• Aucun résultat trouvé

Montrer que siA, B⊂X et C, D⊂Y : a) f(A∪B) =f(A)∪f(B) etf(A∩B)⊂f(A)∩f(B

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Montrer que siA, B⊂X et C, D⊂Y : a) f(A∪B) =f(A)∪f(B) etf(A∩B)⊂f(A)∩f(B"

Copied!
15
0
0

Texte intégral

(1)

Universit´e Lille I L3 Maths

2012-2013 M-52

1 - ESPACES NORMES, ESPACES METRIQUES

Quizz

Exercice 1 – Ensembles

PourA, B, C trois sous-ensembles de l’ensembleX, montrer que : a) (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C)

b) (X\A)∩(X\B) =X\(A∪B) c) siA⊂B alorsA∩(X\B) =∅.

Exercice 2 – Injections, surjections, bijections

Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?

N → N , Z → Z , R2 → R2 , R → R+ n 7→ n+ 1 n 7→ n+ 1 (x, y) 7→ (x+y, x−y) x 7→ (x−1)2

Exercice 3 – Image et pr´eimage

Soitf :X→Y. PourA⊂X, on notef(A) ={f(x)/ x∈A}l’image deAparf et pourB⊂Y, on note f−1(B) :={x∈X/ f(x)∈B} lapr´eimage(ouimage r´eciproque) deB parf.

a) A-t-onf f−1(B)

=B pour toute partieB deY? b) A-t-on f1(f(A)) =Apour toute partieAdeX?

Pour s’entraˆıner Exercice 4

Soit (Ei)iI et (Fj)jJ deux familles d’ensembles. Montrer la formule de distributivit´e suivante : (∪i∈IEi)∩(∪j∈JFj) =∪(i,j)I×J(Ei∩Fj)

Exercice 5

SoitX,Y deux ensembles etf :X →Y. Montrer que siA, B⊂X et C, D⊂Y : a) f(A∪B) =f(A)∪f(B) etf(A∩B)⊂f(A)∩f(B) ;

b) f−1(C∪D) =f−1(C)∪f−1(D) etf−1(C∩D) =f−1(C)∩f−1(D).

c) f1(Y \C) =X\f1(C) ; a-t-on en g´en´eralf(X\A) =Y \f(A) ?

Exercice 6

a) On sait (cours) que si I et J sont deux ensembles d´enombrables, alors I×J est d´enombrable. En d´eduire qu’un produit fini de d´enombrables est d´enombrable.

(2)

b) On veut montrer que l’ensembleI={0; 1}Ndes fonctions de Ndans{0; 1}est non d´enombrable. On suppose par l’absurde queI est d´enombrable, c’est-`a-dire qu’on peut num´eroter ses ´el´ements :

I={f1, . . . , fn, . . .}

Obtenir une contradiction en consid´erant la fonction d´efinie parf(n) = 0 sifn(n) = 1 1 sifn(n) = 0 .

Exercice 7

Soit (E,h.|.i) un espace pr´ehilbertien. Montrer que la norme kxk = p

hx|xi v´erifie l’identit´e du pa- rall´elogramme :

∀x, y∈E, kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2) En d´eduire que surR2, la normeN ne provient pas d’un produit scalaire.

Exercice 8 – Normes matricielles

On dit qu’une normek.ksurMn(C) estmultiplicative si

∀A, B∈ Mn(C), kABk ≤ kAk.kBk

a) PourA= (ai,j)∈ Mn(C), on poseN(A) = maxi,j|ai,j|etkAk=nN(A). Expliquer pourquoiN etk.ksont des normes surMn(C).

b) Montrer queNn’est pas multiplicative (pourn≥2), mais quek.kl’est.

Exercice 9 – Distance discr`ete

SoitX un ensemble quelconque. Pourx, y∈X, on posed(x, x) = 0 etd(x, y) = 1 six6=y.

a) Montrer quedest une distance surX. D´ecrire les sph`eresS(x, r).

b) Quelles sont les suites convergentes dans cet espace m´etrique ?

