structure canonique deK-espace vectoriel.

⊲ Exercice 1.3. CNS pour qu’une réusion de sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel.

SoitE unK-espace vectoriel,F etGdeux sous-espaces vectoriels de E. Montrer queF∪Gest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement siF ⊂GouG⊂F.

⊲ Exercice 1.4. Injection canonique et surjection canonique dans un espace produit Soient (E,+_E,·E) et (F,+_F,·F) sont deuxK-espaces vectoriels.

1. Montrer que{0E} ×F,E× {0F} sont deux sous-espaces vectoriels deE×F respectivement isomorphes àF etE.

2. Montrer plus généralement que, siE^′ et F^′ sont respectivement deux sous-espaces vectoriels de E et F, alorsE^′×F^′ est un sous-espace vectoriel deE×F.

3. NotonsjE

E −→ E×F x 7−→ (x,0_F) etjF

F −→ E×F

y 7−→ (0_E, y) . Ces deux applications sont appelées injections canoniques.

(a) Montrer quejE et jF sont des applications linéaires injectives.

(b) Que peut-on en déduire pour les parties{0E} ×F,E× {0F}deE×F? 4. Notons sE

E×F −→ E (x, y) 7−→ x et sF

E×F −→ F

(x, y) 7−→ y . Ces deux applications sont appelées surjec- tions canoniques.

(a) Montrer quesE et sF sont des applications linéaires surjectives.

(b) Soit H un sous-espace vectoriel de E×F. Montrer que H est inclus dans le sous-espace vectoriel sE(H)×sF(H).

En considérantE =R,F =Ret H ={(x, y)∈R² | x+y = 0}, montrer que l’inclusion précédente peut être stricte. En déduire queH est un sous-espace vectoriel deR²qui n’est pas le produit cartésien de deux sous-espaces vectoriels deR.

⊲ Exercice 1.5.

Déterminer, pour chacun des ensembles suivants, s’ils définissent ou non un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel usuel dans lequel ils sont, par définition inclus.

1. V1={(x, y, z, t)∈R⁴|x+y−z+ 2t= 0}, 2. V2={(x, y, z, t)∈R⁴|2x+ 3y−z+t= 1}, 3. V3={(x, y)∈R² |xy>0},

4. V4={(x, y)∈R² |x²+y²= 1}, 5. V5={f ∈ F(R,R)|f(1) = 0}, 6. V6={f ∈ F(R,R)|f(0) = 1},

7. V7={f ∈ F(R,R)| ∀x∈R, f(−x) =−f(x)}, 8. V8={(un)n∈N∈R^N| ∀n∈N, un+3= 4un+2−6un} ,

9. V9={(b², 4a−c, 4c)|(a, b, c)∈R³} etV10={(b³, 4a−c, a+ 4c)|(a, b, c)∈R³},

(2)

10. V9^′={(3a−b+2c, 4a²−c, 4c+3b)|(a, b, c)∈R³}etV10^′ ={(3a−b+2c, 4a−c, 4c+3b)|(a, b, c)∈R³}, 11. V11={f ∈ F(R,R)| ∃(a, φ)∈R² : ∀x∈R, f(x) =acos(x+φ)},

12. V12={f ∈ F(R,R)| ∃φ∈R : ∀x∈R, f(x) = cos(x+φ)}, 13. V13={(u_n)n∈N∈C^N| ∀n∈N,|un|6π},

14. V14={(un)n∈N∈C^N| ∃M ∈N : ∀n∈N,|un|6M}, 15. V15=

un)n∈N∈C^N un_n→+∞∼ 1 n

, 16. V16=

(un)n∈N∈C^N un =

n→+∞o 1

n

,

⊲ Exercice 1.6. Considérons les deux sous-espaces vectoriels du R-espace vectoriel R⁴, E = {(x, y, z, t) ∈ R⁴| x+y−z+ 2t= 0}et F={(x, y, z, t)∈R⁴|x+t= 0}.

1. Justifier queE∩F est un sous-espace vectoriel deR⁴. 2. Déterminer une base deE∩F.

3. La compléter en une base deE, puis en une base deF. 4. La réunion de ces deux bases forme-t-elle une base deR⁴?

1.3 Combinaisons linéaires de vecteurs. Familles libres, liées.

⊲ Exercice1.7. Démontrer que deux vecteurs non colinéaires d’un espace vectoriel forment toujours une famille libre.

⊲ Exercice 1.8. Soit (pi)i∈N la suite croissante des nombres premiers (p1= 2,p2= 3, ...).

1. Montrer que pour toutp∈N^∗, si une combinaison linéaire à coefficients dansQdes vecteurs (ln(p_k))k=1,2, ..., p

duQ-espace vectoriel (R,+, .) est nulle, alors tous les coefficients sont nuls.

2. En déduire qu’il ne peut pas exister un ensemble fini de nombres réels (xi)i∈I (oùI est un ensemble fini) tel que pour tout réelx, il existe une famille (q_i)i∈I de nombres rationnels tels que x=X

i∈I

qi.xi.Ceci s’interprète en disant que (R,+, .)est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.

⊲ Exercice 1.9. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu’un vecteur duC-espace vectoriel C³ soit combinaison linéaire des vecteurs (1, j, j²), (j, j², 1), (j², 1, j).

⊲ Exercice 1.10. Que dire du caractère libre ou lié des familles deR²suivantes : n(1,0),(2,1),(3,3)o

, n

(1, π),(ln 7,1),(√2,4)o , n

(1,4),(2,−1)o . Illustrer vos réponses par et sur un dessin.

⊲ Exercice 1.11. Montrer que les familles suivantes sont libres dans leR-espace vectoriel des applications de RdansR, F(R,R) :

x7→ |x−a|

a∈Q ,

x7→ |x−a|

a∈R,

x7→e^αx

α∈R ,

x7→xⁱ

i∈N.

