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1 - ESPACES NORMES, ESPACES METRIQUES
Quizz
Exercice 1 – Ensembles
PourA, B, C trois sous-ensembles de l’ensembleX, montrer que : a) (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C)
b) (X\A)∩(X\B) =X\(A∪B) c) siA⊂B alorsA∩(X\B) =∅.
Exercice 2 – Injections, surjections, bijections
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
N → N , Z → Z , R2 → R2 , R → R+ n 7→ n+ 1 n 7→ n+ 1 (x, y) 7→ (x+y, x−y) x 7→ (x−1)2
Exercice 3 – Image et pr´eimage
Soitf :X→Y. PourA⊂X, on notef(A) ={f(x)/ x∈A}l’image deAparf et pourB⊂Y, on note f−1(B) :={x∈X/ f(x)∈B} lapr´eimage(ouimage r´eciproque) deB parf.
a) A-t-onf f−1(B)
=B pour toute partieB deY? b) A-t-on f−1(f(A)) =Apour toute partieAdeX?
Pour s’entraˆıner Exercice 4
Soit (Ei)i∈I et (Fj)j∈J deux familles d’ensembles. Montrer la formule de distributivit´e suivante : (∪i∈IEi)∩(∪j∈JFj) =∪(i,j)∈I×J(Ei∩Fj)
Exercice 5
SoitX,Y deux ensembles etf :X →Y. Montrer que siA, B⊂X et C, D⊂Y : a) f(A∪B) =f(A)∪f(B) etf(A∩B)⊂f(A)∩f(B) ;
b) f−1(C∪D) =f−1(C)∪f−1(D) etf−1(C∩D) =f−1(C)∩f−1(D).
c) f−1(Y \C) =X\f−1(C) ; a-t-on en g´en´eralf(X\A) =Y \f(A) ?
Exercice 6
a) On sait (cours) que si I et J sont deux ensembles d´enombrables, alors I×J est d´enombrable. En d´eduire qu’un produit fini de d´enombrables est d´enombrable.
b) On veut montrer que l’ensembleI={0; 1}Ndes fonctions de Ndans{0; 1}est non d´enombrable. On suppose par l’absurde queI est d´enombrable, c’est-`a-dire qu’on peut num´eroter ses ´el´ements :
I={f1, . . . , fn, . . .}
Obtenir une contradiction en consid´erant la fonction d´efinie parf(n) = 0 sifn(n) = 1 1 sifn(n) = 0 .
Exercice 7
Soit (E,h.|.i) un espace pr´ehilbertien. Montrer que la norme kxk = p
hx|xi v´erifie l’identit´e du pa- rall´elogramme :
∀x, y∈E, kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2) En d´eduire que surR2, la normeN∞ ne provient pas d’un produit scalaire.
Exercice 8 – Normes matricielles
On dit qu’une normek.ksurMn(C) estmultiplicative si
∀A, B∈ Mn(C), kABk ≤ kAk.kBk
a) PourA= (ai,j)∈ Mn(C), on poseN∞(A) = maxi,j|ai,j|etkAk=nN∞(A). Expliquer pourquoiN∞ etk.ksont des normes surMn(C).
b) Montrer queN∞n’est pas multiplicative (pourn≥2), mais quek.kl’est.
Exercice 9 – Distance discr`ete
SoitX un ensemble quelconque. Pourx, y∈X, on posed(x, x) = 0 etd(x, y) = 1 six6=y.
a) Montrer quedest une distance surX. D´ecrire les sph`eresS(x, r).
b) Quelles sont les suites convergentes dans cet espace m´etrique ?
Les essentiels Exercice 10
SoitAun ensemble etf,gdeux applications deA dansR. a) Que peut-on dire :
- de supA(f+g) par rapport `a supAf+ supAg? - de infA(f +g) par rapport `a infAf+ infAg?
b) Montrer que|supAf−supAg| ≤supA|f−g|et|infAf−infAg| ≤supA|f −g|.
Exercice 11 – R n’est pas d´enombrable
On suppose par l’absurde que [0; 1[ est d´enombrable :
[0; 1[={x1, x2, . . . , xn, . . .}
Construire un ´el´ement x ∈ [0; 1[ diff´erent de tous les xq = 0, a1qaq2aq3. . . (´ecriture d´ecimale propre).
Conclure. En d´eduire queRn’est pas d´enombrable.
