D1828 − La saga des dichotomies (4ième épisode) [*** à la main]
Soit un triangle scalène ABC inscrit dans un cercle (Γ). La tangente en C à ce cercle rencontre la droite (AB) au point D. Soit I le centre du cercle inscrit du triangle ABC. La bissectrice de l'angle BDC rencontre les droites AI et BI respectivement aux points P et Q. M étant le milieu de PQ, démontrer que la droite MI coupe l'arc AB qui contient C en son milieu.
Solution proposée par Bernard Vignes
Soient X le milieu de l'arc AB contenant C, K à l'intersection de la droite (CX) et de la droite (AI), L à l'intersection de la droite (CX) et de la droite (BI).
Soient α = BAC, β = ABC et γ = ACB. Sans perte de généralité on suppose que β ≥ α.
1°) Les points B,P,Q et A sont cocycliques En effet BQD = 180° − BDQ − DBQ.
Or BDQ = BDC/2 = (β − α)/2 et DBQ = 180° − β/2. D'où BQD = α/2 = BQP = BAP.
2°) Les droites (PQ) et (CX) sont parallèles
En effet CIP + IPQ = IAC + ICA + ABQ/2 = (α + β + γ)/2 = 90° . Les droites (CI) et (PQ) sont perpendiculaires.
Par ailleurs, ICX = ICA + ACX = ICA + ABX = ACB/2 + (180° − γ)/2 = 90°
3°) Les points I,C,L et A sont cocycliques de même que les points A,B,K et L En effet CLI = BQD = IAC = α/2. Il en résulte que IAL = ICL = 90°.
De la même manière IBK =LBK = 90°.
4°) X est le milieu de KL
En effet XBI = XBA − IBA = (180° − γ)/2− β/2 = α/2 = XLI. Le triangle BXL est isocèle de sommet X .Le triangle KBL étant rectangle en B,X est le milieu de KI.
Les points M et X étant les milieux respectifs des segments PQ et KL; les points I,M et X sont alignés et la droite IM passe par X.
