Montrer que si Z [a;b] f = Z [a;b] |f|, alorsf est de signe constant sur[a;b]

MPSI 2 Semaine 24

Exercice 1 Intégration 1. Calculer, poura < b,Rb

a E(x)dxen justifiant son existence (E est la partie entière).

2. Soitf une fonction continue sur[a;b]à valeurs réelles. Montrer que si Z

[a;b]

f

= Z

[a;b]

|f|, alorsf est de signe constant sur[a;b].

3. Soitf continue de[0; 1]dansRtelle que Z

[0;1]

f = 1/2. Montrer quef a un point fixe en montrant quex7→f(x)−xn’est pas de signe constant.

4. Soitf continue de[0; 1]dans lui-même telle que Z 1

0

f = Z 1

0

f². Montrer quef est constante (égale à 0 ou 1).

5. Soitf continue sur[a;b]à valeurs réelles. Montrer Z b

a

fcos

!2

+ Z b

a

fsin

!2

≤(b−a) Z b

a

f² et étudier le cas d’égalité.

6. Étudier les infimum, minimum, supremum et maximum de la quantité Z b

a

f× Z b

a

1

f pourf variant dans l’ensembleC⁰([a;b];R^∗₊).

7. Soitf etgcontinues par morceaux de[0; 1]dansR+telles quef g≥1. Montrer Z

[0;1]

f Z

[0;1]

g≥1.

8. Pour p réel supérieur à 1 et f dans L¹([a;b]), on pose ||f||_p = 1 b−a

Z b

a

|f|^p

!1/p

et ||f||_∞ = sup_[a;b]|f|. Montrer ||f||p≤ ||f||∞ et, sif est continue,limp→+∞||f||p =||f||∞.

9. Déterminer lim

n→+∞

Z π

0

sin(x)

n+xdx, lim

n→+∞

Z 1

0

xⁿ

1 +xdxet lim

n→+∞

Z 1+1/n

1

√1 +xⁿdx.

10. Soit f continue de[0; 1] dansR. Montrer queIn = Z 1

0

xⁿf(x)dx tend vers 0 lorsquen tend vers l’infini et, plus précisément lim

n→+∞nIn =f(1).

11. Montrer que la suite définie parun= Z π/2

0

sinⁿ(x)dxest décroissante et minorée. Montrer de plus qu’on au_n ≤π

2

1− 1

√n n

+π

2 −arcsin

1− 1

√n

et déterminer la limite de(u_n).

12. Montrer que la suite précédente est donnée par u_2n = π 2

(2n)!

2²ⁿ(n!)² et u_2n+1 = 2²ⁿ(n!)² (2n+ 1)! et en déduire

π 2 = 2·2

1·3 4·4 3·5

6·6 5·7

8·8 7·9

10·10 9·11 · · ·

13. Soit nun entier naturel etf une fonction continue de[a;b] dansR. Montrer que sif s’annulen fois sur [a;b], alors il existe un polynôme P de degré inférieur àn tel quex7→ f(x)P(x)soit de signe constant sur [a;b]. En déduire : si ∀0 ≤k≤n,

Z b

a

t^kf(t)dt = 0, alorsf s’annule au moins n+ 1fois.

Page 1/2

MPSI 2 Semaine 24

Exercice 2 Sommes de Darboux/Riemann

SoitI un intervalle compact etD une subdivision de I. On dit que (D, ζ) est une subdivision pointée si ζ = (ζi)1≤i≤n est une suite de points telle que, pour 1 ≤i≤n, xi−1 ≤ ζi ≤ xi. On définit alors la somme de RiemannS(f;D, ζ)par

S(f;D, ζ) =

n

X

i=1

(xi−x_i−1)f(ζi).

1. Soitf dansL¹(I)et (D, ζ)une subdivision pointée deI. Montrer s(D;f)≤S(f;D, ζ)≤S(f;D).

En déduire que si le pas deDtend vers 0, alorsS(f;D, ζ)tend versR

If. 2. Soit(un)n≥1la suite réelle définie parun=

n

X

k=1

n

n²+k². Écrireun comme une somme de Darboux et en déduire que la suite (un) est convergente. Déterminer sa limite, `, puis a tel que un =

`+^a_n+o _n¹ . 3. Étudier un= 1

n

sinπ

n+ sin2π

n +. . .+ sinnπ n

. 4. Étudier un= 1 +√

2 +· · ·√ n n√

n .

5. Étudier u_n= 1 n

1

(1 + 1/n)² + 1

(1 + 2/n)² +· · ·+ 1 (1 +n/n)²

etv_n =

n

X

k=1

n+k² n³+k³. 6. Étudier un=

2n

X

k=n

k+ 1 n²+kn. 7. Étudier u_n=

n

Y

k=1

1 + k

n ^1/n

. 8. CalculerIα=

Z π

0

ln(1−2αcos(x) +α²)dxgrâce à des sommes de Riemann (en prenantζi le plus grand possible et pour une subdivision de pas constant) et montrerI_α= 0si|α|<1et2πln|α|si

|α|>1.

9. Que dire pour|α|= 1dans la question précédente ?

10. Soitf une fonction continue, positive et décroissante surR^∗₊. On poseu_n =

n

X

k=1

f(k)etv_n= Z

[1;n]

f. Montrer u_n−f(1)≤v_n ≤u_n−1et en déduire que (u_n)et (v_n)sont de même nature. En déduire la nature deu_n=

n

X

k=1

k^−αpourα∈R.

Exercice 3 Inégalités de convexité (*)

Pourpréel supérieur à1,I= [a;b]etf dansL¹(I), on pose||f||p=

1 b−a

R

I|f|^p1/p

et||f||∞= sup_I|f|.

Sip >1, on noteq=p/(p−1), de sorte que1/p+ 1/q= 1.

1. Montrer l’inégalité de Young :∀(a, b)∈R²₊,ab≤a^p p +b^q

q.

2. En déduire l’inégalité de Hölder : soit f et g dans L¹(I), on a||f g||1 ≤ ||f||p||g||q. On pourra se ramener au cas||f||p=||g||q = 1.

3. En utilisant l’inégalité de Hölder, montrer que, pourf dansL¹(I), p7→ ||f||p est croissante.

4. En utilisant l’inégalité de Hölder et la remarque|f+g|^p≤(|f|+|g|)|f+g|^p−1, montrer l’inégalité de Minkowski : ||f+g||p≤ ||f||p+||g||p.

Page 2/2