Les essentiels Exercice 10

SoitAun ensemble etf,gdeux applications deA dansR. a) Que peut-on dire :

- de supA(f+g) par rapport `a supAf+ supAg? - de infA(f +g) par rapport `a infAf+ infAg?

b) Montrer que|supAf−supAg| ≤supA|f−g|et|infAf−infAg| ≤supA|f −g|.

Exercice 11 – R n’est pas d´enombrable

On suppose par l’absurde que [0; 1[ est d´enombrable :

[0; 1[={x1, x2, . . . , xn, . . .}

Construire un ´el´ement x ∈ [0; 1[ diff´erent de tous les xq = 0, a1qaq2aq3. . . (´ecriture d´ecimale propre).

Conclure. En d´eduire queRn’est pas d´enombrable.

(3)

Exercice 12

Comparer les normesN1,N2 etN surC([0; 1],K).

Exercice 13

a) Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que diamB(x, r) ≤ 2r et diamS(x, r) ≤ 2r, mais que ces in´egalit´es peuvent ˆetre strictes (par exemple, dans (Z,|.|)).

b) Dans (Mn(R), N), on consid`ere l’ensemble des matrices orthogonales : O(n) ={A∈ Mn(R)/ tAA=In}

Montrer que siA∈O(n), alorsN(A)≤1. En d´eduire que diamO(n) = 2.

Pour aller plus loin

Exercice 14 – Toute distance est topologiquement ´equivalente `a une distance born´ee a) Soit (E, d) un espace m´etrique. Pourx, y∈E, on pose

d(x, y) = d(x, y) 1 +d(x, y)

Montrer que d est une distance born´ee sur E (´etudier f(t) = 1+tt sur R+), et que d et d sont topologiquement ´equivalentes.

b) Soit (En, dn) des espaces m´etriques pour n∈Net E =Q+

n=1En. Pourx= (x1, . . . , xn, . . .)∈ E et y= (y1, . . . , yn, . . .)∈E (o`u xn, yn ∈En), on pose

d(x, y) =

+∞X

n=1

dn(xn, yn) 2n Montrer quedest bien d´efinie, et que c’est une distance sur E.

(4)

Universit´e Lille I L3 Maths

2012-2013 M-52

2 - VOCABULAIRE DES ESPACES TOPOLOGIQUES

Quizz

Exercice 1 – Ouverts, ferm´es

a) L’intervalle [0; 1[ est-il ouvert (resp. ferm´e) dansR?

b) DansR2euclidien, les parties suivantes sont-elles des ouverts :

{(x, y)/ −1< x <1,−1< y <1} , {(x, y)/ −1≤x <1,−1≤y <1}

Exercice 2 – Topologie induite

a) Quelle est la distance induite sur la droiteR× {0}parR2muni de la distance euclidienne ? b) D´ecrire les ouverts et les ferm´es de [a;b[ et [a; +∞[ pour la topologie induite parR.

Exercice 3 – Adh´erence, suites

a) SiAest `a la fois dense et ferm´e dansX, que peut-on dire ?

b) Soit (xn) une suite dans un espace m´etrique : montrer que si (xn) converge, elle n’a qu’une seule valeur d’adh´erence, mais que la r´eciproque est fausse.

Pour s’entraˆıner Exercice 4

a) PourX un ensemble muni de la distance discr`ete, d´ecrire les boules ouvertes, les boules ferm´ees, puis les ouverts et les ferm´es.

b) DansR2euclidien, ]0; 1[×{0}est-il ouvert ? [0; 1]× {0}est-il ferm´e ?

Exercice 5

SoitE=ℓ(C) l’ensemble des suites born´ees, muni de la normeN. Montrer, en utilisant la d´efinition d’un ferm´e, queF ={u= (un)∈E/ u0= 1} est ferm´e dansE.

Exercice 6

a) Soit (E, d) un espace m´etrique et A⊂E,x∈E : montrer quex∈A⇔d(x, A) = 0.

b) Montrer que dans un espace m´etrique, les singletons sont ferm´es.