⊲ Exercice 1.12. Pour chacune des familles suivantes de vecteurs deR³, indiquer s’il s’agit d’une base, d’une famille libre, d’une famille génératrice, en précisant pourquoi :

1.







 1

−1



,



1 0 1



,



2 2 6







,







1 2 0



,



1 1 0



,



1 0 1



,



 0 1

−1







, 2.







 1 2 0



,



 0 2 1







,







 1 1 0



,



 1 0 1



,



 0 1 1







,

⊲ Exercice 1.13. SoitE unR-espace vectoriel et (x, y, z)∈E³ tels que la famille{x, y, z} soit libre. Posons u=x+y, v=y+z, w=z+x. Montrer que{u, v, w}est une famille libre.

⊲ Exercice 1.14. Déterminer les valeurs de α ∈ R pour lesquelles la famille {(1,1, α),(1, α,1),(α,1,1)} de vecteurs deR³ est liée.

⊲ Exercice 1.15. Montrer que les trois fonctions suivantes forment une famille liée dans l’espaceC⁰(R,R) des fonctions continues deRdansR:

x7→cos(x−1) , x7→cosx , x7→cos(x+ 1).

(3)

⊲ Exercice 1.16. Liberté de familles de fonctions (classique).

1. (a) Soit p ∈ N. Montrer que la famille

R −→ R t 7−→ sinⁱ(t)

i∈[[0,p]] est libre dans le R-espace vectoriel C⁰(R,R).

(b) Montrer que la famille

i∈N

est libre dans leR-espace vectorielC⁰(R,R).

2. (a) Soient p∈ N et (a_i)_i∈[[0,p]] ∈ R^∗₊^p+1 une famille de réels strictement positifs deux à deux distincts.

Montrer, par récurrence, que la famille

R −→ R t 7−→ sin(ait)

i∈[[0,p]]est libre dans leR-espace vectoriel C⁰(R,R).

(b) Soit (a_i)i∈N∈R^Nune suite de réels strictement positifs deux à deux distincts. Déduire de la question précédente que la famille

R −→ R t 7−→ sin(ait)

i∈N

est libre dans leR-espace vectorielC⁰(R,R).

3. (a) Soient p ∈ N et (a_i)_i∈[[0,p]] ∈ R^p+1 une famille de réels deux à deux distincts. Montrer (par récur- rence ou/et de manière directe) que la famille

R −→ R t 7−→ exp(ait)

i∈[[0,p]]est libre dans leR-espace vectorielC⁰(R,R).

(b) Soit (a_i)i∈N∈R^Nune suite de réels deux à deux distincts. Montrer que la famille

R −→ R t 7−→ exp(a_it)

est libre dans leR-espace vectorielC⁰(R,R). i∈N

⊲ Exercice 1.17. On se place dans le R-espace vectorielC⁰(R;R) des fonctions continues deR dansRet on considère les fonctions

f2:x7→ |x−2| , f1:x7→ |x−1| , f0:x7→ |x| , f−1:x7→ |x+ 1| , f−2:x7→ |x+ 2|. Montrer que ces cinq fonctions forment une famille libre dans C⁰(R;R) (on pourra utiliser les propriétés de dérivabilité des fonctions considérées pour prouver leur liberté).

1.4 Familles génératrices, sous-espaces engendrés, bases.

⊲ Exercice 1.18.

1. Montrer que l’ensemble F défini par F =

(x, y, z)∈C³ |x+y+z= 0, x+iy−z= 0 est un sous- espace vectoriel duC-espace vectorielC³, en déterminer une base.

2. En considérantC³comme unR-espace vectoriel, déterminer de même une base deF en tant queR-espace vectoriel.

⊲ Exercice1.19. SoitEest unC-espace vectoriel dontB= (e1, . . . , en) est une base. Nous savons queEest ca- noniquement muni d’une stucture deR-espace vectoriel. Montrer que, pour toutz∈C\R, (e1, z.e1, e2, z.e2, . . . , en, z.en) est une base duR-espace vectorielE.

En particulier, (e1, i.e1, e2, i.e2, . . . , en, i.en) est une base duR-espace vectorielE.

⊲ Exercice 1.20. Dans R⁴, soient u = (1,0,1,0), v = (0,1,−1,0), w = (1,1,1,1), x = (0,0,1,0), y = (1,1,0,−1).F = Vect{u, v, w} et G= Vect{x, y}. Déterminer des équations (dans la base canonique deR⁴) et des bases deF, G, F∩G?

Une équation d’un sous-espace vectorielV deRⁿ dans la base canonique deRⁿ est une condition nécessaire et suffisante portant sur les coordonnées d’un vecteur de Rⁿ dans la base canonique de Rⁿ pour que ce vecteur appartienne àF.

⊲ Exercice 1.21. Soientα1= (1,1,1) etα2= (1,2,3) deux vecteurs deR³. NotonsV = Vect{α1, α2}. Donner une condition nécessaire et suffisante sur a ∈ R pour que α3 = (3, a,13) ∈ V. Montrer qu’alors (α1, α3) et (α2, α3) sont des bases deV.

⊲ Exercice 1.22. Dans R⁴, considérons les vecteurs u1 = (1,0,1,1), u2 = (0,1,0,1) et u3 = (1,1,0,0). On noteE= Vect{u1, u2, u3}.

1. Montrer que (u1, u2, u3) est une base deE.

2. Montrer que v1 = (2,−1,1,−1), v2 = (3,−3,2,−2) et v3 = (2,2,1,2) sont dans E. A-t-on E = Vect{v1, v2, v3}?

⊲ Exercice 1.23. On se place dans leR-espace vectorielR3[x] des fonctions polynômes de degré au plus 3.

(4)

1. Montrer que l’ensembleE¹des fonctions qui s’annulent en 1 est un sous-espace vectoriel deR3[x]. Prouver queE¹ est de dimension 3 en en précisant une base.