Exercice 12
Comparer les normesN1,N2 etN∞ surC([0; 1],K).
Exercice 13
a) Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que diamB(x, r) ≤ 2r et diamS(x, r) ≤ 2r, mais que ces in´egalit´es peuvent ˆetre strictes (par exemple, dans (Z,|.|)).
b) Dans (Mn(R), N∞), on consid`ere l’ensemble des matrices orthogonales : O(n) ={A∈ Mn(R)/ tAA=In}
Montrer que siA∈O(n), alorsN∞(A)≤1. En d´eduire que diamO(n) = 2.
Pour aller plus loin
Exercice 14 – Toute distance est topologiquement ´equivalente `a une distance born´ee a) Soit (E, d) un espace m´etrique. Pourx, y∈E, on pose
d′(x, y) = d(x, y) 1 +d(x, y)
Montrer que d′ est une distance born´ee sur E (´etudier f(t) = 1+tt sur R+), et que d et d′ sont topologiquement ´equivalentes.
b) Soit (En, dn) des espaces m´etriques pour n∈N∗et E =Q+∞
n=1En. Pourx= (x1, . . . , xn, . . .)∈ E et y= (y1, . . . , yn, . . .)∈E (o`u xn, yn ∈En), on pose
d(x, y) =
+∞X
n=1
d′n(xn, yn) 2n Montrer quedest bien d´efinie, et que c’est une distance sur E.
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2 - VOCABULAIRE DES ESPACES TOPOLOGIQUES
Quizz
Exercice 1 – Ouverts, ferm´es
a) L’intervalle [0; 1[ est-il ouvert (resp. ferm´e) dansR?
b) DansR2euclidien, les parties suivantes sont-elles des ouverts :
{(x, y)/ −1< x <1,−1< y <1} , {(x, y)/ −1≤x <1,−1≤y <1}
Exercice 2 – Topologie induite
a) Quelle est la distance induite sur la droiteR× {0}parR2muni de la distance euclidienne ? b) D´ecrire les ouverts et les ferm´es de [a;b[ et [a; +∞[ pour la topologie induite parR.
Exercice 3 – Adh´erence, suites
a) SiAest `a la fois dense et ferm´e dansX, que peut-on dire ?
b) Soit (xn) une suite dans un espace m´etrique : montrer que si (xn) converge, elle n’a qu’une seule valeur d’adh´erence, mais que la r´eciproque est fausse.
Pour s’entraˆıner Exercice 4
a) PourX un ensemble muni de la distance discr`ete, d´ecrire les boules ouvertes, les boules ferm´ees, puis les ouverts et les ferm´es.
b) DansR2euclidien, ]0; 1[×{0}est-il ouvert ? [0; 1]× {0}est-il ferm´e ?
Exercice 5
SoitE=ℓ∞(C) l’ensemble des suites born´ees, muni de la normeN∞. Montrer, en utilisant la d´efinition d’un ferm´e, queF ={u= (un)∈E/ u0= 1} est ferm´e dansE.
Exercice 6
a) Soit (E, d) un espace m´etrique et A⊂E,x∈E : montrer quex∈A⇔d(x, A) = 0.
b) Montrer que dans un espace m´etrique, les singletons sont ferm´es.
Exercice 7
a) Montrer que siA⊂B sont deux parties d’un espace topologiqueX, alorsA⊂◦ B◦ etA⊂B.
b) V´erifier que A=Aet
◦◦
A=A◦. Montrer queA◦ ⊂Aet A⊂◦
◦
A, mais que ces deux inclusions sont strictes (par exemple pourA=QdansR).
Exercice 8 – Densit´e de aZ+bZ dans R
Soita, bdes r´eels non nuls etH =aZ+bZ={ak+bl/ k, l∈Z}.
a) V´erifier queH est un sous-groupe de (R,+). A quelle condition existe-t-ilc∈Rtel queH =cZ? b) En d´eduire, en utilisant la classification des sous-groupes de (R,+), que H est dense dans R si et
seulement si ab ∈/ Q.
Exercice 9
SoitE unK-evn. Montrer que A⊂E est d’int´erieur non vide si et seulement si A contient une boule.
En d´eduire que tout sev strict F de E est d’int´erieur vide (raisonner par l’absurde, et montrer que F contient alors une base deE).
