Montrer que f(b) f(a

LM 315 Feuille d'exercices n^o1 2007-2008 Exercice n^o1

a) Soit f : [ a; b ] ! R une fonction de classe C². Montrer que f(b) f(a) = (b a)f⁰(a) +

Z _b

a (b t)f⁰⁰(t) dt.

b) Soit f : [ a; b ] ! R une fonction de classe C³. Montrer que f(b) f(a) = (b a)f⁰(a) +(b a)²

2 f⁰⁰(a) + Z _b

a

(b t)²

2 f⁽³⁾(t) dt.

c) Généraliser les questions a) et b) au cas d'une fonction de classe Cⁿ, n étant un entier quelconque.

d) Montrer que pour une fonction de classe Cⁿ⁺¹,

f(b) f(a) Xn p=1

(b a)^p

p! f^(p)(a)

(b a)ⁿ⁺¹

(n + 1)! sup

t 2 [ a; b ]f⁽ⁿ⁺¹⁾(t):

Exercice n^o2

Pour x 2 R+, on pose F (x) = Z _x

0 e ^t2dt ₂

et G(x) = Z ₁

0

e ^(1+t2)x2 1 + t² dt;

a) Montrer que G est dérivable sur R+ et calculer lim

x!+1G(x).

b) Montrer que F + G est une fonction constante sur R+ et donner sa valeur.

c) Montrer que l'intégrale Z ₊₁

0 e ^t2dt converge et donner sa valeur.

Exercice n^o3

Pour u 2 R; on note cosh u = e^u + e ^u

2 , le cosinus hyperbolique de u et sinh u = e^u e ^u 2 , son sinus hyperbolique.

On suppose 2 R et x 2 R₊, et on pose F(x) = Z ₊₁

0 e ^{x cosh t}cosh(t) dt.

a) Montrer que la fonction t ! t²e ^{x cosh t}e^At est bornée sur R+ pour tout A 2 R.

b) Montrer que l'intégrale dénissant F(x) converge pour tout 2 R et x 2 R₊.

c) Montrer que F est dérivable sur R₊ et exprimer sa dérivée sous forme d'une intégrale.

d) Montrer que F est C¹ sur R₊.

e) Montrer que F est solution de l'équation diérentielle sur R₊ : x²y⁰⁰+ xy⁰ (x²+ ²)y = 0.

Rappel : cosh² sinh² 1.

Exercice n^o4

Pour t 0, on dénit ht : R+ ! C par x ! ht(x) = e ^(i+t)x2; et on note H(t) = Z ₊₁

0 ht(x) dx l'intégrale généralisée de Riemann de ht sur R+.

a) Montrer que H est bien dénie sur R₊ et qu'elle y est continue et dérivable.

b) Calculer la dérivée de la fonction, denie sur R₊ par x ! e ^{(i+t) x2} 2(i + t)x; c) Montrer que 8B > A > 0 ; 8t 0;

Z _B

A h_t(x) dx 1 A: d) Quelle est la nature de

Z ₊₁

0 e ^{i x2}dx ? e) Montrer que 8A > 0 ; 8t > 0;

Z _A

0 h_t(x) h₀(x)

dx tA³ 3 : f) En choisissant bien A, montrer que 8t > 0 ; jH(0) H(t)j ⁷₃ t¹⁴: (On découpera l'intervalle [0; B] en A, et on fera tendre B vers +1:) g) Conclusion ?

Exercice n^o5

On veut étudier la convergence de l'intégrale I = Z ₊₁

0

1

1 + xsin²xdx ; > 0: On pose u_n=

Z _(n+1)

n

1

1 + xsin²xdx:

a) Montrer que l'intégrale I et la série X⁺¹

n=0

u_n sont de même nature.

b) Montrer que, pour tout n 2 N;

Z

0

1 1 + (n + 1)

sin²xdx un Z

0

1

1 + (n)sin²xdx:

c) Soit > 0. Calculer, en posant u = cot x, Z

0

1

1 + sin²xdx:

d) Conclusion ? Exercice n^o6 Montrer les identités

Z ₊₁

0 e ^tcoshp

t dt =X⁺¹

0

n!

(2n)! et

Z ₊₁

0 e ^tcosp

t dt =X⁺¹

0

( 1)ⁿn!

(2n)!