2. L’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 est-il un sous-espace vectoriel deR3[x] ? qu’en est-il de l’ensemble des polynômes de degré égal à 2 ?

⊲ Exercice1.24. On considère l’équation différentielley^′′+λy^′+ω²y= 0. Montrer que l’ensemble des fonctions réelles duR-espace vectorielC²(R;R) solutions de cette équation forme un sous-espace vectoriel deC²(R;R) dont on rappelera une base (en fonction des valeurs de (λ, ω)∈R²) .

⊲ Exercice 1.25. Soient P0, . . . , Pn (n∈N) des polynômes non nuls deR[X] tels que pour tout 06i6n, le degré dePi est i. Démontrer que la famille (Pi)i=0...n forme une base du sous-espace vectorielRn[X] constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal àn.

2 Applications linéaires entre espaces vectoriels.

⊲ Exercice 2.1. Les applications suivantes sont-elles linéaires ? Justifiez.

1. f1:x∈R7→sin(x)∈R.

2. f2:z∈C7→2i.z−z¯∈C(on rappelle queCpeut être vu comme un espace vectoriel surRde dimension 2 et de base{1, i}. On exprimera alors les composantes def2 dans cette base).

3. f3: (x, y)∈R²7→(xy, x+y)∈R².

4. f4: (x, y, z)∈R³7→(y+z, x+z, x+y)∈R³. 5. f5: (x, y, z)∈R³7→(y,0)∈R².

⊲ Exercice 2.2.

1. Déterminer toutes les applications linéaires deRdansR.

2. Soitf une application linéaire deR³ dans R³. En utilisant les vecteurs f(1,0,0), f(0,1,0) et f(0,0,1), montrer que l’on peut trouver 9 constantesa1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3telles que

f(x, y, z) = (a1∗x+b1∗y+c1∗z, a2∗x+b2∗y+c2∗z, a3∗x+b3∗y+c3∗z).

En déduire quef(x, y, z) = M(x, y, z)^T, oùM est une matrice à préciser(voir plus tard le cours sur les matrices...).

⊲ Exercice 2.3. Soitf la fonction définie deR⁴ dansRparf(x, y, z, t) = 4x+ 2y−z+t.

1. Montrer quef est linéaire.

2. Calculer l’image et une base du noyau def.

⊲ Exercice 2.4. Soitf la fonction définie deR⁴ dansR³parf(x, y, z, t) = (x−z+t, y−t, x+y−z) 1. Montrer quef est linéaire.

2. Calculer une base de l’image et du noyau def. 3. Est-ce que (1,2,0) est dans l’image def?

⊲ Exercice 2.5. Soient E, F et Gtrois K-espaces vectoriels,ϕ∈ L^K(E, F) etψ∈ L^K(F, G). Montrer que 1. Imψ◦ϕ⊂Imψet Kerϕ⊂Kerψ◦ϕ,

2. ψ◦ϕ= 0LK(E,G) ⇐⇒ Imϕ⊂Kerψ.

⊲ Exercice 2.6. Considérons l’application Ψ :C⁰(R,R)→ C⁰(R,R) définie pour toutf ∈ C⁰(R,R) par Ψ(f) =





R −→ R x 7−→

Z x 0

tf(t)dt

1. Montrer que Ψ est une application linéaire bien définie. Est-elle injective ? est-elle surjective ? 2. Montrer que ImΨ =

g∈ C¹(R,R)|g(0) = 0, g^′(0) = 0, g^′ est dérivable en 0 .

⊲ Exercice 2.7.

1. Soient f ∈ L^K(E, F) et g ∈ L^K(F, G) où E, F et G sont trois K-espaces vectoriels. Démontrer que g◦f = 0LK(E,G)si et seulement si Imf ⊂Kerg.

2. Application : soitp∈ L^K(E) oùE est un K-espace vectoriel. Montrer que p◦p =psi et seulement si Imp= Ker(idE−p).

(5)

Manipulations dans la K-algèbre L

^K

( E ).

⊲ Exercice 2.8. Inversibilité d’un endomorphisme annulé par un polynôme.

1. Soitf ∈ L^K(E) et P ∈K[X] tel que f◦P(f) = idE. Montrer quef ∈ GL^K(E) et quef⁻¹=P(f).

2. Soitf ∈ L^K(E) tel quef⁴+2.f²−3.f+2.idE= 0LK(E). Montrer quef ∈ GL^K(E) et donner une expression explicite def⁻¹ comme un polynôme enf.

3. Montrer que, sif ∈ L^K(E) satisfait une identité polynomiale du type Q(f) = 0_LK(E) avecQ∈K[X] tel queQ(0)6= 0, alorsf ∈ GL^K(E) et que son inverse estf⁻¹est un polynôme enf que l’on explicitera en fonction du morphisme canonique deK-algèbres Φf :K[X]→K[f].

⊲ Exercice 2.9.

Soitf ∈ L^K(E) telle quef³+f²+ 2id_E = 0_LK(E).

1. Montrer quef ∈ GL^K(E) et exprimer f⁻¹ polynomialement en fonction def.

2. Montrer que, siλn’est pas racine du polynôme X³−X²−2, alors (f+λ.id_E)∈ GL^K(E). (on pourra poserg=f+λ.id_E puis chercher un polynôme annulateur pourg)

⊲ Exercice 2.10.

Soient (f, g)∈ L^K(E)² tels quef³= 0LK(E)et g²= idE. 1. Pour toutn∈ {1,2,3}, développer (f +g)ⁿ.

2. En supposant de plus quef ◦g=g◦f développer, pour toutn∈N, (f+g)ⁿ.

3. Montrer que id_E−2.f et id_E+ 2g sont des applications linéaires bijectives et expliciter leurs automor- phismes inverses polynomialement enf et grespectivement.

⊲ Exercice 2.11. AlgèbreK[f].