Exercice 7

a) Montrer que siA⊂B sont deux parties d’un espace topologiqueX, alorsA⊂ B etA⊂B.

(5)

b) V´erifier que A=Aet

A=A. Montrer queA ⊂Aet A⊂

A, mais que ces deux inclusions sont strictes (par exemple pourA=QdansR).

Exercice 8 – Densit´e de aZ+bZ dans R

Soita, bdes r´eels non nuls etH =aZ+bZ={ak+bl/ k, l∈Z}.

a) V´erifier queH est un sous-groupe de (R,+). A quelle condition existe-t-ilc∈Rtel queH =cZ? b) En d´eduire, en utilisant la classification des sous-groupes de (R,+), que H est dense dans R si et

seulement si ab ∈/ Q.

Exercice 9

SoitE unK-evn. Montrer que A⊂E est d’int´erieur non vide si et seulement si A contient une boule.

En d´eduire que tout sev strict F de E est d’int´erieur vide (raisonner par l’absurde, et montrer que F contient alors une base deE).

Les essentiels

Exercice 10 – Un exemple d’espace topologique non s´epar´e

Sur X = R2, on d´efinit O comme l’ensemble des parties de X qui sont r´eunion de droites verticales, augment´e de∅.

a) Montrer queOd´efinit une topologie surX. En donner une base.

b) Pourx= (a, b)∈X, d´ecrire les voisinages dex. S’agit-il de la topologie euclidienne surR2?

c) Un espace topologique est dits´epar´esi pour tousx6=y, on peut trouver deux ouverts disjointsU ∋x etV ∋y. Montrer que X n’est pas s´epar´e.

d) Quelle est la topologie induite sur l’axe des abscisses ? Sur l’axe des ordonn´ees ?

Exercice 11

Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques. Montrer que dans l’espace (E1×E2, dmax), tout produit d’ouverts est un ouvert et tout produit de ferm´es est un ferm´e.

Exercice 12

Soit (E, d) un espace m´etrique. On sait (cours) que les boules ferm´ees sont des ferm´es deE.

a) Montrer queB(a, r)⊂BF(a, r) et donner un exemple d’inclusion stricte (on pourra consid´erer par exempleE={0} ∪[1; +∞[).

b) Montrer qu’il y a ´egalit´e dans unK-espace vectoriel norm´e.

Exercice 13

Soitc0l’espace des suites r´eelles tendant vers 0, etN l’ensemble des suites r´eelles presque nulles (ienulles

`

a partir d’un certain rang).

a) V´erifier queN ⊂c0⊂ℓ.

b) Montrer quec0 est l’adh´erence deN dans (ℓ, N).

(6)

Pour aller plus loin

Exercice 14 – Topologie produit

a) Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques. Montrer que dans (E1×E2, dmax), les ouverts sont exactement lesr´eunionsde produits d’ouverts.

b) Donner dansR×Run exemple d’ouvert qui ne soit pas de la formeO1×O2 avecO1, O2des ouverts deR.

c) SiX etY sont deux espaces topologiques, que peut-on mettre comme topologie sur le produitX×Y?

Exercice 15 – Espaces topologiques s´eparables

Un espace topologique est dits´eparables’il poss`ede une partie dense d´enombrable.

a) Montrer queRest s´eparable.

b) Montrer que l’ensemble c0 des suites r´eelles tendant vers 0 muni de N est s´eparable (consid´erer l’ensembleN ⊂c0des suites presque nulles).

c) Montrer que si (E, d) est un espacem´etrique s´eparable, alors toute partieAdeEposs`ede une partie dense d´enombrable (consid´erer lesA∩BE(xn,k1) pour (xn)n∈Ndense dansE).

