DM02: Droites parallèles ou concourantes /
Correction
1.a) 1.a)1.a)
1.a) On a par construction: A(a;0), B(0;b), A'(a;1) et B'(1;b). Donc A B'
(
−a b; −1 et)
AB' 1(
−a b;)
. Par suite,' et
'
A B
AB
sont colinéaires(
1)(
1)
0 ab a b ab ⇔ − − − − = ⇔ − − +b ab 1 0 1 a a b + − = ⇔ + = 1.b 1.b1.b1.b)))) Ainsi, sia+b=1, alors b= −1 a, d'où A B'
(
−a;−a)
et AB b b'(
;)
. Or OK( )
1;1 , donc ces trois vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.2.a 2.a2.a
2.a)))) On suppose que a+b≠1. Dans tous les cas, la droite (OK) a pour équation
y
=
x
. 2.b2.b2.b
2.b)))) Compte tenu des coordonnées de A B'
(
−a b; −1)
, la droite (BA') a une équation de la forme :(
b
−
1
)
x
+
ay c
+ =
0
.Or
B
(
0;
b
)
appartient à cette droite, donc c= −ab, et une équation de (BA') est(
b
−
1
)
x
+
ay
−
ab
=
0
. (*)2.c 2.c2.c
2.c))))
M
∈
(
OK
)
, donc en notantM x y
(
;
)
, on ax
=
y
. Dans (*), il vient: (avec a+b≠1)(
1
)
0
0
(
1
)
0
1
ab
b
x
ax ab
bx
x ax ab
a b
x ab
x
a b
−
+
−
=
⇔
− +
−
=
⇔
+ −
−
=
⇔
=
+ −
.Donc les coordonnées de M sont: ;
1 1 ab ab M a b a b + − + − . 3 33
3)))) Pour voir si A, M et B' sont alignés, testons les coordonnées de M dans une équation de (AB'). Recherche d'une équation de (AB'): compte tenu des coordonnées deAB' 1
(
−a b;)
, la droite (AB') a une équation de la forme :bx
+
(
a
−
1
)
y
+ =
c
0
.Or
A a
(
; 0
)
appartient à cette droite, donc c= −ab, et une équation de (AB') est(
1
)
0
bx
+
a
−
y
−
ab
=
. (**)Testons les coordonnées de M dans (**), il vient:
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 21
0
1
1
1
1
0
1
0 (égalité vraie)
ab
ab
b
a
ab
a b
a b
ab
ab a
ab a
b
a b
ab
a b ab a b ab
ab
+
−
−
=
+ −
+ −
+
−
−
+ −
=
+ −
+
−
−
−
+
=
Donc
M
∈
(
AB
'
)
; par définition de leur intersection,M
∈
(
A B
'
)
etM
∈
(
OK
)
, donc ces trois droites sont concourantes en M.Finalement, il n'y a que deux configurations: ces trois droites sont ou bien parallèles (si a+b=1