1. Soitf ∈ L^K(E) tel quef³= 0_LK(E)et f²6= 0_LK(E). Montrer queK[f] est uneK-algèbre de dimension 3 (i.e. admettant une base de cardinal 3).

2. Soitf ∈ L^K(E) tel quef⁴−f²+ 2.f = 0LK(E) et f² 6= 0LK(E). Montrer que K[f] est uneK-algèbre de dimension inférieur ou égale à 4 (on exhibera une famille génératrice de cardinal 4).

⊲ Exercice 2.12. Si deux endomorphismes commutent, le noyau de toute expression polynomiale en l’un est stable par l’autre.

Soient (u, v) ∈ L^K(E)² où E est un K-espace vectoriel. Montrer que si u et v commutent (c’est à dire si u◦v=v◦u), alors pour toutn∈N^∗, pour tous (a0, a1, . . . , an)∈Kⁿ⁺¹, Ker

Xn i=0

aiuⁱ

!

est un sous-espace vectoriel stable parv, c’est à direv Ker

Xn i=0

aiuⁱ

!!

⊂Ker Xn i=0

aiuⁱ

! .

⊲ Exercice 2.13.

Soitv∈ L^K(E) oùE est unK-espace vectoriel. Considérons l’application Φ

L^K(E) −→ L^K(E) u 7−→ u◦v . 1. (a) SiE=R²etv=

R² → R² x1

x2

7→

x2

x1

, expliciter Φ(v), Φ(u1) et Φ(u2) oùu1=

R² → R² x1

x2

7→

x2−x1

0 ,

u2=

R² → R² x1

x2

7→

x2+x1

−2x1−2x2

. Sur cet exemple, que peut-on dire de Φ²? (b) Siv=λ.id_E, que vaut Φ ?

2. Démontrer que l’application Φ appartient àL^K(L^K(E)).

3. Montrer que Φ est bijective (appartient àGL^K(L^K(E))) si et seulement si v ∈ GL^K(E). (le sens direct peut se faire en utilisant l’existence d’un supplémentaire en dimension qcq mais il est aussi possible de s’en passer...)

⊲ Exercice 2.14. Commutant d’un endomorphisme.

Soitu∈ L^K(E). Le commutant deu, notéC(u) est l’ensemble des endomorphismes deE qui commutent avec u:C(u) ={f ∈ L^K(E)|f◦u=u◦f}.

1. Montrer queC(u) est un sous-espace vectoriel deL^K(E).

2. Soit v ∈ L^K(E) tel qu’il existe ψ ∈ GL^K(E) tel que u = ψ◦v◦ψ⁻¹. Montrer que C(u) et C(v) sont isomorphes. On pourra introduire une application linéaire deC(u) dansC(v) du typef 7−→ψ⁻¹◦f◦ψet montrer que c’est un isomorphisme.

(6)

⊲ Exercice 2.15.

Considérons l’application suivante appelée dérivationD : C¹(R, C)→ C⁰(R, C), définie, pour toutf ∈ C¹(R, C), parD(f) =f^′, oùC¹(R, C) et C⁰(R, C) sont envisagés comme deuxC-espaces vectoriels.

1. Montrer queDest une application linéaire surjective.

2. Montrer queH={f ∈ C¹(R, C)|f(0) = 0}est un sous-espace vectoriel deC¹(R, C).

3. Montrer que, pour toutλ∈C, l’application (D−λ.id)_|H :H → C⁰(R, C) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

⊲ Exercice 2.16. Endomorphisme nilpotent.

Soitu∈ L^K(E) tel qu’il existe un entierp∈N^∗ vérifiantu^p= 0LK(E). Un tel endomorphisme est dit nilpotent.

1. Montrer que idE−uappartient àGL^K(E).

2. Préciser l’inverse de id_E−ucomme un polynôme enu.

3. Qu’en est-il de id_E+u?

4. Donner des exemples de tels types d’endomorphisme (on pourra penser à la dérivation sur les fonctions polynômiales...)

⊲ Exercice 2.17. Un endomorphisme surjectif non injectif.

1. Montrer que la dérivation D est une application linéaire surjective et non injective dans le R-espace vectorielC^∞(R,R).

2. Montrer qu’il existe un endomorphismeudeC^∞(R,R) tel queD◦u= idC^∞(R,R). 3. Justifier qu’il n’existe pas d’endomorphismev deC^∞(R,R) tel quev◦D= idC^∞(R,R).

3 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel

3.1 Somme de sous-espaces vectoriels.

⊲ Exercice 3.1. Caractérisation de la somme directe de sous-espaces vectoriels.

Soit (E,+,·) un K-espace vectoriel, (Fi)_i∈[[^1,p]] une famille de sous-espaces vectoriels deE comptant au moins 3 sous-espaces vectoriels (p>3).

1. Montrer que la condition ∩^pi=1Fi = 0E est insuffisante pour affirmer que les sous-espaces vectoriels (Fi)_i∈[[1,p]] sont en somme directe.

2. Montrer que la condition :

∀i∈[[1, p−1]], Fi∩ +^p_k=i+1Fk ={0E}

est une condition nécessaire et suffisante pour affirmer que les sous-espaces vectoriels (Fi)_i∈[[^1,p]] sont en somme directe.

⊲ Exercice 3.2.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soient A et B deux sous-espaces vectoriels de E et f ∈ L^K(E, F).

Montrer que

f(A)⊂f(B) ⇐⇒ A+ Kerf ⊂B+ Kerf.

⊲ Exercice 3.3.

Soit (E,+,·) un K-espace vectoriel etf ∈ L^K(E). Montrer que 1. Kerf = Kerf² ⇐⇒ Imf ∩Kerf ={0E},

2. Imf = Imf² ⇐⇒ Imf+ Kerf =E.

⊲ Exercice 3.4.

