2008-2009 TS 1/ 3 D-M Démonstration par récurrence
Devoir maison n
◦4 sur les récurrences
Exercice 1 :
On dit que les droites d’un plan sont dans une position générale s’il n y a pas de droites parallèles, et s’il n’existe pas de triplet de droites concourantes au même point.
Exemple :
voici quatre droites en position générale voici quatre droites qui ne sont pas en position générale
Le but de cet exercice est de déterminer en combien de régionsndroites en positon générale partagent le plan.
Partie A Expérimentation et conjectures
1. On note s(n)ce nombre. On impose la valeur s(0) = 1 car sans droite il n’y a qu’un morceau : le plan tout entier.
En utilisant des dessins, donner les valeurs de s(1), s(2), s(3) et s(4) puis reproduire et compléter le tableau suivant :
A B C D
s(0) = 1
s(1) = 2 s(1)−s(0) = 1
s(2) = 4 s(2)−s(1) = 2
s(3) = 7 s(3)−s(2) = 3
s(4) = 11 s(4)−s(3) = 4
2. Utiliser les colonnes C et D pour exprimer s(1) en fonction des(0), puis s(2)en fonction de s(1), puis s(3)en fonction des(2). En déduire une conjecture exprimants(n+ 1) en fonction des(n)etn.
Solution :
Il semble que la colonneD contienne la suite des entiers naturels à partir de1, c’est à dire que la suite de terme généralsn+1−sn est aussi égale à la suite de terme généraln+ 1.
on conjecture que sn+1−sn=n+ 1pour toutn≥0 3. On rappelle que1 + 2 +· · ·+n= n(n2+1).
Vérifiez que s(4)−s(0) = (s(4)−s(3)) + (s(3)−s(2)) + (s(2)−s(1)) + (s(1)−s(0))puis, en utilisant le tableau et éventuellement les expressions de s(3)−s(0),s(2)−s(0),. . . émettre une conjecture exprimant s(n)en fonction den.
Solution :
Par simplification on a facilement que(s(4)−s(3))+(s(3)−s(2))+(s(2)−s(1))+(s(1)−s(0)) =s(4)−s(0).
Mais puisqu’on a conjecturé quesn+1−sn=n+ 1, on peut aussi écrire que
(s(4)−s(3))+(s(3)−s(2))+(s(2)−s(1))+ (s(1)−s(0)) =4+3+2+ 1 Et d’après le rappel4 + 3 + 2 + 1 = 4(4 + 1)
2 = 10. Ainsi, on a s(4)−s(0) = 10. Et puisques(0) = 1, on a s(4) = 11.
De façon générale, on peut conjecturer que par simplification on aurait facilement :
(s(n)−s(n−1))+(s(n−1)−s(n−2))+(s(n−2)−s(n−3))+· · ·+(s(2)−s(1))+(s(1)−s(0)) =s(n)−s(0) 1/ 3
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Mais puisqu’on a conjecturé quesk+1−sk =k+ 1pour toutk≥0, on peut aussi écrire que (s(n)−s(n−1)) + (s(n−1)s(n−2)) + · · · + (s(2)−s(1)) + (s(1)−s(0))
= n + (n−1) + · · · + 2 + 1
Et d’après le rappeln+(n−1)+· · ·+3+2+1 = n(n+ 1)
2 . Ainsi, on conjecture ques(n)−s(0) = n(n+ 1)
2 .
Et puisque s(0) = 1, on a s(n) = n(n+ 1)
2 + 1 = n2+n+ 2
2 .
on conjecture que s(n) = n(n+ 1)
2 + 1 = n2+n+ 2
2 pour toutn≥0
Partie B Preuve de la première conjecture
On démontre dans cette partie la conjecture de la questionA.2par des considérations géométriques.
Supposons quendroites soient en position générale. On rajoute à cesndroites une droite(d)de telle sorte que cesn+ 1 droites soient encore en position générale.
1. En combien de points les ndroites coupent-elles cette droited? Solution :
Chacune desndroites rencontre en un seul point cette nouvelle droite (les droites ne sont jamais parallèles), et comme les droites n’ont pas d’intersection tois à trois ces points sont distincts deux à deux. Il y a donc npoints d’intersection avec la nouvelle droite.
2. En combien d’intervalles ces points partagent-ils la droited? Solution :
npoints distincts partagent cette droite en n+ 1intervalles.
3. Chacun de ces intervalles partage une région de la partition obtenue par lesndroites en deux régions. En déduire que l’on a la relation
s(n+ 1) =s(n) +n+ 1.
Solution :
Chacun de ces n+ 1intervalles créent une région supplémentaire (dont ils sont l’une des frontières). Il y a donc (n+ 1)régions crées. D’où la relation
s(n+1)=s(n)+n+1
Partie C Preuve de la deuxième conjecture
On sait maintenant que la conjecture de la question A.2 est vraie. On va l’utiliser ici pour montrer par la méthode de récurrence que la conjecture de la questionA.3 est elle aussi vraie.
1. Citer la propriétéP(n)à démontrer.
Solution :
P(n)est la propriété suivante :s(n) =n(n+ 1) 2 + 1.
2. Montrer queP(0)est vraie.
Solution :
Il suffit de calculer 0(0 + 1)
2 + 1 = 1, et sachant que s(0) = 1, on a ainsi vérifié queP(0)est vraie.
3. Montrer en utilisant le fait que s(n+ 1) =s(n) +n+ 1queP(n)est héréditaire.
Solution :
Supposons que pour un entier n≥0on as(n) = n(n+ 1)
2 + 1. Montrons alors que s(n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)
2 + 1 = n2+ 3n+ 4
2 .
D’après ce qu’on a déjà démontré, on sait que s(n+ 1) =s(n) +n+ 1. Et par hypothèse de récurrence, s(n) = n(n+ 1)
2 + 1. Donc
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s(n+ 1) =s(n)+n+ 1 =
n(n+ 1)
2 + 1
+n+ 1
Et en réduisant qu même dénominateur, on a
n(n+ 1)
2 + 1
+n+ 1 = n2+ 3n+ 4
2 .
DoncP(n+ 1)est vraie.
4. Conclure.
Solution :
La proporiété P(n)est vraie pour n= 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n≥0, c’est à dire pour toutn∈N.
on a doncdémontréque pour toutn∈Non a s(n) = n(n+ 1)
2 + 1 = n2+n+ 2 2
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