(7)

Universit´e Lille I L3 Maths

2012-2013 M-52

3 - CONTINUITE

Quizz

Exercice 1 – Exemples de fonctions continues Montrer que les applications suivantes sont continues :

f : R×R → R

(x, y) 7→ xy ; g: R → R x 7→ 1x

; h: Mn(K) → K

M 7→ det(M)

Exercice 2 – Propri´et´es utiles

SoitX un espace topologique etf :X →R une fonction continue. Que peut-on dire topologiquement des parties suivantes deX :

{x/ f(x) = 0} , {x/ f(x)≥0} , {x/ f(x)≤0} {x/ f(x)6= 0} , {x/ f(x)>0} , {x/ f(x)<0}

Montrer que{(a, b)∈R2/1< a2+b2<2}et {(a, b)∈R2/ ab >0}sont des ouverts du plan euclidien.

Exercice 3 – Applications lipschitziennes

a) SoitE=C([0; 1]) muni deN1. V´erifier que l’applicationf 7→R1

0 |f(t)|dtest 1-lipschitzienne deEdans R. Est-elle lin´eaire ?

b) Soit f : (E, dE)→(F, dF) une isom´etrie,ie :∀x, y∈E, dF(f(x), f(y)) =dE(x, y). Montrer qu’alors f est un hom´eomorphisme sur son image. Est-elle n´ecessairement surjective ?

Pour s’entraˆıner Exercice 4

SoitF ={(x, y)∈R2/ xy= 1}: montrer queF est ferm´e dansR2. Que repr´esenteF g´eom´etriquement ? V´erifier que sa projection sur l’axe des abscisses n’est pas un ferm´e deR.

Exercice 5

Soit E l’espace des fonctions continues born´ees de R dans R muni de N. Pour a ∈ R, on note Ta

l’application qui `a f ∈E associeTa(f) :x7→f(a+x). Montrer queTa est une application continue de E dansE.

Exercice 6

DansR2euclidien, on consid`ere Γ ={(x,sin(1/x))/ x >0}. D´eterminer Γ.

(8)

Exercice 7

Soit (E, d) un espace m´etrique.

a) Montrer que siA⊂E, la fonctionx7→d(x, A) est 1-lipschitzienne, donc continue.

b) SoitA etB des ferm´es disjoints deE : montrer que

U ={x∈E/ d(x, A)< d(x, B)}et V ={x∈E/ d(x, A)> d(x, B)} sont deux ouverts disjoints contenant respectivementAetB.

Exercice 8

Soitθ ∈R, on suppose queθ/π /∈Q. Montrer que A={cos(kθ)/ k∈ Z} est dense dans [−1; 1] et que B={eikθ/ k∈Z}est dense dans le cercle unit´e (utiliser la densit´e du sous-groupeθZ+ 2πZdansR).

Exercice 9

Montrer que les op´erateurs suivants sont continus et calculer leur norme :

a) sur Rn muni deN puis N2, l’endomorphisme u repr´esent´e dans la base canonique par la matrice diagonale diag(λ1, . . . , λn) ;

b) sur (R2, N2), l’endomorphismeu: (x1, x2)7→(2x1, x2) et son inverseu1;

c) sur (ℓ, N), l’endomorphismeS: (x0, x1, x2, . . .)7→(0, x0, x1, . . .) (appel´eschift) ; d) surE=C([0; 1]) muni de N, l’endomorphismeT :f 7→f ×g o`ug∈E est fix´e.

Les essentiels Exercice 10

On se place dansMn(K) muni deN(ou d’une norme ´equivalente). Montrer queGLn(K) est un ouvert, et que l’applicationM 7→M−1est continue surGLn(K).

Exercice 11

Soitdetd deux distances sur un ensembleE : montrer quedet d sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si l’application identit´e id : (E, d)→(E, d) est un hom´eomorphisme.

Exercice 12

Le but est de montrer que l’ensembleDn(C) des matrices diagonalisables dans Cest dense dansMn(C) muni deN(ou d’une norme ´equivalente).

a) Soit T =



λ1

. ..

(0) λn

et Tk =



λ1+k1 ∗ . ..