SoientF =

f ∈ C¹(R,R) f(0) =f^′(0) = 0 etG=

R −→ R x 7−→ ax+b

(a, b)∈R²

. 1. Montrer queF et Gsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires deC¹(R,R).

2. Expliciter les projections vectorielles surF parallèlement àGet surGparallèlement àF. 3. Expliciter la symétrie vectorielle par rapport àF et parallèlement àG.

4. Expliciter l’affinité vectorielle (définition dans l’exercice3.9) de baseG, de directionF et de rapport 3.

(7)

3.2 Projections vectorielles, symétries vectorielles, affinités vectorielles.

⊲ Exercice 3.5.

Montrer que dans le R-espace vectoriel R4[x], le sous-espace R2[x] et l’espace vectoriel F des fonctions poly- nomiales de valuation supérieure ou égale à 3 sont supplémentaires. En déduire l’expression de la projection vectorielle surF parallèlement àR2[x] puis celle de la symétrie vectorielle par rapport àF parallèlement àR2[x].

⊲ Exercice 3.6.

Soit (E,+,·) un K-espace vectoriel et (p, q)∈ L^K(E)². Montrer que

(p◦q=petq◦p=q) ⇐⇒ pet qsont des projecteurs de même noyau.

⊲ Exercice 3.7.

Soientf ∈ L^K(E) et p∈ L^K(E) un projecteur.

1. Montrer que Im(p◦f) = Imp∩(Kerp+ Imf).

2. Montrer que Ker(f◦p) = Kerp⊕(Kerf∩Imp).

⊲ Exercice 3.8.

Soient (E,+,·) unK-espace vectoriel etf ∈ L^K(E) tel quef²−3f + 2idE= 0LK(E).

1. Montrer quef ∈ GL^K(E) et exprimer f⁻¹ comme un polynôme en l’endomorphismef. 2. Montrer queE= Ker(f −idE)⊕Ker(f −2idE).

3. Exprimer les projections vectoriellesp1 sur Ker(f−idE) parallèlement à Ker(f−2idE) etp2sur Ker(f− 2idE) parallèlement à Ker(f−idE) comme des polynômes enf.

4. Soitx∈E fixé quelconque. En décomposantxselon les deux sous-espaces propres def, calculer explici- tement en fonction den∈N,fⁿ(x).

⊲ Exercice 3.9. À propos des affinités vectorielles.SoitE unK-espace vectoriel.

SoientE1 etE2 deux sous-espaces vectoriels deE supplémentaires dansE etλ∈K\ {0,1}.

L’affinité vectorielle de base E1, de direction E2 et de rapport λ est l’application deE dans E, notée aE1,E2,λet définie par

aE1,E2,λ : E=E1⊕E2 → E x=x1+x2 7→ x1+λ.x2

où (x1, x2) est l’unique couple deE1×E2 tel quex=x1+x2.

1. Montrer qu’une affinité vectorielle est un automorphisme et caractériser son automorphisme réciproque.

2. Soientf ∈ L^K(E) etα∈K\ {0,1}. Montrer quef est une affinité vectorielle de rapportαsi et seulement sif²−(1+α).f+α.id_E= 0 (pour le sens réciproque, on prouvera queE= Ker(f−id_E)⊕Ker(f−α.id_E)).

Dans ce cas, exprimer la base et la direction de f comme des noyaux d’endomorphismes qui sont des polynômes enf.

4 Résolution d’équations linéaires.

⊲ Exercice 4.1. Résolution des suites récurrentes linéaires d’ordre2.

1. Soient (a0, a1)∈C²fixés. Le but de cette partie est de déterminer l’ensembleS^a⁰^,a¹ des suitesu∈C^Nqui vérifient

∀n∈N, un+2+a1un+1+a0un= 0. (a) Montrer queSa0,a1 est unC-espace vectoriel.

(b) Déterminer une base deS^a⁰^,a¹ (on définira deux suites particulières de S^a⁰^,a¹ et on prouvera qu’elles forment une famille libre et génératrice).

(c) Introduisons l’application S de C^N dans C^N définie pour tout u = (un)n∈N ∈ C^N par S(u) = (un+1)n∈N∈C^N.

i. Montrer queS ∈ L^C(C^N) puis que S se restreint en un endomorphisme ˆS deS^a⁰^,a¹. ii. Montrer que ˆS²+a1Sˆ+a0idSa0,a1 = 0LK(Sa0,a1).

iii. En déduire que, si le trinômeX²+a1X+a0possède deux racines distinctesr1 etr2, alorsS^a⁰^,a¹= Ker( ˆS−r1idSa0,a1)⊕Ker( ˆS−r2idSa0,a1). ExpliciterSa0,a1 dans ce cas.

iv. Montrer que, si le trinôme X²+a1X +a0 possède une racine doubler, alors S^a0,a1 = Ker(( ˆS− ridSa0,a1)²). ExpliciterS^a⁰^,a¹ dans ce cas.

2. Applications.

(8)

(a) Déterminer les suites complexes solutions de la relation de récurrence linéaire∀n∈N,un+2+ 4un+1+ 4u_n=n2ⁿ.

(b) Déterminer les suites complexes solutions de la relation de récurrence linéaire∀n∈N,un+2+un+1− 6u_n=n².

⊲ Exercice 4.2. Résolution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 3 et d’une relation de récurrence linéaire d’ordre 3.

1. SoitE unC-espace vectoriel etf ∈ L^C(E) tel quef³−idE= 0_LC(E). Montrer qu’en notantj = exp2iπ 3 , E= Ker(f−id_E)⊕Ker(f−j.id_E)⊕Ker(f−j².id_E).

2. En déduire la résolution de y⁽³⁾ −y = 0 dans le C-espace vectoriel C^∞(R,C). On pourra introduire l’endomorphisme dérivation surC^∞(R,C) et considérer sa restriction au sous-espace vectoriel des solutions dey⁽³⁾−y= 0.