Exercice n^o7

a) Calculer pour x 2 R+, sup

nx

1 x n

_n

et sup

n 2 N

1 + x n

_n . b) Calculer lim

Z ₊₁

0

1 + x n

_n

e ^2xdx et lim Z _n

0

1 x n

_n

cos x dx, en utilisant le T.C.D..

Exercice n^o8

Pour tout x 2 R₊ on pose F (x) = Z ₊₁

0

e ^t e ^tx t dt.

a) Vérier que l'intégrale dénissant F (x) est absolument convergente.

b) Montrer que F est C¹ sur R₊, sans calculer F⁰.

c) Calculer F⁰ et en déduire la valeur de F pour tout x 2 R₊: Exercice n^o9

Pour tout x 2 R+ on pose F (x) = Z ₊₁

0

e ^t2x 1 + t²dt.

a) Vérier que l'intégrale dénissant F (x) est absolument convergente.

b) Montrer que F est continue à droite en 0 et C¹ sur R₊. c) Exprimer F (x) F⁰(x) en fonction de C₀ =

Z ₊₁

0 e ^t2dt.

d) Montrer que 8 x > 0 ; F (x) = e^x

2 Z _x

0

C0

pue ^udu

: e) Calculer lim

x!+1F (x) et C0. Exercice n^o10

Soit h : R₊ R₊ ! R₊; (s; t) ! t^{s 1}e ^t, et pour s 2 R₊, soit h_s: R₊ ! R₊; t ! t^{s 1}e ^t. On dénit la fonction sur R₊ en posant

(s) = Z ₊₁

0 hs(t) dt;

1) Calculer le maximum sur R+ de la fonction h2 et montrer pour tout s > 0, l'existence d'une constante positive C_s (qu'on pourra expliciter) telle que 8t > 0; h_s(t) C_s=t².

2) Montrer que l'intégrale (s) est absolument convergente pour tout s 2 R₊:

3) Montrer pour tout > 0 et n 2 N , l'existence d'une constante positive C_;n (qu'on pourra expliciter) telle que 8t > 0; j log t jⁿ C;nsup (t; t ).

4) En déduire, pour tous s 2 R₊ et n 2 N , la convergence de l'intégrale Z ₊₁

0 j log t jⁿh_s(t) dt.

5) Montrer que la fonction est continue sur R₊:

6) Montrer, en utilisant le théorème de dérivation des intégrales et une récurrence, que la fonction est C¹ sur R₊.

Exercice n^o11

Pour tout x 2 R on pose F (x) = Z ₊₁

0 exp

1

2

t²+ x² t²

dt et on note f : R R+ ! R ; (x; t) ! exp

1

2

t²+ x² t²

.

a) Vérier que l'intégrale dénissant F (x) est absolument convergente.

b) Montrer que F est continue sur R c) Calculer sup

u 2 R+

u e ^u.

d) On xe a 2 R₊. Montrer que pour x > a et t 2 R₊, @

@xf(x; t) 1

a e ^t2=2.

e) Montrer que F est dérivable sur R₊ et donner une expression de F⁰(x) sous la forme d'une intégrale.

f) En posant v = jxj=t dans l'expression donnant F⁰(x), trouver une équation diérentielle satisfaite par F sur R₊.

g) Exprimer F (x) en fonction de F (0), puis substituer la valeur de F (0) en utilisant le résultat de l'exo 9.

h) La fonction F est elle dérivable en 0 ? Exercice n^o12

Soit f : R₊ ! R₊ et g : R₊ ! R₊ deux applications continues. On suppose que l'application g admet un minimum m > 0 qu'elle atteint en un point t0 2 R₊, l'application g est dérivable et vérie lim

t!+1g(t) = +1, l'intégrale

Z ₊₁

0

f(t)

g(t)dt converge (absolument).

Pour y 2 ] m; +1) on note I(y) = Z ₊₁

0

f(t) g(t) + y dt.

1) Montrer que I(y) converge (absolument) pour tout y > m.

On distinguera les cas y 0 et y < 0.

2) Montrer que lim

y! mI(y) = +1.

(Utiliser la dérivabilité de g.)

3) Montrer que l'application y ! I(y) admet au voisinage de 0 un développement en série entière I(y) =

X+1 0

cnyⁿ, de rayon de convergence R = m.

Exercice n^o13

Pour tout s 2 R₊, on dénit fs: R₊ ! R₊; x ! fs(x) = x^{s 1}e ^x. 1) Montrer que 8 s 2 R₊, fs est intégrable sur

On dénit : R₊ ! R₊; s ! Z

R₊f_sd.

