à la main] Soient un triangle ABC et un point D du côté BC

D1837 − Passage obligé [**** à la main]

Soient un triangle ABC et un point D du côté BC. On trace une droite [∆] quelconque qui passe par D et coupe les droites [AB] et [AC] aux points E et F.Le cercles de diamètres BF et CE se coupent aux points P et Q.

Démontrer que lorsque [∆] pivote autour de D, la droite [PQ] passe par un point fixe.

Solution proposée par Bernard Vignes

Le point fixe est l'orthocentre H du triangle ABC

Soit P l'un des deux points d'intersection des cercles circonscrits aux triangles de diamètre BF et CE.

Soient K et L les pieds des hauteurs issues de B et de C dans le triangle ABC La droite PH coupe le premier de ces deux cercles en Q et le second au point Q'.

On va démontrer que Q et Q' sont confondus.

Avec le premier cercle: on a PH*HQ = BH*HK = CH*HL car les quatre points B,C,K,L sont cocycliques avec les triangles rectangles BCK et BCL.

Avec le second cercle on PH*PQ' = CH*CL

D'où HQ = HQ'. Les points Q et Q' sont confondus. C.q.f.d.