• Aucun résultat trouvé

Enoncé D1824 (Diophante) K,L,M en bonne compagnie Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissec- trice de l’angle

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Enoncé D1824 (Diophante) K,L,M en bonne compagnie Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissec- trice de l’angle"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

Enoncé D1824 (Diophante) K,L,M en bonne compagnie

Soient un triangle acutangle ABC et son cercle circonscrit (Γ). La bissec- trice de l’angle 6 BAC coupe le côté BC au point A1 et l’arc BC qui ne contient pasA au pointM. La droite perpendiculaire au côtéAC passant parA1 coupe l’arcAC qui ne contient pasB au pointK. La perpendicu- laire à BK passant parA coupe le côté BC au point L.

Démontrer que les points K,L etM sont alignés.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Le cercle circonscrit au triangleAA1KrecoupeKM enL1. Je vais montrer que ce point deKM est aussi surAL et surBC, donc confondu avec L.

(KB, KM) = (AB, AM) = (AM, AC) (cocyclicité et bissectrice), (KL1, KA1) = (AL1, AA1) (cocyclicité),

(AL, AC) = (KB, KA1) (perpendiculaires respectives),

= (KB, KM) + (KL1, KA1) = (AL1, AM)(+(AM, AC) = (AL1, AC).

Ainsi la droite AL1 est confondue avec AL.

Ensuite (A1L1, A1K) = (AL1, AK) (cocyclicité)

= (AL, AK) (par le point précédent)

=π/2−(KA, KB) (perpendiculaire)

=π/2−(CA, CB) (cocyclicité)

= (A1C, A1K).

Les points A1, L1, C sont alignés : les trois droites KM, AL et BC sont concourantes enL1, qui se confond avecL, CQFD.

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 100.36 KB )

Documents relatifs

M étant le milieu de BC, on trace la droite AM qui coupe le cercle (Γ) en un deuxième point N

M étant le milieu de BC, on trace la droite AM qui coupe le cercle (Γ) en un deuxième point N.. Le cercle circonscrit au triangle AME coupe le cercle (Γ) en un deuxième point

D1829. Le ballet des inscrits Soit (Γ) le cercle circonscrit à un triangle ABC acutangle. Le point P est variable sur l'arc BC qui ne contient pas le point A On trace les centres I

et de centre C de rapport CKc/CIa, d'angle (CIa,CKc) opérant sur cet arc BC, le transforment en un arc de cercle qui va de B vers le milieu de IC, ( lieu de Kb). et un arc de

La droite BM coupe le cercle (Γ) au point Q et CM coupe ce même cercle au point P

On considère un point M à l'intérieur d'un triangle ABC.La tangente en M au cercle circonscit au triangle BCM rencontre la droite AB au point D et la droite AC au point E.. Les

à la main] Soient un triangle ABC et un point D du côté BC

Avec le premier cercle: on a PH*HQ = BH*HK = CH*HL car les quatre points B,C,K,L sont cocycliques avec les triangles rectangles BCK et BCL. Les points Q et Q'

La parallèle passant par P à la droite [AB] coupe la droite [AC] au point I et la droite [BC] au point J

1) La simediana

à la droite (BC) coupe la droite (AB) en un pointD et la droite (AC) en un pointE

Virage à angle droit ***. Soit un

La droite [AD] bissectrice de l’angle en A coupe l’arc (BC) qui ne contient pas le point A en son milieu K

Avec P,Q,J confondus, ω est en ω₂.Enfin quand P parcourt la demi-droite IDz’, le point ω après avoir fait demi-tour parcourt à nouveau cette. demi-droite ω₂x’ en

On trace le point D sur le côté AC tel que CD = BC = a puis le point E projection de C sur BD

Soient F le centre du cercle inscrit dans le triangle BCE, H le point de contact de ce cercle avec BC, G le centre du cercle inscrit dans le triangle ABD et S le point de contact