Universit´e Paris Descartes
UFR de Math´ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P`eres 75270 Paris Cedex 06
Licence 1`ere ann´ee, 2012-2013,Math´ematiques et Calcul 1 (MC1)
Feuille de TD n◦7 : Espaces vectoriels
I) Espace vectoriel et Sous-espace vectoriel, D´efinitions et G´en´eralit´es.
Exercice 1 Parmi les ensembles suivants, pr´eciser lesquels sont des sous-espaces vectoriels deE=R4 ? (1) F1={(x, y, z, t)∈E|3x−y+t= 0}
(2) F2={(x, y, z, t)∈E|x−y+ 2z+t= 1}
(3) F3={(x, y, z, t)∈E|x+t= 0 et 2x+y−z= 0}
(4) F4={(x, y, z, t)∈E| |x+t|=|y|}
Exercice 2 SoitE l’espace vectoriel des fonctions de classeC1 surR`a valeurs dansRet F={f ∈E|f0+ 2f = 0}
Montrer queF est un sous-espace vectoriel deE.
Exercice 3 Soient les sous-ensembles deR3 suivants: F ={(x, y, z)∈R3|x+y−z= 0} et G={(a−b, a+b, a−3b), (a, b)∈R2}.
(1) Montrer queF et Gsont des sous-espaces vectoriels deR3. (2) D´eterminerF ∩G.
Exercice 4 SoienttE un espace vectoriel r´eel etF etGdeux sous-espaces vectoriels deE.
(1) Montrer queF∩Gest un sous-espace vectoriel deE.
(2) Montrer queF∪Gest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement siF ⊂GouG⊂F.
II) Familles libres, Familles li´ees, Familles g´en´eratrices, Bases et Dimension.
Exercice 5 Les deux familles de R3 suivantes sont-elles libres ?
• F1={(1,3,2); (1,0,−1); (2,3,5)}
• F2={(0,2,−1); (4,3,−2); (4,1,−1)}
Les deux familles deR4 suivantes sont-elles libres ?
• F3={(1,2,1,3); (2,1,4,3); (1,3,2,1)}
• F4={(1,2,−1,1); (3,−1,2,1); (2,−3,−3,0); (4,1,−5,2)}
Pourquoi peut-on affirmer sans calculs queF3 ne peut-ˆetre une base de R4 ?
Exercice 6
(1) Montrer qu’on peut ´ecrire le polynˆomeF(X) = 3X−X2+ 8X3sous la forme F(X) =a+b(1−X) +c(X−X2) +d(X2−X3), (calculer a, b, c, d r´eels), et aussi sous la forme
F(X) =α+β(1 +X) +γ(1 +X+X2) +δ(1 +X+X2+X3), (calculerα, β, γ, δ r´eels).
(2) Soit P3 l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e63. V´erifier que les ensembles suivants sont des bases de P3 :
B1={1, X, X2, X3}, B2={1,1−X, X−X2, X2−X3},etB3={1,1 +X,1 +X+X2,1 +X+X2+X3}.
Exercice 7 SoitF =
(x, y, z)∈R3/z+ 2y−x= 0 . (1) Montrer queF est un sous espace vectoriel deR3. (2) D´eterminer une famille g´en´eratrice deF.
(3) En d´eduire une base deF et la dimension deF. (4) Mˆemes questions avecF =
(x, y, z)∈R3/x+y+z= 0 .
Exercice 8 Soient~u= (1,1,0),~v= (4,1,4) etw~ = (2,−1,4).
(1) Montrer que~uet~vne sont pas colin´eaires. Faire de mˆeme pour~uetw, puis~ ~v etw.~ (2) La famille{~u, ~v, ~w} est-elle libre ?
1
2
Exercice 9 A tout r´eelλ, on associe la familleFλ={(1,0, λ); (1,1, λ); (λ,0,1)}.