Les essentiels
Exercice 10 – Un exemple d’espace topologique non s´epar´e
Sur X = R2, on d´efinit O comme l’ensemble des parties de X qui sont r´eunion de droites verticales, augment´e de∅.
a) Montrer queOd´efinit une topologie surX. En donner une base.
b) Pourx= (a, b)∈X, d´ecrire les voisinages dex. S’agit-il de la topologie euclidienne surR2?
c) Un espace topologique est dits´epar´esi pour tousx6=y, on peut trouver deux ouverts disjointsU ∋x etV ∋y. Montrer que X n’est pas s´epar´e.
d) Quelle est la topologie induite sur l’axe des abscisses ? Sur l’axe des ordonn´ees ?
Exercice 11
Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques. Montrer que dans l’espace (E1×E2, dmax), tout produit d’ouverts est un ouvert et tout produit de ferm´es est un ferm´e.
Exercice 12
Soit (E, d) un espace m´etrique. On sait (cours) que les boules ferm´ees sont des ferm´es deE.
a) Montrer queB(a, r)⊂BF(a, r) et donner un exemple d’inclusion stricte (on pourra consid´erer par exempleE={0} ∪[1; +∞[).
b) Montrer qu’il y a ´egalit´e dans unK-espace vectoriel norm´e.
Exercice 13
Soitc0l’espace des suites r´eelles tendant vers 0, etN l’ensemble des suites r´eelles presque nulles (ienulles
`
a partir d’un certain rang).
a) V´erifier queN ⊂c0⊂ℓ∞.
b) Montrer quec0 est l’adh´erence deN dans (ℓ∞, N∞).
Pour aller plus loin
Exercice 14 – Topologie produit
a) Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques. Montrer que dans (E1×E2, dmax), les ouverts sont exactement lesr´eunionsde produits d’ouverts.
b) Donner dansR×Run exemple d’ouvert qui ne soit pas de la formeO1×O2 avecO1, O2des ouverts deR.
c) SiX etY sont deux espaces topologiques, que peut-on mettre comme topologie sur le produitX×Y?
Exercice 15 – Espaces topologiques s´eparables
Un espace topologique est dits´eparables’il poss`ede une partie dense d´enombrable.
a) Montrer queRest s´eparable.
b) Montrer que l’ensemble c0 des suites r´eelles tendant vers 0 muni de N∞ est s´eparable (consid´erer l’ensembleN ⊂c0des suites presque nulles).
c) Montrer que si (E, d) est un espacem´etrique s´eparable, alors toute partieAdeEposs`ede une partie dense d´enombrable (consid´erer lesA∩BE(xn,k1) pour (xn)n∈Ndense dansE).
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3 - CONTINUITE
Quizz
Exercice 1 – Exemples de fonctions continues Montrer que les applications suivantes sont continues :
f : R×R → R
(x, y) 7→ xy ; g: R∗ → R x 7→ 1x
; h: Mn(K) → K
M 7→ det(M)
Exercice 2 – Propri´et´es utiles
SoitX un espace topologique etf :X →R une fonction continue. Que peut-on dire topologiquement des parties suivantes deX :
{x/ f(x) = 0} , {x/ f(x)≥0} , {x/ f(x)≤0} {x/ f(x)6= 0} , {x/ f(x)>0} , {x/ f(x)<0}
Montrer que{(a, b)∈R2/1< a2+b2<2}et {(a, b)∈R2/ ab >0}sont des ouverts du plan euclidien.
Exercice 3 – Applications lipschitziennes
a) SoitE=C([0; 1]) muni deN1. V´erifier que l’applicationf 7→R1
0 |f(t)|dtest 1-lipschitzienne deEdans R. Est-elle lin´eaire ?
b) Soit f : (E, dE)→(F, dF) une isom´etrie,ie :∀x, y∈E, dF(f(x), f(y)) =dE(x, y). Montrer qu’alors f est un hom´eomorphisme sur son image. Est-elle n´ecessairement surjective ?
Pour s’entraˆıner Exercice 4
SoitF ={(x, y)∈R2/ xy= 1}: montrer queF est ferm´e dansR2. Que repr´esenteF g´eom´etriquement ? V´erifier que sa projection sur l’axe des abscisses n’est pas un ferm´e deR.
