Droites parallèles :
- Théorème de Thalès :
Bien repérer les deux triangles et toujours vérifier les égalités trouvées par rapport aux deux triangles. Deux configurations :
Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux triangles dont les côtés correspondants ont des longueurs proportionnelles.
On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
Triangle AED AE AD DE
Triangle ABC AC AB BC
On en déduit les égalités de rapport suivant : AE AC = AD
AB = ED BC
Les agrandissements ( réduction ) conservent la mesure des angles on a donc aussi :
AED = ACB ABC = ADE EAD = BAC Les triangles AED et ABC sont de même nature.
Exemples d’utilisation : Calcul de longueurs :
Exemples d'utilisation :
On considère la figure ci-contre. On a :
- DM = 7 cm ; MN = 8 cm ; ME = 5 cm.
- Les droites (DE) et ( PN) sont parallèles.
Calculer PM.
Les points D,M,N et E,M,P sont alignés dans le même ordre
Les droites ( DE) et ( PN) sont parallèles d’après le théorème de Thalès, on a : DM
MN = DE PN = ME
PM ( on a bien que les lettres du triangle DME au numérateur, et que les lettres du triangle PMN au dénominateur)
7 8 = DE
PN = 5
PM calcul de PM : 7 8 = 5
PM PM = 40 7 cm.
Comment prouver que des droites sont parallèles :
- Réciproque du théorème de Thalès :
Bien repérer les deux triangles
Seuls deux quotients nous intéressent Ne pas mettre =
Exemple :
Dans la configuration ci-contre, montrer que les droites (GF) et (IH) sont parallèles.
EH = EF + FH = 5cm et EI = EG + GI = 10 cm EG
EI = 3 10 EF
EH = 1,5
5 5×3 = 10×1,5 donc EG EI = EF
EH
. Les points E; G ; I et les points E ; F ; H sont alignés dans le même ordre.
. et EG EI = EF
EH
d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GF) et (IH) sont parallèles.
