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Montrer que les points A, B et C sont alignés

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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fG014e02 ©pa2008

Colinéarité et applications

Exercice 1

Soient A, B et C trois points tels que 3AB + 2AC = 2AB − 2AC.

Montrer que les points A, B et C sont alignés. Faire la figure correspondante.

Exercice 2

Soit ABC un triangle et M un point tel que AM = 4AB − 3AC. 1) Exprimer BM en fonction de BC.

2) En déduire que B, M et C sont alignés.

Exercice 3

Soient A, B, C et D quatre points tels que AC = BD + CD.

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Faire la figure correspondante.

Exercice 4

Soit k un réel non nul.

Soit ABC un triangle, I tel que AI = k

1 AB et J tel que AJ = k AC.

Partie A Soit k = 3.

1) Faire une figure.

2) Exprimer BJ en fonction de AB et AC. 3) Exprimer IC en fonction de AB et AC. 4) Montrer que (BJ) // (IC).

Partie B

Reprendre les questions de la partie A pour un réel k quelconque non nul.

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Solutions

Exercice 1

3AB + 2AC = 2AB − 2AC ⇔ 3AB − 2AB = − 2AC −2ACAB = −4AC. Les vecteurs AB et AC sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés.

Exercice 2 Figure :

Soit N tel que AN = 4AB, puis M tel que NM = −3AC. Alors AM = AN + NM = 4AB − 3AC.

1) En ajoutant BA aux deux membres de l'égalité : BA + AM = BA + 4AB − 3AC CA

AB BM =3 +3

⇔ ⇔BM =3CBBM = −3BC.

2) Les vecteurs BM et BC sont colinéaires, donc les points B, M et C sont alignés.

Exercice 3

En ajoutant CB aux deux membres de l'égalité : AC + CB = CB + BD + CD

AB = 2CD.

Les vecteurs AB et CD sont colinéaires, donc droites (AB) et (CD) sont parallèles.

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fG014e02 ©pa2008

Exercice 4 Partie A 1) Figure :

2) BJ = BA + AJ = AB + 3AC. 3) IC = IA + AC =

3

1 AB + AC.

4) Il apparaît que BJ = 3IC : les vecteurs BJ et IC sont colinéaires, donc les droites (BJ) et (IC) sont parallèles.

Partie B

Les résultats obtenus sont : BJ = AB +k AC, IC = k

1 AB + AC, BJ = k IC donc (BJ) // (IC).

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