2016/ 2017 Isométries du plan Mr. Karmous Exercice 1
Dans le plan orienté , on considère un rectangle ABCD de centre 0 tel que AB = 2 AD . On pose I = A* B et J = C*D. Soit f une isométrie sans point fixe et qui envoie A en C et I en J .
1) a/ Montrer que f est une symétrie glissante . b/ Montrer que f( B) = D
2) Soit E = f( C )
a/ Montrer que : 𝐶𝐷𝐸̂ = 𝜋2 b/ En déduire que D = A* E
3) Soit A’ le symétrique de A par rapport au point B . On pose g = 𝑇𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0𝑆(𝐵𝐶) a/ Déterminer g ( B ) , g( C ) et g ( A )
b/ En déduire que g = f
c/ A l’aide d’une décomposition adéquate de 𝑇𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ en deux symétries orthogonales ; déterminer les éléments caractéristiques de f .
Exercice 2
Soit ABC un triangle isocèle en A . On note D l’image de B par la symétrie orthogonale d’axe ( AC) . et I = B
* C . Soit f une isométrie qui fixe A et transformant B et C respectivement en C et D . On pose g = 𝑆(𝐴𝐶)0 𝑓
1) Determiner g( A) , g( B) , g( C ) et g ( I ) 2) Montrer que g est une symétrie orthogonale.
Exercice 3
Soit ABC un triangle équilatéral de centre 0
1) Montrer qu’il existe une unique isométrie f qui envoie A , B et C respectivement en B , C et A . 2) Montrer que f ( 0 ) = 0
3) Déterminer les images de C , 0 et A par 𝑆(𝐵𝑂) 0 f . Identifier l’isométrie 𝑆(𝐵𝑂) 0 f . 4) Déduire la nature et les éléments caractéristiques de f .
5) M et M’ deux points variables respectivement sur les segments [AB] et [BC] tel que AM = BM’
Montrer que la médiatrice du segment [ MM’] passe par un point fixe que l’on précisera . 6) Déterminer l’isométrie g telle que fog envoie B en B ; A en C et C en A .
Exercice 4
Le plan est orienté dans le sens direct . On considère un carré direct OABC de centre Ω ; on note I , J et K les milieux respectifs de [OA] , [OC] et [AB].
1) Soit f = 𝑆(𝐵𝑂) 𝑜 𝑆(Ω 𝐼) . Caractériser f .
2) Soit g une isométrie sans points fixes qui transforme 0 en C et I en J . a/ Montrer que g est une symétrie glissante .
b/ Montrer que g ( A ) = O
c/En déduire les éléments caractéristiques de g 3) a/ Vérifier que g = 𝑇𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0𝑆(𝐴𝐶)
b/ Soit D = g( K ) . Montrer que O est le milieux de [ID].
4) Soit 𝜑 = g-1 o f
a/ Determiner 𝜑(𝑜) 𝑒𝑡 𝜑 ( I ) . Caractériser 𝜑.
b/ Déterminer alors l’ensemble Δ des points M du plan tel que f (M ) = g ( M ) . Exercice 5
Soit ABC un triangle équilatéral direct et ( Γ ) le cercle circonscrit au triangle ABC. La médiatrice de [BC]
recoupe le cercle ( Γ ) en D et la droite ( BD) coupe ( AC) en E . 1) a/ Montrer que le triangle BCE est isocèle en C .
b/ Montrer que ( DC) est la médiatrice de [AE]
2) On note f = 𝑆(𝐵𝐷) 𝑜 𝑆(DC) et g = 𝑆(𝐴𝐶) 𝑜 𝑆(AB) a/ Caractériser les isométries f et g
b/ Déterminer les droites Δ et Δ′ telles que : f = 𝑆Δ 𝑜 𝑆(AD) et g = 𝑆(𝐴𝐷) 𝑜 𝑆Δ′
c/ Montrer que Δ et Δ′ sont parallèles . d) Identifier f o g .
Exercice 6
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( o , i , j ) . On considère l’application f du plan P dans P qui a tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’ = i z + 1
Montrer que f est une isométrie que l’on caractérisera .