Exercice 5
Soit E l’espace des fonctions continues born´ees de R dans R muni de N∞. Pour a ∈ R, on note Ta
l’application qui `a f ∈E associeTa(f) :x7→f(a+x). Montrer queTa est une application continue de E dansE.
Exercice 6
DansR2euclidien, on consid`ere Γ ={(x,sin(1/x))/ x >0}. D´eterminer Γ.
Exercice 7
Soit (E, d) un espace m´etrique.
a) Montrer que siA⊂E, la fonctionx7→d(x, A) est 1-lipschitzienne, donc continue.
b) SoitA etB des ferm´es disjoints deE : montrer que
U ={x∈E/ d(x, A)< d(x, B)}et V ={x∈E/ d(x, A)> d(x, B)} sont deux ouverts disjoints contenant respectivementAetB.
Exercice 8
Soitθ ∈R, on suppose queθ/π /∈Q. Montrer que A={cos(kθ)/ k∈ Z} est dense dans [−1; 1] et que B={eikθ/ k∈Z}est dense dans le cercle unit´e (utiliser la densit´e du sous-groupeθZ+ 2πZdansR).
Exercice 9
Montrer que les op´erateurs suivants sont continus et calculer leur norme :
a) sur Rn muni deN∞ puis N2, l’endomorphisme u repr´esent´e dans la base canonique par la matrice diagonale diag(λ1, . . . , λn) ;
b) sur (R2, N2), l’endomorphismeu: (x1, x2)7→(2x1, x2) et son inverseu−1;
c) sur (ℓ∞, N∞), l’endomorphismeS: (x0, x1, x2, . . .)7→(0, x0, x1, . . .) (appel´eschift) ; d) surE=C([0; 1]) muni de N∞, l’endomorphismeT :f 7→f ×g o`ug∈E est fix´e.
Les essentiels Exercice 10
On se place dansMn(K) muni deN∞(ou d’une norme ´equivalente). Montrer queGLn(K) est un ouvert, et que l’applicationM 7→M−1est continue surGLn(K).
Exercice 11
Soitdetd′ deux distances sur un ensembleE : montrer quedet d′ sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si l’application identit´e id : (E, d)→(E, d′) est un hom´eomorphisme.
Exercice 12
Le but est de montrer que l’ensembleDn(C) des matrices diagonalisables dans Cest dense dansMn(C) muni deN∞(ou d’une norme ´equivalente).
a) Soit T =
λ1 ∗
. ..
(0) λn
et Tk =
λ1+k1 ∗ . ..
(0) λn+nk
pour k∈N∗. Montrer queTk →T
et que les matricesTk sont diagonalisables pourkassez grand (rappelons qu’une conditionsuffisante pour ˆetre dansDn(C) est d’avoirnvaleurs propres distinctes).
b) Soit A∈ Mn(C) : expliquer pourquoi il existe P ∈GLn(C) et T triangulaire sup´erieure telles que A=P T P−1. Montrer que l’application lin´eaire M 7→P M P−1 est continue surMn(C). En d´eduire queP TkP−1→A.
c) Conclure.
Exercice 13
Le th´eor`eme de Weierstrass affirme que toute fonction continue de [a;b] dans R est limite uniforme de fonctions polynomiales.
a) Traduire ce r´esultat en terme de densit´e.
b) Soitf : [a;b]→Rune fonction continue, v´erifiantRb
a f(t)tndt= 0 pour toutn∈N. Montrer qu’alors Rb
af(t)g(t)dt= 0 pour toutg∈ C([a;b],R). En d´eduire quef = 0.
Exercice 14
SoitE=R[X]. PourP(X) =Pn
k=0akXk, on posekPk= Max{|ak|/0≤k≤n}et u(P)(X) =
Xn k=1
1
kakXk , v(P)(X) = Xn k=1
kakXk
Montrer que k.k d´efinit une norme surE et que u, v∈ L(E). Les applications lin´eairesuet v sont-elles continues sur (E,k.k) ?
Pour aller plus loin
Exercice 15 – Hyperplans dans un evn
SoitE unK-evn. On rappelle qu’un hyperplan deE est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle (ou, de fa¸con ´equivalente, un sev deE de codimension 1).
a) Soitϕune forme lin´eaire non continue surE : construire une suite (yn)n deEqui converge vers 0 et telle que∀n, ϕ(yn) = 1. Six∈E est fix´e, que peut-on dire de la suitexn =x−ϕ(x)yn?
b) En d´eduire qu’un hyperplan H = Kerϕde E est ou bien ferm´e dansE (lorsque ϕest continue) ou bien dense dansE (lorsqueϕest non continue).
c) Application : soitE =C([−1; 1],R) etF ={f ∈E/f(0) = 0}. Montrer queF est ferm´e dans (E, N∞) mais dense dans (E, N1).