3. En déduire les suites complexes solutions de la relation de récurrence linéaire∀n∈N, un+3−un = 0.

5 Algèbre linéaire dans les K-espaces vectoriels K[X ] et K(X )

5.1 Bases des espaces de polynômes

⊲ Exercice 5.1. Liberté d’une famille de polynômes non nuls de degrés étagés SoitIun ensemble et (P_i)i∈I une famille de polynômes deK[X].

La famille (P_i)i∈I est à degrés étagés si

∀(i, j)∈I², i6=j⇒degPi6= degPj

Montrer qu’une famille de polynômes non nuls de degrés étagés est libre dansK[X].

⊲ Exercice 5.2. Interprétation de la formule de Taylor 1. Montrer que, pour tout a∈ R,

(X−a)^k k!

k∈[[0, n]]

est une base de Rn[X]. Comment s’interprète alors la formule de Taylor ?

2. Considérons, pour (n, a)∈N×Kfixés, les applicationsφk :R_n[X]→R, P 7→P^(k)(a) lorsquek= 0, . . . , n.

Montrer qu’elles forment une base de l’espace vectoriel des formes linéaires surK_n[X].

⊲ Exercice 5.3. Quelques questions sur l’espace vectoriel K(X) 1.

X^k | k∈N ∪

1 (X−a)^k

(k, a)∈N^∗×C

est une base de C(X). En déduire une interprétation géométrique (avec le vocabulaire de l’algèbre linéaire) de la partie polaire associée au pôle 1 + 2i(resp.

de la partie polynômiale) d’une fraction rationnelle.

2. Donner une base deR(X).

5.2 Applications linéaires entre espaces de polynômes

⊲ Exercice 5.4. Première preuve, sans la théorie de la dimension.

Montrer que, pour toutA∈C[X], il existe un uniqueP∈C[X] tel que P^′′(X) +P^′(X) +P(X) =A(X).

⊲ Exercice 5.5.

Soit ∆ l’endomorphisme deC[X] défini par ∆(P)(X) =P(X+ 1)−P(X).

1. Déterminer le noyau puis l’image de ∆ (pour l’image, on pourra utiliser un argument de dimension ou sauter la question en attendant de disposer des outils de la dimension finie).

2. SoitP ∈C[X] etn∈N. Montrer que ∆ⁿ(P)(X) = (−1)ⁿ Xn k=0

(−1)^k n

k

P(X+k).

3. En déduire que, pour toutn∈N^∗ fixé, pour toutP∈Cn−1[X], Xn k=0

(−1)^k n

k

P(k) = 0.

4. Oral Mines MP.SoitQ∈Cp[X] (p∈N^∗). Posons, pour toutn∈N, un =Q(n). Montrer que la suite u∈C^N est solution d’une relation de récurrence linéaire homogène d’ordrep+ 1 à coefficients constants, c’est à dire

∃(a0, . . . , ap)∈C^p+1 : ∀n∈N, un+p+1=apun+p+ap−1un+p−1+. . .+a1un+1+a0un

Expliciter une telle relation pourQ(X) =X+ 1 puis pourQ(X) =X²+X−1.

(9)

⊲ Exercice 5.6. Lemme des noyaux explicite.

SoitE unR-espace vectoriel etu∈ L^R(E) tel que (u²−id_E)◦(u³−id_E) = 0_LR(E).

1. Établir une relation de Bézout entreA1(X) = (X+ 1)(X²+X+ 1),A2(X) = (X−1)²(X²+X+ 1) et A3(X) = (X+ 1)(X−1)².

2. En déduire queE= Ker(u+ idE)⊕Ker((u−idE)²)⊕Ker(u²+u+ idE).

3. Expliciter les projecteursp1,p2 etp3 sur chacun des trois espaces vectoriels ci-dessus parallèlement à la somme directe des deux autres. Calculer, pour tout (i, j)∈[[1,3]]²,pi◦pj.

6 Questions courtes.

⊲ Exercice 6.1. L’indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions suivantes.

1. L’ensemble des suites monotones réelles est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel des suites réelles.

2. L’ensemble des suites réelles, monotones à partir d’un certain rang (dépendant de chaque suite) est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel des suites réelles.

3. L’ensemble des fonctions polynômiales (de degré quelconque) de R dans R est-il un R-espace vectoriel pour des structures canoniques à préciser ?

4. LeR-espace vectoriel des fonctions polynômiales deRdansRde degré inférieur ou égal à 3 est engendré parP1:x7→x, P2:x7→x²et P3:x7→x³.

5. LeR-espace vectoriel des fonctions polynômiales deRdansRde degré inférieur ou égal à 3 est engendré par P1 : x 7→ √π, P2 : x 7→ x, P3 : x 7→ x+ 2√π, P4 : x 7→ x², P5 : x 7→ x²+x et P6 : x 7→ x³, P7:x7→x³+x².

6. LeR-espace vectoriel des fonctions polynômiales deRdansRde degré inférieur ou égal à 3 est engendré parP1:x7→x, P2:x7→x²−1,P3:x7→x²+ 2 etP4:x7→x³.

7. Dans un espace vectorielE, simplifiez, λ.

Xp i=1

ai.xi− Xp i=3

(λ.×ai).xi, Xp i=1

Xq j=1

bj.(ai.xi)− Xp i=1

ai.X^q

j=1

bj.xi

, Xp i=1

ai.xi− Xp i=1

bi.xp+1−i− Xp i=1

(ai−bp+1−i).xi

où lesai,bisont des scalaires et les xi sont des vecteurs...

8. La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est jamais un sous-espace vectoriel.

9. L’intersection de sous-espaces vectoriels est distributive sur la somme de sous-espaces vectoriels.

10. Deux applications linéaires qui coïncident sur une famille génératrice de l’espace vectoriel de départ sont égales.

11. Un endomorphisme injectif est également surjectif.

12. L’ensemble des endomorphismes injectifs/surjectifs forme un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des endomorphismes.