(0) λn+nk

pour k∈N. Montrer queTk →T

et que les matricesTk sont diagonalisables pourkassez grand (rappelons qu’une conditionsuffisante pour ˆetre dansDn(C) est d’avoirnvaleurs propres distinctes).

b) Soit A∈ Mn(C) : expliquer pourquoi il existe P ∈GLn(C) et T triangulaire sup´erieure telles que A=P T P−1. Montrer que l’application lin´eaire M 7→P M P−1 est continue surMn(C). En d´eduire queP TkP−1→A.

c) Conclure.

(9)

Exercice 13

Le th´eor`eme de Weierstrass affirme que toute fonction continue de [a;b] dans R est limite uniforme de fonctions polynomiales.

a) Traduire ce r´esultat en terme de densit´e.

b) Soitf : [a;b]→Rune fonction continue, v´erifiantRb

a f(t)tndt= 0 pour toutn∈N. Montrer qu’alors Rb

af(t)g(t)dt= 0 pour toutg∈ C([a;b],R). En d´eduire quef = 0.

Exercice 14

SoitE=R[X]. PourP(X) =Pn

k=0akXk, on posekPk= Max{|ak|/0≤k≤n}et u(P)(X) =

Xn k=1

1

kakXk , v(P)(X) = Xn k=1

kakXk

Montrer que k.k d´efinit une norme surE et que u, v∈ L(E). Les applications lin´eairesuet v sont-elles continues sur (E,k.k) ?

Pour aller plus loin

Exercice 15 – Hyperplans dans un evn

SoitE unK-evn. On rappelle qu’un hyperplan deE est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle (ou, de fa¸con ´equivalente, un sev deE de codimension 1).

a) Soitϕune forme lin´eaire non continue surE : construire une suite (yn)n deEqui converge vers 0 et telle que∀n, ϕ(yn) = 1. Six∈E est fix´e, que peut-on dire de la suitexn =x−ϕ(x)yn?

b) En d´eduire qu’un hyperplan H = Kerϕde E est ou bien ferm´e dansE (lorsque ϕest continue) ou bien dense dansE (lorsqueϕest non continue).

c) Application : soitE =C([−1; 1],R) etF ={f ∈E/f(0) = 0}. Montrer queF est ferm´e dans (E, N) mais dense dans (E, N1).

Exercice 16 – Limite d’une suite vue comme limite d’une fonction

Soit Y un espace topologique et (un) une suite d’´el´ements de Y : on peut voir cette suite comme une applicationu:N→Y, d´efinie paru(n) =un.

(a) Montrer queu:N→Y est automatiquement continue.

(b) On poseX =N∪ {+∞}. On munitX de la topologie suivante : les ouverts non vides deX sont les r´eunions de parties finies deNet de parties de la forme{n≥N} ∪ {+∞}. V´erifier que c’est bien une topologie surX, et qu’elle induit surNla topologie discr`ete.

(c) Montrer queN=X.

(d) Soitl∈Y : montrer que la suite (un) converge versl si et seulement si la fonctionu:N→Y a pour limitel en +∞ ∈N.

(10)

Universit´e Lille I L3 Maths

2012-2013 M-52

4 - ESPACES METRIQUES COMPLETS

Quizz

Exercice 1 –Q n’est pas complet

Montrer queQn’est pas ferm´e dansR. Est-il complet ?

Exercice 2 – [0; 1[ n’est pas complet

Montrer que [0; 1[ n’est pas complet de trois fa¸cons diff´erentes : - avec la d´efinition ;

- en utilisant que [0; 1[ n’est pas ferm´e dansR; - en consid´erant l’applicationx7→ x+12 .

Pour s’entraˆıner

Exercice 3 – Suites de Cauchy

D´ecider si les suites (un)n suivantes sont de Cauchy : 1. un= (−1)n dans (R,|.|) ;

2. un=

1 sin(1/n)

cos(1/n) 1

dans (M2(R), N) ;

3. un:t7→

t−n+12 sin−12 ≤t < n

−t+n+12 sin≤t < n+12 0 sinon

dans (C(R+,R), N).