Exercice 16 – Limite d’une suite vue comme limite d’une fonction
Soit Y un espace topologique et (un) une suite d’´el´ements de Y : on peut voir cette suite comme une applicationu:N→Y, d´efinie paru(n) =un.
(a) Montrer queu:N→Y est automatiquement continue.
(b) On poseX =N∪ {+∞}. On munitX de la topologie suivante : les ouverts non vides deX sont les r´eunions de parties finies deNet de parties de la forme{n≥N} ∪ {+∞}. V´erifier que c’est bien une topologie surX, et qu’elle induit surNla topologie discr`ete.
(c) Montrer queN=X.
(d) Soitl∈Y : montrer que la suite (un) converge versl si et seulement si la fonctionu:N→Y a pour limitel en +∞ ∈N.
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4 - ESPACES METRIQUES COMPLETS
Quizz
Exercice 1 –Q n’est pas complet
Montrer queQn’est pas ferm´e dansR. Est-il complet ?
Exercice 2 – [0; 1[ n’est pas complet
Montrer que [0; 1[ n’est pas complet de trois fa¸cons diff´erentes : - avec la d´efinition ;
- en utilisant que [0; 1[ n’est pas ferm´e dansR; - en consid´erant l’applicationx7→ x+12 .
Pour s’entraˆıner
Exercice 3 – Suites de Cauchy
D´ecider si les suites (un)n suivantes sont de Cauchy : 1. un= (−1)n dans (R,|.|) ;
2. un=
1 sin(1/n)
cos(1/n) 1
dans (M2(R), N∞) ;
3. un:t7→
t−n+12 sin−12 ≤t < n
−t+n+12 sin≤t < n+12 0 sinon
dans (C(R+,R), N∞).
Exercice 4 – La compl´etude est une notion m´etrique
a) Montrer que (R+,|.|) est complet et quef :x7→ 1−xx est un hom´eomorphisme de [0; 1[ surR+. b) V´erifier que la suite (un), avec un = 1−n1, est de Cauchy mais ne converge pas dans [0; 1[. La suite
(f(un)) est-elle de Cauchy dansR+?
Exercice 5
Etudier si les applications suivantesf :A→F admettent un prolongement continu ˜f :E→F : a) E=F =R, A=R∗, f :x7→1/x ; b) E=R, F =Q, A=Q, f :x7→x Cela contredit-il le th´eor`eme de prolongement des applications uniform´ement continues ?
Exercice 6
SoitEl’ensemble des fonctions lipschitziennes de [0; 1] dansR. Pourf ∈E, on pose N(f) = sup
x∈[0;1]|f(x)|+ sup
x6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y| Montrer queN est une norme surE, pour laquelleE est complet.
Exercice 7 – Spectre d’un op´erateur
SoitEun espace de Banach etu∈ Lc(E). Lespectre deuest l’ensemble
σ(u) ={λ∈R/ u−λidE n′est pas bijective de E dansE} a) Comment appelle-t-on les ´el´ements deσ(u) lorsqueE est de dimension finie ?
b) Soit λ∈ R∗. V´erifier que y = (u−λidE)(x) ⇐⇒ x= 1λ(u(x)−y). En d´eduire que λ∈ cσ(u) si et seulement si pour touty, l’applicationfy:x7→ 1λ(u(x)−y) a un unique point fixe dansE.
c) Montrer queσ(u)⊂[−kukop;kukop].
Les essentiels Exercice 8
Soit E et F des evn, on suppose que F est complet. Montrer que (Lc(E, F),k.kop) est un espace de Banach.
Exercice 9 – Espaces de suites
On noteℓ∞ l’ensemble des suites born´ees,ℓ2 l’ensemble des suites de carr´e sommable,N l’ensemble des suites presque nulles, etc0 l’ensemble des suites qui tendent vers 0.
a) V´erifier queN ⊂ℓ2⊂c0⊂ℓ∞.
b) Montrer que (ℓ∞, N∞) est un espace de Banach.
c) Quelle est l’adh´erence deℓ2dans (ℓ∞, N∞) (utiliser l’exercice 13 de la feuille 2) ? d) Montrer que (c0, N∞) est un espace de Banach.