13. Sif ∈ GL^K(E),λ.fappartient-t-il àGL^K(E) pourλ∈Ket exprimer l’automorphisme réciproque lorsque λ.f ∈ GL^K(E).

14. Sif ∈ L^K(E) vérifief³−3f²=−2.f, a-t-onf ∈ GL^K(E) ?

15. Sif ∈ L^K(E) vérifief³−3f + 2.idE= 0LK(E), a-t-on f ∈ GL^K(E) ?

16. L’application duR-espace vectoriel des suites réelles bornées dansRqui à (u_n)n∈Nassocie sup{un, n∈N} est une application linéaire.

17. L’ensembles des suites réelles nulles à partir d’un certain rang,

{(un)n∈N∈R^N| ∃p∈N : ∀k∈N, k>p⇒uk = 0} est un sous-espace vectoriel duR-espace vectoriel des suites réelles.

18. L’ensembles des suites réelles nulles à partir du rang 4,

{(un)n∈N∈R^N| ∀k∈N, k>4⇒uk = 0}

est unR-espace vectoriel. En donner trois bases différentes et montrer qu’il est isomorphe àRⁿ pour une valeur denà préciser.

19. L’image réciproque d’une partie génératrice de l’espace vectoriel d’arrivée par une application linéaire forme une partie génératrice de l’espace vectoriel de départ.

20. L’ensemble des projecteurs d’unK-espace vectorielE,{f ∈ L^K(E)|f◦f =f}est un sous-espace vectoriel deL^K(E).

(10)

21. L’ensemble des homothéties d’unK-espace vectorielE est un sous-espace vectoriel deL^K(E). En donner une base.

22. L’application, φ, définie dans le R-espace vectoriel des fonctions polynômiales à coefficients réels, par [t7→f(t)]7→[t7→tf(t)] est une application linéaire.φ² stabilise le s.e.v des fonctions paires et aussi celui des fonctions impaires.φest une application linéaire injective et non surjective.

23. Dans leR-espace vectorielR³, donner l’expression de la symétrie vectorielle par rapport à Vect{(1,2,0),(−1,3,0)} parallèlement à Vect{(1,1,1)}.

24. La famille{x7→ch(x), x7→sh(x), x7→ch(x+ 4)}est libre.

25. La famille{x7→x^k}^{k=0, ...,n} est libre pour toutn∈N^∗.

26. Donner une base duR-espace vectoriel des fonctions réelles, définies surR, solutions dey^′′+y^′+y= 0.

27. Donner une base duC-espace vectoriel des fonctions complexes, définies surR, solutions dey^′′+y^′+y= 0.

28. Donner une base duR-espace vectoriel des fonctions complexes, définies surR, solutions dey^′′+y^′+y= 0.

(11)

Correction des exercices

⊲ Corrigé de l’exercice 1.1

• Comme dans tout espace vectoriel, {0K} et K sont des sous-espaces vectoriels du corps K muni de sa structure canonique deK-espace vectoriel.

• SoitF un sous-espace vectoriel de Kfixé quelconque.

Par propriété d’un sous-espace vectoriel, 0K∈F.

⋆ SoitF ={0K}.

⋆ SoitF 6={0K} donc∃x∈K:x∈F etx6= 0.

Dans ce cas, pour toutr∈K,

r=r×^Kx⁻¹×^Ks= (r×^Kx⁻¹)×^Kx= (r×^Kx⁻¹).Kx∈F

| {z }

F sev ⇒F est stable pour la LCE· doncK⊂F.

Par ailleurs,F est un sous-espace vectoriel duK-espace vectorielKdoncF ⊂Kd’oùnF =K.

Ainsi, les sous-espaces vectoriels de Ksont{0K} etE.

• Supposons queF ⊂G(resp.G⊂F). AlorsF∪G=Gqui est un sous-espace vectoriel deEdoncF∪G est un sous-espace vectoriel deE.

• Supposons queF∪Gest un sous-espace vectoriel deE.

Raisonnons par l’absurde en supposant que non(F ⊂GouG⊂F), ce qui équivaut àF 6⊂Get G6⊂F.

Par hypothèse,F etGsont des sous-espaces vectoriels de Edonc sont non vides donc F 6⊂G⇒ ∃xF ∈F : xF ∈/G , G6⊂F ⇒ ∃xG∈G : xG∈/F Posonsy=xF+xG.

PuisqueF∪Gest un sous-espace vectoriel,y∈F∪G.

Supposons quey∈G,xF = (x_F+xG)−xG= y

|{z}

∈G

− xG

|{z}∈G

∈G(combinaison linéaire de deux vecteurs du sous-espace vectorielG) doncxF ∈Gce qui est une contradiction.

Par conséquent,y /∈Gdoncy∈F. On en déduit quexG= (x_F+x_G)−xF = y

|{z}

∈F

− xF

|{z}∈F

∈F(combinaison linéaire de deux vecteurs du sous-espace vectorielF) doncxG ∈F ce qui est une contradiction.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.4 1. Montrer que {0_E} ×F, E× {0_F} sont deux sous-espaces vectoriels de E×F respectivement isomorphes àF et E.

2. Montrer plus généralement que, siE^′ et F^′ sont respectivement deux sous-espaces vectoriels de E et F, alorsE^′×F^′ est un sous-espace vectoriel deE×F.

3. NotonsjE

E −→ E×F x 7−→ (x,0_F) etjF

F −→ E×F

y 7−→ (0_E, y) . Ces deux applications sont appelées injections canoniques.

(a) Montrer quejE et jF sont des applications linéaires injectives.