Pour quelle(s) valeur(s) deλ∈R,Fλ est-elle une base deR3 ?
Exercice 10 SoitEl’espace vectoriel des fonctions d´efinies surR`a valeurs dansRet F =
f ∈E| ∃a, b∈R,∀x∈R, f(x) = (ax+b)e−x
(1) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E, puis montrer que les fonctions x7−→ xe−x et x7−→ e−x forment une base deF.
(2) D´emontrer que l’ensemble des fonctions monotones (au sens large) deF est un sous-espace vectoriel deEdont on donnera une base.
Exercice 11 SoitFle sous espace vectoriel deE=R4engendr´e par la familleF ={(0,1,1,0),(1,1,1,0),(2,1,1,0)}.
(1) Montrer que la familleF est li´ee.
(2) Extraire une famille libre deF que l’on noteF0. (3) Donner la dimension deF.
(4) Compl´eter la familleF0 en une base deR4.
Exercice 12 Dans l’espace vectoriel R3, les familles suivantes sont elles libres? g´en´eratrices? forment elles une base? Dans le cas o`u la famille est libre, la compl´eter en une base. Dans le cas o`u la famille est g´en´eratrice, en extraire une base. Dans le cas o`u la famille est li´ee, donner une expression de la d´ependance lin´eaire, en extraire une famille libre puis la compl´eter en une base.
(1) {(1,−1,0),(1,0,1)}.
(2) {(1,−1,0),(π,−π,0)}.
(3) {(1,0,−1),(0,1,0),(1,1,0)}.
(4) {(1,0,0),(1,1,0),(2,1,0)}.
(5) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(7,−13,2)}.
(6) {(0,0,1),(0,2,1),(0,4,2),(0,6,4)}.
(7) {(1,2,3),(2,3,4),(1,1,1),(1,−2,−3),(0,3,4)}.
III) Somme directe, Intersection et Suppl´ementaire d’espace vectoriel.
Exercice 13 SoitF (resp. G) le sous-espace vectoriel deE=R3engendr´e par (1,1,0) et (0,1,1) (resp. (1,1,0) et (1,1,1)). D´eterminer une base deF∩GetF+G.
Exercice 14 SoientE=R3, Gla droite vectorielle engendr´ee par le vecteur (−1,1,0) et F ={(x, y, z)∈E|2x−y−z= 0}.
(1) Montrer queF est un sous-espace vectoriel deE.
(2) Montrer queF⊕G=E (i.e. F et Gsont suppl´ementaires dansE).
Exercice 15 SoitE=R3 etF ={(x, y, z)∈E|2x+y−2z= 0}.
(1) Montrer queF est un sous-espace vectoriel deE et en donner une base.
(2) Donner une base d’un suppl´ementaire de F dansE.
Exercice 16 SoitEl’espace vectoriel des fonctions d´efinies surR`a valeurs dansRet F={f ∈E|f(0) = 0}.
(1) Montrer queF est un sous-espace vectoriel deE.
(2) D´eterminer un suppl´ementaire deF dansE.
Exercice 17 SoitE=R3 etf :E−→E l’application d´efinie par :
∀(x, y, z)∈E, f(x, y, z) = (x+y, y, y+z) On consid`ere les sous-ensembles deE suivants :
K={~v∈E|f(~v) = 0}et I={~u∈E| ∃~v∈E, ~u=f(~v)}
(1) Montrer queK etI sont des sous-espaces vectoriels deE dont on donnera les dimensions.
(2) Montrer queK∩I={0}. En d´eduire queE=K⊕I.
(3) Mˆemes questions pour f(x, y, z) = (x+y, x+y, y+z).
Exercice 18 Montrer que
(x, y)∈R2/x+ 2y= 0 ⊕
(x, y)∈R2/x−y= 0 =R2.
Exercice 19 Montrer que
(x, y, z)∈R3/x=y=z ⊕
(0, y, z)∈R2/y, z∈R =R3.