Exercice 10
Soit a∈ R et λ ∈ Cavec |λ| <1. Montrer que, pour toute fonction born´ee g ∈ C(R,C), il existe une unique fonction born´eef ∈ C(R,C) telle que∀x∈R, f(x)−λf(x+a) =g(x).
Pour aller plus loin Exercice 11
Soit (an)n une suite de Cauchy dans un espace m´etrique (E, d).
a) Montrer que pour toutx∈E, la suite (d(x, an))n converge dansR. On notef(x) sa limite.
b) Montrer quef :E→Rest 1-lipschitzienne, positive, et que inff = 0. A quelle condition sur (an) la fonctionf atteint-elle son inf ?
c) En d´eduire que si (E, d) n’est pas complet, alors il existe une fonctiong:E→Rnon born´ee.
Exercice 12 – Compl´etude au sens de Cantor
Soit (E, d) un espace m´etrique. On dit qu’il est complet au sens de Cantor lorsque pour toute suite d´ecroissante (Fn) de ferm´es non vides dont le diam`etre tend vers 0, l’intersection∩nFn est r´eduite `a un singleton.
a) Montrer que siE est complet, alors il est complet au sens de Cantor.
b) R´eciproquement, montrer que siEest complet au sens de Cantor, alors il est complet (pour une suite de Cauchy (xn)n, consid´ererFn={xp/ p≥n}).
c) V´erifier que l’hypoth`ese sur les diam`etres est indispensable (par exemple avecE=R,Fn= [n; +∞[).
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5 - COMPACITE
Quizz Exercice 1
Les espaces suivants sont-ils compacts ?
{(x, y, z)∈R3/ x2+y2+z2≤1}; [0; +∞[ ; {(x, y)∈R2/ 2x+ 1≤y ≤2x+ 2} ; Q∩[0; 1]
Exercice 2
Montrer qu’unK-evn non trivial n’est jamais compact (que peut-on dire de la suiten xsix6= 0 ?).
Pour s’entraˆıner Exercice 3
Montrer que l’ensembleO(n) des matrices orthogonales est compact.
Exercice 4
Soit 0< a < b, f : [a;b] →R continue telle que∀x, 0 ≤f(x) < x. Montrer qu’il existe k < 1 tel que
∀x, f(x)≤kx.
Exercice 5
SoitE une ellipse du plan euclidien. Montrer qu’il existe un triangle de p´erim`etre maximum inscrit dans E.
Exercice 6
Dans unK-evnE, on suppose que la sph`ereS(a, r) est compacte.
a) Montrer que la sph`ereS(0,1) est compacte.
b) A l’aide de l’application (ρ, ω)7→ρω d´efinie sur [0; 1]×S(0,1), montrer queBF(0,1) est compacte.
c) En d´eduire que toutes les boules ferm´ees deEsont compactes.
Les essentiels Exercice 7
SoitNune norme surMn(K). Montrer que l’applicationf : (A, B)7→N(AB) d´efinie surS(0,1)×S(0,1) est born´ee et atteint ses bornes.
En d´eduire qu’il existek >0 le plus petit possible tel que∀A, B∈ Mn(K), N(AB)≤kN(A)N(B).
Exercice 8
SoitKet F des parties disjointes de (E, d). On suppose que Kest compacte et F ferm´ee : montrer que d(K, F)>0. Est-ce encore vrai siK est seulement suppos´e ferm´ee ?
Exercice 9
SoitEunK-evn etF un sev de dimension finie deE. Montrer que pour touta∈E,d(a, F) est atteinte (´etudier l’applicationx7→ ka−xkd´efinie sur F).
