D1962 - Communauté de biens
Un triangle ABC admet (Γ) pour cercle circonscrit et (Γ1) pour cercle inscrit de centre I. Le cercle (Γ1) et le cercle (Γ2) circonscrit au triangle AIB se rencontrent aux deux points G et H et leurs deux tangentes communes qui touchent le cercle (Γ2) aux points E et F se rencontrent en un point D. Soit (Γ3) le cercle circonscrit au triangle DGH. Les tangentes communes aux cercles (Γ1) et (Γ3) touchent le cercle (Γ3) aux points M et N et se rencontrent en un point X. Les demi-droites XM et XN coupent le cercle (Γ) aux points Y et Z.
Démontrer que :
Q1 Les cercles (Γ) et (Γ3) sont tangents entre eux.
Q2 Les deux triangles ABC et XYZ ont le même cercle circonscrit (Γ) et les trois triangles ABC, DEF, XYZ partagent le même cercle inscrit (Γ1).
Solution proposée par Pierre Renfer
1) Une inversion précieuse
Soit X' le centre du cercle 2 ( On verra plus loin que le point X' coïncide avec le point X).
Soit Ia le centre du cercle exinscrit du triangle ABC, face à C.
Le segment
I , I a est vu depuis A et B sous un angle droit.Donc le cercle 2 est le cercle de diamètre
I , I a .Le centre X' de 2 appartient à la bissectrice du triangle ABC, issue de C, et appartient à la médiatrice du segment [A,B].
Le milieu P de l'arc (AB) du cercle (l'arc qui ne contient pas C) appartient aussi à la bissectrice issue de C et à la médiatrice du segment [A,B].
Donc X' et P coïncident.
Soit f l'inversion, de pôle X', laissant fixes les points de 2.
Soit 3' le cercle image du cercle 1 par f ( On verra plus loin que 3' coïncide avec 3).
L' inversion f transforme le cercle en la droite (AB) qui tangente à 1.
Donc le cercle , image de la droite (AB), est tangent au cercle 3', image du cercle 1.
2) Une seconde inversion
Le point D, intersection des tangentes communes à 1 et 2, est le pôle d'une inversion g qui échange les cercles 1 et 2.
Les images par g des points E et F sont les points de contact E' et F des tangentes communes avec le cercle 1.
Le cercle de diamètre [ I , D ], qui passe par E' et F', est transformé par g en la droite (EF).
Mais comme ce cercle est tangent en I au cercle 2, son image, la droite (EF), est tangente au cercle 1, image de 2, en un point T, image de I.
La bissectrice du triangle ABC, issue de C, coupe 1 en T et en un autre point S.
Si désigne le point à l'infini, on peut écrire la division harmonique :
T ,S , I ,
1.Les points images par g donnent la division harmonique :
I , I a ,T ,D
1. Cette division harmonique indique que l'inversion f transforme T en D.Et comme f laisse fixes les points G et H de 1, l'image 3' de 1 par f passe par G,H et D et coïncide avec 3.
Le pôle X' de l'inversion f coïncide donc avec le point X de l'énoncé . 3) Conclusion
Le cercle 3 3' est bien tangent à .
Le point XX' appartient bien comme Y et Z au cercle .
Le triangle DEF admet bien 1 comme cercle inscrit puisque la droite (EF) est tangente à 1. Le théorème de Poncelet, pour les triangles, assure que le triangle XYZ admet bien 1 comme cercle inscrit.
