D183 – Cinq pentagones inscriptibles [**** à la main]
Soit un quadrilatère complet de sommets A,B,C,D,E et P. (voir figure ci-après).
Les points I,J,K et L sont respectivement les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC,ADE,BEP et CDP. Les cercles BEP et CDP se coupent en un deuxième point Q.Les tangentes en B et en E au cercle BEP coupent respectivement les tangentes en C et en D au cercle CDP aux points M et N.Enfin la tangente en P au cercle BEP rencontre respectivement en S et T les tangentes en C et D au cercle CDP tandis que la tangente en P au cercle CDP rencontre les tangentes en B et E au cercle BEP en U et V.
A partir des 17 points ainsi tracés, identifiez cinq pentagones inscriptibles dans cinq cercles qui ont tous un point commun.Justifiez vos réponses.
Solution proposée par Bernard Vignes
Ce problème est une variante du théorème de Miquel selon lequel si ABCDEP est un quadrilatère complet, les cercles circonscrits aux triangles ABC, ADE, BEP et CDP sont concourants en un point Q appelé point de Miquel.
Les cinq pentagones inscriptibles dans cinq cercles (voir figure ci-dessus) sont définis par les sommets suivants :
- le point Q + les centres I,J,K,L des cercles circonscrits aux triangles ABC,ADE,BEP et CDP . Le cercle correspondant (tracé en vert) est appelé cercle de Steiner du
quadrilatère complet ABCDEP.
- le point Q + les points A,B et C + le point M intersection de la tangente en B au cercle BEP et de la tangente en C au cercle CDP. Le cercle correspondant est le cecrle circonscrit au triangle ABC.
- le point Q + les points A,D et E + le point N intersection de la tangente en D au cercle CDP et de la tangente en E au cercle BEP. Le cercle correspondant est le cecrle circonscrit au triangle ADE.
- le point Q + le point P + le point M + le point S intersection de la tangente en P au cecrle BEP et de la tangente en C au cercle CDP + le point U intersection de la tangente en P au cercle CDP et de la tangente en B au cercle BEP.
- le point Q + le point P + le point N + le point T intersection de la tangente en P au cecrle BEP et de la tangente en D au cercle CDP + le point V intersection de la tangente en P au cercle CDP et de la tangente en E au cercle BEP.
On constate que les 2ème et 3ème pentagones sont de la même famille, les points B et C étant remplacés par les points D et E. Même remarque pour les 4ème et 5ème pentagones.Les démonstrations ci-après seront donc limitées aux 1er,2ème et 4ème pentagones.
1er pentagone : les points I,J,K,L et P sont cocycliques
Lemme : les quatre cercles circonscrits aux ABC, ADE, BEP et CDP sont concourants en un point Q appelé point de Miquel.
Démonstration : soit Q le point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles BEP et CDP. On angle(PQE) = angle(ABC) et angle(PQD) = angle(DCP) = angle(ACB). Donc angle(DQE) = angle(PQE) + angle(PQD) = angle(ABC) + angle(ACD) = 180° - angle(BAC).
Les angles(DQE) et (BAC) sont donc supplémentaires. Le quadrilatère ADQE est inscriptible et le cercle circonscrit à ADE passe donc pas le point Q. De la même manière on obtient angle(BQC) = 180° - angle(BAC) et le cercle circonscrit au triangle ABC passe par le point Q
Les quatre points I,J,K,L sont cocycliques.
Démonstration :
On a les égalités d’angles suivantes : les droites DQ et PQ étant perpendiculaires
respectivement à JL et KL, on a angle(JLK) = angle(DQP). Dans le cecrle circonscrit au triangle CDP,on a angle(DQP)= angle(DCP). Puis dans le cercle circonscrit au triangle ABC, on a angle(DCP) = angle(ACB) = angle(AQB) . Les droites IJ et IK étant perpendiculaires respectivement à AQ et BQ, on a angle(AQB) = angle(JIK). D’où angle(JLK) = angle(JIK).
Les quatre points I,J,K,J sont bien sur un même cercle Γ.
Le point Q appartient au cercle Γ.
Démonstration
On a angle(JQK) = angle(EQJ) – angle(EQK) = [180° - angle(EJQ)]/2 – [180° -
angle(EKQ)]/2. Or d’une part angle(EJQ) = 2.angle(EAQ) = 2.angle(PCQ) et d’autre part angle(EKQ) = 2.angle(EPQ) = angle(DCQ).
D’où angle(JQK) = angle(DCQ) – angle(PCQ) = angle(DCP) = angle(JIK) (voir supra). Les quatre points I,J,K,Q sont donc cocycliques et Q appartient au cercle Γ.
2ème et 3ème pentagones : les points A,B,C,M et Q sont cocycliques ainsi que les points A,D,E,N et Q.
Démonstration
Les droites BK et CL se rencontrent en un point F et les droites EK et DL se rencontrent en un point G.
On désigne par a = angle(BAC), b = angle(ABC) et p =angle(BPE) = angle(CPD).
Grâce à des égalités d’angles inscrits à l’intérieur des cercles circonscrits aux triangles BEP et CDP, on obtient les identités suivantes :
angle(BEP) = b – p, angle(BKE) = 2p, angle(FBA) = angle(EBK) = angle(BEK) = 90°– p, angle(PEK) = angle(EPK) = 90° – b, angle(BKP) = 2(b – p), angle(CDP) = a + b – p,
angle(CLP) = 2(a + b – p), angle(PCL) = angle(CPL) = 90° – a – b + p, angle (DPL) = a + b – 90°, angle( GLP) = 2(a + b – 90°), angle(KPL) = 180° – a, angle (KQL) = 180° – a, angle (DGE) = 180° – a, angle (BFC) = a.
Comme les droites BM et CM sont perpendiculaires aux droites KBF et CLF, il en résulte que angle(BMC) = angle(BFC) = angle(BAC) = a. Les points A,B,C et M sont coycliques.Il en est de même des points A,B,C,M et Q.
4ème et 5ème pentagones : les points M,P,Q,S et U sont cocycliques ainsi que les points N,P,Q,T et V
Démonstration
On adopte les mêmes notations que précédemment. Comme les droites BUM et SCM sont perpendiculaires aux droites BK et CL, on a angle(SMU) = angle(BFC) [voir supra] = angle(BAC).Par ailleurs les droites PS et PU sont perpendiculaires aux droites PK et PL.
Donc angle(SPU) = angle(PKL) = 180° – a. Les quatre points M,P,S et U sont donc cocycliques.
Enfin angle(PQM) = angle(PQC) – angle(CQM) = angle(ADE) – angle(CBM) = 180° – a – b + p – b + p = 180° – a –2b + 2p et angle(MSP) = 180° – angle(SMU) –angle(PS,MU) = 180°
– a – angle(BKP) = 180°– a – 2(b – p). Il en résulte angle(PQM) = angle(PSM). Les quatre points M,P,Q,S sont donc cocycliques. Il en est de même des points M,P,Q,S et U.