Exercice 4 – La compl´etude est une notion m´etrique

a) Montrer que (R+,|.|) est complet et quef :x7→ 1−xx est un hom´eomorphisme de [0; 1[ surR+. b) V´erifier que la suite (un), avec un = 1−n1, est de Cauchy mais ne converge pas dans [0; 1[. La suite

(f(un)) est-elle de Cauchy dansR+?

Exercice 5

Etudier si les applications suivantesf :A→F admettent un prolongement continu ˜f :E→F : a) E=F =R, A=R, f :x7→1/x ; b) E=R, F =Q, A=Q, f :x7→x Cela contredit-il le th´eor`eme de prolongement des applications uniform´ement continues ?

Exercice 6

SoitEl’ensemble des fonctions lipschitziennes de [0; 1] dansR. Pourf ∈E, on pose N(f) = sup

x[0;1]|f(x)|+ sup

x6=y

|f(x)−f(y)|

|x−y| Montrer queN est une norme surE, pour laquelleE est complet.

(11)

Exercice 7 – Spectre d’un op´erateur

SoitEun espace de Banach etu∈ Lc(E). Lespectre deuest l’ensemble

σ(u) ={λ∈R/ u−λidE nest pas bijective de E dansE} a) Comment appelle-t-on les ´el´ements deσ(u) lorsqueE est de dimension finie ?

b) Soit λ∈ R. V´erifier que y = (u−λidE)(x) ⇐⇒ x= 1λ(u(x)−y). En d´eduire que λ∈ cσ(u) si et seulement si pour touty, l’applicationfy:x7→ 1λ(u(x)−y) a un unique point fixe dansE.

c) Montrer queσ(u)⊂[−kukop;kukop].

Les essentiels Exercice 8

Soit E et F des evn, on suppose que F est complet. Montrer que (Lc(E, F),k.kop) est un espace de Banach.

Exercice 9 – Espaces de suites

On noteℓ l’ensemble des suites born´ees,ℓ2 l’ensemble des suites de carr´e sommable,N l’ensemble des suites presque nulles, etc0 l’ensemble des suites qui tendent vers 0.

a) V´erifier queN ⊂ℓ2⊂c0⊂ℓ.

b) Montrer que (ℓ, N) est un espace de Banach.

c) Quelle est l’adh´erence deℓ2dans (ℓ, N) (utiliser l’exercice 13 de la feuille 2) ? d) Montrer que (c0, N) est un espace de Banach.

Exercice 10

Soit a∈ R et λ ∈ Cavec |λ| <1. Montrer que, pour toute fonction born´ee g ∈ C(R,C), il existe une unique fonction born´eef ∈ C(R,C) telle que∀x∈R, f(x)−λf(x+a) =g(x).

Pour aller plus loin Exercice 11

Soit (an)n une suite de Cauchy dans un espace m´etrique (E, d).

a) Montrer que pour toutx∈E, la suite (d(x, an))n converge dansR. On notef(x) sa limite.

b) Montrer quef :E→Rest 1-lipschitzienne, positive, et que inff = 0. A quelle condition sur (an) la fonctionf atteint-elle son inf ?

c) En d´eduire que si (E, d) n’est pas complet, alors il existe une fonctiong:E→Rnon born´ee.

Exercice 12 – Compl´etude au sens de Cantor

Soit (E, d) un espace m´etrique. On dit qu’il est complet au sens de Cantor lorsque pour toute suite d´ecroissante (Fn) de ferm´es non vides dont le diam`etre tend vers 0, l’intersection∩nFn est r´eduite `a un singleton.

a) Montrer que siE est complet, alors il est complet au sens de Cantor.

b) R´eciproquement, montrer que siEest complet au sens de Cantor, alors il est complet (pour une suite de Cauchy (xn)n, consid´ererFn={xp/ p≥n}).

c) V´erifier que l’hypoth`ese sur les diam`etres est indispensable (par exemple avecE=R,Fn= [n; +∞[).

