1. Montrer qu'il existe un unique réel a n strictement positif tel que f n (a n ) = 0 . 2. Montrer que (a n ) n∈N

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On dénit, pour tout entier n ≥ 1 , une fonction f n de R dans R en posant

∀x ∈ R , f n (x) = x ⁿ + x ⁿ⁻¹ + · · · + x ² + x − 1

1. Montrer qu'il existe un unique réel a n strictement positif tel que f n (a n ) = 0 . 2. Montrer que (a n ) _n∈N

est monotone, en déduire sa convergence.

3. Montrer que a 2 ∈ ]0, 1[ . En déduire la convergence et la limite de (a ⁿ⁺¹ _n ) n∈ N

puis la limite l de (a n ) n∈ N

.

On pourra montrer que a n = ¹ ₂ (1 + a ⁿ⁺¹ _n ) .

4. Préciser, suivant x ∈]0, 1[ et x 6= ¹ ₂ , la limite de (f n (x)) n∈ N

. En déduire directement, sans utiliser 2 la convergence et la limite l de (a n ) n∈ N

.

Pour tout ε > 0 , on pourra considérer les suites f _n ( ¹ ₂ − ε)

n∈ N

et f _n ( ¹ ₂ + ε)

n∈ N

. 5. Trouver un équivalent simple à la suite (a n − l) _{n∈ N}

.

On pourra étudier d'abord la limite de ((2a n ) ⁿ⁺¹ ) _n∈N

.

Corrigé

1. Il est clair par dénition que f _n est strictement croissante dans [0, +∞[ . Comme de plus f n (0) = −1 et f n (1) = n − 1 , le théorème de la valeur intermédiaire entraîne l'existence et l'unicité de a n tel que f(a n ) = 0 . On peut préciser a 1 = 1 et a n ∈ ]0, 1[

pour n > 0 .

2. On remarque que f _n+1 (x) = f _n (x) + x ⁿ⁺¹ pour tout réel x . En particulier f _n+1 (a _n ) = a ⁿ⁺¹ _n > 0

Ce qui, avec la stricte croissance de f et le théorème de la valeur intermédiaire entraîne a n+1 < a n . La suite (a n ) _n∈N

est décroissante et minorée par 0. Elle converge vers un élément de [0, a 2 ] .

3. On a déja démontré en 1. que a ₂ ∈ ]0, 1[ . À cause de la décroissance, on en déduit 0 < a n < a 2 ⇒ 0 < a ⁿ⁺¹ _n < a ⁿ⁺¹ ₂ .

Ceci entraîne, par le théorème d'encadrement, la convergence de (a ⁿ⁺¹ _n ) _n∈N

vers 0.

En utilisant l'expression de la somme des termes d'une suite géométrique, il vient f _n (a _n ) = 1 − a ⁿ⁺¹ _n

1 − a n

− 2 = 0 ⇒ 1 − a ⁿ⁺¹ _n = 2 − 2a _n ⇒ a _n = 1

2 (1 + a ⁿ⁺¹ _n ).

On en déduit la convergence de (a n ) _n∈N

vers ¹ ₂ . 4. Comme

f n (x) = 1 − x ⁿ⁺¹ 1 − x − 2 Lorsque 0 < x < 1 , (f n (x)) _{n∈ N}

converge vers

1

1 − x − 2 = 2x − 1 1 − x



 

 

> 0 si x > 1 2

< 0 si x < 1 2 .

Considérons un ε quelconque dans

0, ¹ ₂ tel que 1

2 + ε ∈ 1

2 , 1

et 1

2 − ε ∈

0, 1 2

.

Comme (f n ( ¹ ₂ +ε)) _n∈N

converge vers un nombre strictement positif et (f n ( ¹ ₂ −ε)) _n∈N

vers un nombre strictement négatif, il existe un entier n 0 tel que,

∀n > n 0 : f n ( 1

2 − ε) < 0 < f n ( 1

2 + ε) ⇒ ∀n > n 0 : 1

2 − ε < a n < 1 2 + ε

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Ce qui est exactement la dénition de la convergence vers ¹ ₂ . 5. On a déjà remarqué que

2a n − 1 = a ⁿ⁺¹ _n Utilisons l'indication de l'énoncé :

(2a _n ) ⁿ⁺¹ = e (n+1) ln(2a

)

avec

(n + 1) ln(2a _n ) ∼ (n + 1)(2a _n − 1) ∼ (n + 1)a ⁿ⁺¹ _n De plus,

0 < (n + 1)a ⁿ⁺¹ _n < (n + 1)a ⁿ⁺¹ ₂

avec a 2 < 1 assure que (n + 1)a ⁿ⁺¹ _n → 0 et donc que (2a n ) ⁿ⁺¹ → 1 . On en déduit a ⁿ⁺¹ _n ∼ ₂

¹ et nalement, comme a n − ¹ ₂ = ¹ ₂ a ⁿ⁺¹ _n :

a _n − 1 2 ∼ 1

2 ⁿ⁺² .

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