Pour aller plus loin
Exercice 10 – Une version du th´eor`eme d’Ascoli
SoitM >0 et k >0 fix´es. On noteA l’ensemble des fonctions de [0; 1] dansRqui sont born´ees parM etk-lipschitziennes : on va montrer queAest un compact de (C([0; 1],R), N∞). Pour cela, on part d’une suite (fn) d’´el´ements de A, et on va construire une sous-suite de (fn) qui converge (pourN∞) vers une fonctionf ∈A.
a) PuisqueQ∩[0; 1] est d´enombrable, on note{a0, . . . , an, . . .}ses ´el´ements, qui forment une partie dense de [0; 1].
i) Montrer que (fn(a0))nadmet une sous-suite convergente fϕ0(n)(a0)
, puis que fϕ0(n)(a1) admet une sous-suite convergente fϕ0(ϕ1(n))(a1)
.
ii) On it`ere le processus, et on poseψ(n) =ϕ0◦. . .◦ϕn(n). V´erifier queψ:N→Nest strictement croissante, et que pour toutkla suite fψ(n)(ak)
n converge.
iii) En d´eduire que fψ(n)
nest une sous-suite de (fn)nqui converge simplement en tous les rationnels.
b) Soit x ∈ [0; 1]. Montrer que fψ(n)(x)
n est de Cauchy. En d´eduire que la suite fψ(n)
n converge simplement sur [0; 1] : on notef : [0; 1]→Rsa limite.
c) Il reste `a montrer que fψ(n)
n converge vers f pour N∞, c’est-`a-dire que fψ(n)
n converge uni- form´ement sur [0; 1] versf.
i) Montrer quef estk-lipschitzienne.
ii) Soitε >0 : justifier l’existence dex1, . . . , xs∈[0; 1] tels que [0; 1]⊂ ∪sj=1]xj−ε;xj+ε[. Montrer que la convergence simple de (fψ(n))n versf enx1, . . . , xs entraˆıne la convergence uniforme sur [0; 1].
Universit´e Lille I L3 Maths
2012-2013 M-52
6 - CONNEXITE
Quizz Exercice 1
Les espaces suivants sont-ils connexes ? Connexes par arcs ? 1. unK-evn ;
2. une boule dans unK-evn ; 3. {(x, y)∈R2/ x6=y}.
Exercice 2
Soitf :R→Rune fonction continue. Son graphe Γf ={(x, f(x))/ x∈R} ⊂R2est-il connexe par arcs ?
Pour s’entraˆıner Exercice 3
Soitf : [a;b]→Cune fonction continue.
1. On suppose que ∀t ∈ [a;b], f(t)2 = 1. Montrer que f est ou bien constante ´egale `a 1, ou bien constante ´egale `a -1.
2. Que peut-on dire si∀t∈[a;b],eif(t)= 1 ?
Exercice 4
Montrer queR2\{x0}est connexe. En d´eduire, en raisonnant par l’absurde, queRn’est pas hom´eomorphe
` aR2.
Exercice 5
SoitEunK-evn de dimension au moins 2, on noteS la sph`ere de centre 0 et de rayon 1.
1. Soit x, y deux points de S, avecy 6=−x. Montrer queγ :t 7→ k(1(1−−t)x+tyt)x+tyk est un chemin continu reliantx`ay dansS.
2. En d´eduire queS est connexe par arcs.
Les essentiels Exercice 6
Montrer que les parties suivantes ne sont pas hom´eomorphes : 1. Ret R\ {x0};
2. le cercleC(0,1)⊂R2 et un intervalle deR.
Exercice 7
Montrer queGLn(R) n’est pas connexe, mais queGLn(C) est connexe par arcs.
Exercice 8
On noteT ={0} ×[−1; 1]∪[−1; 1]× {0}, muni de la topologie induite parR2. 1. Montrer queT est compact et connexe.
2. Montrer que sif :T →Rest continue, alors f(T) est un segment.
3. D´eterminer les points x∈T pour lesquelsT\ {x}est connexe.
4. Montrer queT n’est hom´eomorphe `a aucune partie deR.
Pour aller plus loin Exercice 9
SoitP une partie d´enombrable deR2. Montrer que le compl´ementaire deP est connexe par arcs.
Exercice 10
SoitOun ouvert d’un K-evnE.
1. Montrer que, pour toutx∈O,{y∈O/∃γ∈ C([0; 1], O), γ(0) =x, γ(1) =y} est un ouvert deE.
En d´eduire une partition deO en ouverts disjoints.
2. Montrer queO est connexe si et seulement siO est connexe par arcs.
Exercice 11 – Compacit´e et connexit´e
1. Montrer que dans unK-evn de dimension au moins 2, le compl´ementaire d’une boule est connexe.
2. Montrer que dans un K-evn de dimension infinie, le compl´ementaire d’un compact est connexe.
Est-ce vrai en dimension finie ?