(12)

Universit´e Lille I L3 Maths

2012-2013 M-52

5 - COMPACITE

Quizz Exercice 1

Les espaces suivants sont-ils compacts ?

{(x, y, z)∈R3/ x2+y2+z2≤1}; [0; +∞[ ; {(x, y)∈R2/ 2x+ 1≤y ≤2x+ 2} ; Q∩[0; 1]

Exercice 2

Montrer qu’unK-evn non trivial n’est jamais compact (que peut-on dire de la suiten xsix6= 0 ?).

Pour s’entraˆıner Exercice 3

Montrer que l’ensembleO(n) des matrices orthogonales est compact.

Exercice 4

Soit 0< a < b, f : [a;b] →R continue telle que∀x, 0 ≤f(x) < x. Montrer qu’il existe k < 1 tel que

∀x, f(x)≤kx.

Exercice 5

SoitE une ellipse du plan euclidien. Montrer qu’il existe un triangle de p´erim`etre maximum inscrit dans E.

Exercice 6

Dans unK-evnE, on suppose que la sph`ereS(a, r) est compacte.

a) Montrer que la sph`ereS(0,1) est compacte.

b) A l’aide de l’application (ρ, ω)7→ρω d´efinie sur [0; 1]×S(0,1), montrer queBF(0,1) est compacte.

c) En d´eduire que toutes les boules ferm´ees deEsont compactes.

Les essentiels Exercice 7

SoitNune norme surMn(K). Montrer que l’applicationf : (A, B)7→N(AB) d´efinie surS(0,1)×S(0,1) est born´ee et atteint ses bornes.

En d´eduire qu’il existek >0 le plus petit possible tel que∀A, B∈ Mn(K), N(AB)≤kN(A)N(B).

(13)

Exercice 8

SoitKet F des parties disjointes de (E, d). On suppose que Kest compacte et F ferm´ee : montrer que d(K, F)>0. Est-ce encore vrai siK est seulement suppos´e ferm´ee ?

Exercice 9

SoitEunK-evn etF un sev de dimension finie deE. Montrer que pour touta∈E,d(a, F) est atteinte (´etudier l’applicationx7→ ka−xkd´efinie sur F).

Pour aller plus loin

Exercice 10 – Une version du th´eor`eme d’Ascoli

SoitM >0 et k >0 fix´es. On noteA l’ensemble des fonctions de [0; 1] dansRqui sont born´ees parM etk-lipschitziennes : on va montrer queAest un compact de (C([0; 1],R), N). Pour cela, on part d’une suite (fn) d’´el´ements de A, et on va construire une sous-suite de (fn) qui converge (pourN) vers une fonctionf ∈A.

a) PuisqueQ∩[0; 1] est d´enombrable, on note{a0, . . . , an, . . .}ses ´el´ements, qui forment une partie dense de [0; 1].

i) Montrer que (fn(a0))nadmet une sous-suite convergente fϕ0(n)(a0)

, puis que fϕ0(n)(a1) admet une sous-suite convergente fϕ01(n))(a1)

.

ii) On it`ere le processus, et on poseψ(n) =ϕ0◦. . .◦ϕn(n). V´erifier queψ:N→Nest strictement croissante, et que pour toutkla suite fψ(n)(ak)

n converge.

iii) En d´eduire que fψ(n)

nest une sous-suite de (fn)nqui converge simplement en tous les rationnels.

b) Soit x ∈ [0; 1]. Montrer que fψ(n)(x)

n est de Cauchy. En d´eduire que la suite fψ(n)

n converge simplement sur [0; 1] : on notef : [0; 1]→Rsa limite.

c) Il reste `a montrer que fψ(n)

n converge vers f pour N, c’est-`a-dire que fψ(n)

n converge uni- form´ement sur [0; 1] versf.

i) Montrer quef estk-lipschitzienne.

ii) Soitε >0 : justifier l’existence dex1, . . . , xs∈[0; 1] tels que [0; 1]⊂ ∪sj=1]xj−ε;xj+ε[. Montrer que la convergence simple de (fψ(n))n versf enx1, . . . , xs entraˆıne la convergence uniforme sur [0; 1].

