MPSI 2 Semaine 13
Exercice 1 Application linéaire sur un espace fonctionnel
SoitE le R-espace vectoriel des fonctions de la formex7→f(x) =acos(x) +bsin(x) +c pour a,b et c réels. On désigne par ϕet ψ les applications de E dans lui-même telles que ϕ(f)(x) = f π2−x
et ψ(f)(x) =f0(x).
1. Montrer queϕet ψsont des endomorphismes deE.
2. Comparerϕ◦ψet ψ◦ϕ.
Exercice 2 Dérivation
SoitE l’ensemble des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur (ou égal) àn.
1. Montrer queE est un espace vectoriel.
2. Montrer que les applications det udéfinies par d(P) =P0 et u(P) =P −P0 sont des endomor- phismes deE
3. Montrer queuest inversible et exprimeru−1 au moyen ded.
Exercice 3 Rang et noyau
1. Pour u∈ L(E, F)etv∈ L(F, G), montrer quedim(Ker(v◦u))≤dim(Ker(u)) + dim(Ker(v)).
2. Pour uet vdansEnd(E), montrerdim(E) + rg(v◦u)≥rg(v) + rg(u).
3. Pour E de dimension inférieure à 3, donner tous lesudansEnd(E)tels queu◦u= 0.
Exercice 4 Projecteurs
Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E. Montrer que les quatre propriétés suivantes sont équivalentes :
1. E= Im(u) + Ker(u) 2. E= Im(u)⊕Ker(u) 3. Im(u◦u) = Im(u) 4. Ker(u◦u) = Ker(u).
Exercice 5 Projecteurs (bis)
SoitA etB deux espaces supplémentaires d’un espace vectorielE, ala projection sur Aparallèlement àB etb la projection surBparallèlement àA. Soitp,qetules applications deEnd(E)dans lui-même définies parp(x) =a◦x◦a,q(x) =b◦x◦betu(x) =a◦x−x◦a. Soit enfin r=u◦u.
1. Montrer quep,qet rsont des projecteurs linéaires (en tant qu’éléments deEnd(End(E))).
2. Montrer p+q+r=Id.
3. Calculer les applications obtenues par composition dep,qouravec l’une des autres.
4. Montrer Ker(r) = Im(p)⊕Im(q).
Exercice 6 Théorème de Hadamard
1. SoitAune matrice carrée, montrer queAest inversible si et seulement s’il n’existe pas de vecteur colonneX non nul tel queAX= 0.
2. Montrer que si A = (aij)1≤i,j≤n et si, pour tout 1 ≤i ≤ n, on a |aii| > P
j6=i|aij|, alors A est inversible.
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MPSI 2 Semaine 13
Exercice 7 Trace
Etant donné une matrice carréeA= (aij)1≤i,j≤n à coefficients dansK, on appelle trace deAle scalaire Tr(A) =a11+a22+· · ·+ann, somme des éléments diagonaux.
1. Montrer qu’on aTr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)et Tr(AB) = Tr(BA), lorsque AetB sont de même dimension.
2. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E, (e) une base de E et M = M at(u; (e),(e)).
Déduire de ce qui précède queTr(M)ne dépend pas de la base(e)choisie.
3. En déduire qu’il n’existe pas d’endomorphismesuetv tels queu◦v−v◦u=IdE. Exercice 8 Exponentielle et logarithme
Toutes les matrices considérées sont carrées d’ordrenet à coefficients complexes. On dit qu’une matrice Aest nilpotente s’il existe un entierr≥1tel queAr= 0, et unipotente si la matriceIn−Aest nilpotente.
1. Lorsque N est nilpotente, on pose exp(N) = In+ N 1! +N2
2! +· · ·+Nr
r! +· · ·. Vérifier que N =
0 a c 0 0 b 0 0 0
est nilpotente (icia,bet csont des scalaires quelconques) et calculerexp(N).
2. LorsqueU est nilpotente, on poselog(U) =−In−U
1 −(In−U)2
2 − · · · −(In−U)r
r +· · ·. Vérifier que U =
1 x z 0 1 y 0 0 1
est unipotente (ici x, y et z sont des scalaires quelconques) et calculer log(U).
3. Montrer qu’on aexp(log(U)) =U etlog(exp(N)) =N.
4. A quelle condition N et N0, nilpotentes de la forme donnée en 1., commutent-elles (i.e. N N0 = N0N) ? Vérifier qu’alorslog(N N0) = log(N) + log(N0).
5. A quelle conditionUetU0, unipotentes de la forme donnée en 2., commutent-elles ? Vérifier qu’alors exp(U+U0) = exp(U) exp(U0).
6. Pour N nilpotente, donner une définition plausible decos(N)etsin(N). Montrer qu’alors, lorsque N et N0 commutent et sont comme en 1., on a cos(N +N0) = cos(N) cos(N0)−sin(N) sin(N0), sin(N+N0) = sin(N) cos(N0) + sin(N0) cos(N)et cos2(N) + sin2(N) =In.
7. Pour tout t complexe, on pose U(t) =
1 t 2t+ 2t2 3t+172t2+ 4t3 0 1 4t 5t+ 12t2+ 3t4
0 0 1 6t
0 0 0 1
. Montrer qu’on a
U(t+s) =U(t)U(s)puis exhiber une matrice nilpotenteN telle queU(t) = exp(tN).
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![1. Montrer qu'il existe P ∈ Z [X ] non nul et sans racine rationnelle tel que P(α) = 0 . On xe un tel P et on appelle d son degré. On note aussi](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)