(b) Que peut-on en déduire pour les parties{0E} ×F,E× {0F}deE×F? 4. Notons sE

E×F −→ E (x, y) 7−→ x et sF

E×F −→ F

(x, y) 7−→ y . Ces deux applications sont appelées surjec- tions canoniques.

(a) Ainsi,sE etsF sont des applications linéaires surjectives.

(b) SoitH un sous-espace vectoriel de E×F.

• sE et sF sont des applications linéaires donc les images de H parsE et sF sont des sous-espaces vectoriels respectifs deE etF si bien que le résultat de la question 2 appliqué pour E^′←sE(H) etF^′←sF(H) permet d’affirmer quesE(H)×sF(H) est un sous-espace vectoriel de E×F.

• Soith∈H fixé quelconque.

h∈H donc∃(h_E, hF)∈E×F :h= (h_E, hF).

On a doncsE(h) =hE∈sE(H) et sF(h) =hF ∈sF(H) donch= (h_E, hF)∈sE(H)×sF(H).

(12)

Ainsi,H⊂sE(H)×sF(H) etsE(H)×sF(H) est un sous-espace vectoriel deE×F. ConsidéronsE=R,F =Ret H={(x, y)∈R²|x+y= 0}.

On a (x, y)∈H ⇐⇒ x+y= 0 ⇐⇒ (x, y)∈ {(t,−t)|t∈R}donc H ={(t,−t)| t∈R}

Avec cette description,sE(H) =RetSF(H) =R, orH 6=R²(car (1,1)∈/ H) donc l’inclusionH ⊂R² est stricte.

Supposons queH soit le produit cartésien de deux sous-espaces vectorielsAetB deR:H =A×B.

Alors

sE(H) =A

sF(H) =B orsE(H) =Ret SF(H) =RdoncA=B=Rsi bien que H =R² ce qui est une contradiction.

Ainsi, les sous-espaces vectoriels deE×F ne sont pas toujours des produits cartésiens d’un sous-espace deE avec un sous-espace deF.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.14 La famille est libre si et seulement si l’équation suivante d’inconnue (a, b, c)∈ R³et de paramètreαpossède une unique solution

a



 1 1 α



+b



 1 α 1



+c



 α 1 1



= 0R³ . (1)

(1) ⇐⇒





a + b + αc = 0

a + αb + c = 0

αa + b + c = 0

⇐⇒





a + b + αc = 0

(α−1)b + (1−α)c = 0 (1−α)b + (1−α²)c = 0

Pour poursuivre la méthode du pivot de Gauss, il faut savoir que le coefficient debest non nul, d’où la distinction de deux cas :

• Siα= 1,

(1) ⇐⇒





a + b + αc = 0

0 = 0

Ce système linéaire présente deux conditions de compatibilité, une inconne principaleaet deux inconnues secondairesbet c. L’ensemble des solutions est un plan vectoriel donc la famille est liée.

• Siα6= 1,

(1) ⇐⇒





a + b + αc = 0

(α−1)b + (1−α)c = 0 (α²+α−2)c = 0 La résolution de ce système dépend de la nullité ou non deα²+α−2 = (α−1)(α+ 2).

(13)

⋆ Si α=−2,

(1) ⇐⇒





a + b − 2c = 0

−3b + 3c = 0

0 = 0

Ce système linéaire présente une condition de compatibilité, deux inconnues principalesaet bet une inconnue secondairec. L’ensemble des solutions est une droite vectorielle donc la famille est liée.

⋆ Si α6=−2, le sytème admet une unique solution donc la famille est libre.

Ainsi, la famille est liée si et seulement siα∈ {1,−2}.

1. (a) Soit (λ_i)_i∈[[0,p]]∈R^p fixée quelconque telle que Xp

i=0

λisinⁱ= 0_C⁰_(R,R) (2)

Montrons, par l’absurde que lespcoefficientsλ0, λ1, . . . , λp sont tous nuls.

Supposons qu’il existei0∈[[0, p]] tel que λi0 6= 0.

Posonsi1= min{i∈[[0, p]]|λi 6= 0}. Alors l’équation (2) devient

iX1−1 i=0

λi

|{z}= 0

sinⁱ+λi1sinⁱ¹+ Xp i=i1+1

λisinⁱ= 0C⁰(R,R)

si bien que

∀t∈R, λi1sinⁱ¹(t) + Xp i=i1+1

λisinⁱ(t) = 0 d’où

∀t∈R^∗ , λi1

sinⁱ¹(t) tⁱ¹ =−

Xp i=i1+1

λi

sinⁱ(t)

tⁱ¹ (3)

Or, sint_t→0∼ tdonc d’une part, sinⁱ¹(t)

tⁱ¹ _t→0∼ 1 et d’autre part, pour touti > i1, sinⁱ(t)

tⁱ¹ _t→0∼ tⁱ⁻ⁱ¹ donc

t→0lim sinⁱ(t)

tⁱ¹ = 0 si bien qu’en prenant la limite lorsquet →0 des deux membres de l’égalité (3), par unicité de la limite,

λi1 = 0

ce qui est une contradiction car la définition dei1 garantit queλi16= 0.

Ainsi, la famille

i∈[[0,p]]est libre dans leR-espace vectorielC⁰(R,R).

(b) Adaptons la preuve précédente en remplaçant la famille finie (λ_i)_i∈[[0,p]]par une famille (λ_i)i∈Npresque nulle.

Soit (λi)i∈N∈R^(N)fixée quelconque telle que X

i∈N

λisinⁱ= 0_C⁰_(R,R) (4)

Montrons, par l’absurde que les coefficients (λi)i∈Nsont tous nuls.

Supposons qu’il existei0∈Ntel que λi06= 0.

Posonsi1= min{i∈N|λi6= 0}. Alors l’équation (4) devient

iX1−1 i=0

λi

|{z}= 0

sinⁱ+λ_i₁sinⁱ¹+ X

i∈N i>i1 +1

λisinⁱ= 0_C⁰_(R,R)