2) Montrer que 8 s 2 R₊, (s + 1) = s^s+12e ^s Z ₊₁

ps

1 + pt

s _s

e ^tpsdt, après avoir vérié la

convergence de l'intégrale de droite.

3) Montrer que 8 t 2 [ 0; ps ];

1 pt

s _s

e^tps e ^t2=2. 4) Montrer que lim

s!+1

Z ^p_s

0

1 pt

s _s

e^tpsdt existe et l'exprimer en fonction de (1=2).

5) Montrer que 8 t 2 R₊; s !

1 + pt s

_s

e ^tps est une fonction décroissante sur R₊ et calculer lim

s!+1

1 + pt

s _s

e ^tps en fonction de t.

6) Montrer que lim

s!+1

(s + 1)e^ss ^{s 12}

existe et l'exprimer en fonction de (1=2).

Exercice n^o14

Soit f et g dénies sur R₊ R+ par f(x; t) = sin(tx) (1 + x)p

x et g(x; t) = sin x (t + x)p

x: Soit et dénies sur R₊ par (x) = sup

t0 f(x;t) et (x) = sup

t0g(x;t).

1) Calculer (x) et (x) pour tout x > 0 et montrer que et sont intégrables.

Soit F et G dénies sur R₊ par F (t) = Z ₊₁

0 f(x; t) dx et G(t) = Z ₊₁

0 g(x; t) dx.

2) Montrer que F et G sont bien dénies et continues sur R+. 3) On xe 0 < a < b. Calculer sup

t 2 [a;b]

@

@tf(x; t)

pour x =(b a) et montrer que le théorème de dérivation des intégrales ne s'applique pas directement à F .

4) Montrer qu'il existe une relation simple entre F (t) et G(t) pour tout t > 0.

5) Montrer que G est C¹ sur R₊ et en déduire que F l'est également.

6) Montrer, au moyen d'une intégration par parties, que G(t) peut s'écrire sous la forme Z ₊₁

0 R(x; t) 1 cos xp

x dx, où R(x; t) est un quotient de polynômes en x et t, que l'on préci- sera.

7) Montrer, en utilisant 6), que G(0) 6= 0 et en déduire que F n'est pas dérivable à droite en 0.

8) Calculer pour tout x > 0, (x) = lim

t!+1t R(x; t) et montrer que

t!+1lim t G(t) = Z ₊₁

0 (x) 1 cos xp x dx.

Devoir 1 Exercice n^o1

a) Montrer que pour x 6= 1 et p 2 N;

Xp n=0

xⁿ= 1 x^p+1 1 x . b) Quel est le DSE¹ de x ! 1

1 x au voisinage de 0 et quel est son domaine de validité ? c) En utilisant le théorème de Fubini pour les séries, déterminer le DSE au voisinage de 0 de x ! ln(1 x).

d) Montrer que les domaines de validité des DSE de x ! 1

1 x et de x ! ln(1 x) sont distincts.

On note In= Z _n

0

1 x n

_n

ln x dx et Jn = Z ₁

0 (1 u)ⁿln u du.

e) En utilisant le théorème de Fubini pour les séries, montrer que (n + 1)Jn= Xn+1 k=1

1 k. f) Montrer que lim

n!+1 ln n +Xⁿ

k=1

1 k

!

existe.

On pourra considérer la série associée à cette suite.

On note cette limite . On rappelle que la fonction : s ! Z ₁

0 t^{s 1}e ^t dt est bien dénie pour s 2 R₊.

g) Montrer que est continue et dérivable sur R₊ et exprimer ⁰(s) sous forme intégrale.

h) Montrer que ⁰(1) = lim

n!+1In= . Exercice n^o2

Soit et 2 R₊. On dénit F; sur R+ en posant 8 x 2 R ; F;(x) = Z ₊₁

0

e ^tx 1 + t dt.

Discuter suivant les valeurs de et les armations suivantes :

1) 8 x 2 R₊, l'intégrale dénissant F_;(x) est absolument convergente et F_; est C¹ sur R₊. 2) La fonction F; est continue sur R+.

3) La fonction F; est dérivable à droite en 0.

(On pourra montrer que 8 t 2 R₊; x ! 1 e ^tx

x est une application décroissante et appli- quer le T.C.M. aux intégrales donnant F;(0) F;(hn)

h_n , où (h_n)_{n 2 N} décroît vers 0.)

1Développement en série entière