(14)

Universit´e Lille I L3 Maths

2012-2013 M-52

6 - CONNEXITE

Quizz Exercice 1

Les espaces suivants sont-ils connexes ? Connexes par arcs ? 1. unK-evn ;

2. une boule dans unK-evn ; 3. {(x, y)∈R2/ x6=y}.

Exercice 2

Soitf :R→Rune fonction continue. Son graphe Γf ={(x, f(x))/ x∈R} ⊂R2est-il connexe par arcs ?

Pour s’entraˆıner Exercice 3

Soitf : [a;b]→Cune fonction continue.

1. On suppose que ∀t ∈ [a;b], f(t)2 = 1. Montrer que f est ou bien constante ´egale `a 1, ou bien constante ´egale `a -1.

2. Que peut-on dire si∀t∈[a;b],eif(t)= 1 ?

Exercice 4

Montrer queR2\{x0}est connexe. En d´eduire, en raisonnant par l’absurde, queRn’est pas hom´eomorphe

` aR2.

Exercice 5

SoitEunK-evn de dimension au moins 2, on noteS la sph`ere de centre 0 et de rayon 1.

1. Soit x, y deux points de S, avecy 6=−x. Montrer queγ :t 7→ k(1(1t)x+tyt)x+tyk est un chemin continu reliantx`ay dansS.

2. En d´eduire queS est connexe par arcs.

Les essentiels Exercice 6

Montrer que les parties suivantes ne sont pas hom´eomorphes : 1. Ret R\ {x0};

2. le cercleC(0,1)⊂R2 et un intervalle deR.

(15)

Exercice 7

Montrer queGLn(R) n’est pas connexe, mais queGLn(C) est connexe par arcs.

Exercice 8

On noteT ={0} ×[−1; 1]∪[−1; 1]× {0}, muni de la topologie induite parR2. 1. Montrer queT est compact et connexe.

2. Montrer que sif :T →Rest continue, alors f(T) est un segment.

3. D´eterminer les points x∈T pour lesquelsT\ {x}est connexe.

4. Montrer queT n’est hom´eomorphe `a aucune partie deR.

Pour aller plus loin Exercice 9

SoitP une partie d´enombrable deR2. Montrer que le compl´ementaire deP est connexe par arcs.

Exercice 10

SoitOun ouvert d’un K-evnE.

1. Montrer que, pour toutx∈O,{y∈O/∃γ∈ C([0; 1], O), γ(0) =x, γ(1) =y} est un ouvert deE.

En d´eduire une partition deO en ouverts disjoints.

2. Montrer queO est connexe si et seulement siO est connexe par arcs.

Exercice 11 – Compacit´e et connexit´e

1. Montrer que dans unK-evn de dimension au moins 2, le compl´ementaire d’une boule est connexe.

2. Montrer que dans un K-evn de dimension infinie, le compl´ementaire d’un compact est connexe.

Est-ce vrai en dimension finie ?

Références

Documents relatifs

Soit ABC un triangle équilatéral direct et ( Γ ) le cercle circonscrit au

Vous allez programmer une feuille de calcul permettant de déterminer les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues, en vous aidant des

(Eis25) Montrer que la fonction racine carrée est uniformé- ment continue dans R + mais qu'elle n'est pas lipschit- zienne.. (Eis26) Soit f une fonction continue dans R + et

Ici M est une courbe paramétrée normale, dénie dans R, périodique de plus petite période L (voir Fig.. La longueur du support est

Soit n un entier naturel et f une fonction continue de [a; b]

Montrer qu’une matrice A est de la forme A(E; b) si et seulement si elle est antisymétrique, de déterminant nul mais non nulle (i.e2. En utilisant la linéarité du déterminant,

[r]

On note