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Enoncé D1824 (Diophante) K,L,M en bonne compagnie Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissec- trice de l’angle

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Academic year: 2022

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Enoncé D1824 (Diophante) K,L,M en bonne compagnie

Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissec- trice de l’angle 6 BAC coupe le côté BC au point A1 et l’arc BC qui ne contient pasA au pointM. La droite perpendiculaire au côtéAC passant parA1 coupe l’arcAC qui ne contient pasB au pointK. La perpendicu- laire à BK passant parA coupe le côté BC au point L.

Démontrer que les points K,L etM sont alignés.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Le cercle circonscrit au triangleAA1KrecoupeKM enL1. Je vais montrer que ce point deKM est aussi surAL et surBC, donc confondu avec L.

(KB, KM) = (AB, AM) = (AM, AC) (cocyclicité et bissectrice), (KL1, KA1) = (AL1, AA1) (cocyclicité),

(AL, AC) = (KB, KA1) (perpendiculaires respectives),

= (KB, KM) + (KL1, KA1) = (AL1, AM)(+(AM, AC) = (AL1, AC).

Ainsi la droite AL1 est confondue avec AL.

Ensuite (A1L1, A1K) = (AL1, AK) (cocyclicité)

= (AL, AK) (par le point précédent)

=π/2−(KA, KB) (perpendiculaire)

=π/2−(CA, CB) (cocyclicité)

= (A1C, A1K).

Les points A1, L1, C sont alignés : les trois droites KM, AL et BC sont concourantes enL1, qui se confond avecL, CQFD.

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