D1700. Un classique de FvL MB
Un triangle est divisé par ses trois médianes en six triangles plus petits. Démontrer que les centres des cercles circonscrits à ces triangles sont cocycliques.
Les 3 sommets ABC sont supposés être situés sur le cercle unité. A, B, C ont pour affixes a, b, c.
Je cherche l’affixe z du centre M du cercle qui passe par A, le centre de gravité G et le milieu C’ de AB.
Le conjugué de z est noté w.
Explication des lignes qui suivent :
(1) : MA² (2) : MC’² (3) : MG² (4) : MC’² – M A² (5) : MG² – MA² (4) implique (6) Et (5) donne une autre expression de w (sur fond gris)
En égalant les deux dernières lignes on peut expliciter l’affixe z de M :
Les affixes des centres des cercles AGC’, BGA’, CGB’ sont donnés par 10, 11, 12.
Dans (10) on remplace b par c et c par b on obtient l’affixe du centre du cercle AGB’ :
(12)−(11)
(12)−(10) se simplifie en – 𝑎−2𝑏+𝑐𝑎+𝑏−2𝑐 et (13)−(11)(13)−(10) se simplifie en (𝑎(2𝑏−𝑐)−𝑏𝑐)(𝑎−2𝑏+𝑐) 𝑎2(𝑏+𝑐)−2𝑎(𝑏2+𝑐2)+𝑏𝑐(𝑏+𝑐)
Montrer que le quatrième point est sur le cercle défini par les trois points précédents se fait en montrant que ces deux rapports ont le même argument modulo ∏, c’est-à-dire que leur quotient est réel.
Ce quotient est : (𝑏𝑐−𝑎(2𝑏−𝑐))(𝑎+𝑏−2𝑐)
𝑎2(𝑏+𝑐)−2𝑎(𝑏2+𝑐2)+𝑏𝑐(𝑏+𝑐) . Son conjugué, obtenu par a →1/a, b→1/b, c→1/c, est identique à ce quotient. Il est donc réel.
On a ainsi prouvé que le centre du cercle AGB’ appartient au cercle défini par les trois points centres des cercles AGC’, BGA’, CGB’.
Pour des raisons de symétrie, la démonstration vaut aussi pour les centres des cercles BGC’ et CGA’.
Les 6 centres des 6 cercles circonscrits aux 6 triangles sont cocycliques.
