Section européenne Géométrie plane 5
Droites parallèles et sécantes
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable :
• reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes ;
• déterminer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes.
Parallélisme
13.1 Draw the lines whose equations are given below, then find out their slopes. What seems to be the link between these numbers and parallelism ?
d1:y = 2x+ 3 ; d2:y =−3x−1 ;
d3 :y=−0.5x+ 2 ; d4 : 2x−y−1 = 0 ;
d5 : 2y+ 6x+ 6 = 0 ; d6 : 1.5x+ 3y+ 3 = 0.
13.2 Sans les tracer, regrouper toutes les droites dont les équations sont données ci- dessous en familles de droites parallèles.
d1:y =−2x+ 1 d2:y = 14x−3 d3:y =−3x−2
d4 :y= 2x−1 d5 :y=−2x−2 d6 :y=−3x+12
d7 :y= 2x d8 :y= 5
d9 :y=−3x−4
d10:y= 14x+ 1.5 d11:x= 5
d12:y= 14x+ 6
13.3 En déterminant leurs coefficients directeurs, reconnaître dans la liste ci-dessous les droites parallèles.
∆1 :y= 13x+ 2 ;
∆2 :y=−5x−1 ;
∆3 : 7y=−4x+ 5 ;
∆4 :x−3y−2 = 0 ;
∆5 : 4y+ 20x+ 8 = 0 ;
∆6 :−3.5y−2x+ 7 = 0 ;
∆7 : 32y−12x+ 7 = 0 ;
∆8 : 35y+ 20x= 12.
13.4 Letd0 be the line of equationy= 3x−2. Find the equations of the lines described below.
1. d1 is parallel to d0 and has intercept 4.
2. d2 is parallel to d0 and passes through the point (−1; 0).
3. d3 has slope 2 and meets d0 at point (7; 19).
4. d4 is parallel to the x-axis and has the same intercept as d0. 5. d5 never meets d0 and is passing though the origin.
Intersections de droites
13.5 On considère le système : S
( −2x+y = −1
−5x+y = 2 .
1. Donnez les équations réduites des droites associées à ce système.
2. A l’aide de la calculatrice graphique, tracez les droites et déduisez-en une approxi- mation de la solution.
3. Vérifiez par le calcul que le couple obtenu est bien la solution exacte du système.
13.6 Déterminer à l’aide de la calculatrice une approximation des solutions de chacun des sytèmes suivants puis vérifier par le calcul les couples de solutions obtenus.
1.
( y = −2x−1 y = 14x+ 72 ; 2.
( y = 5x−10
y = x ;
3.
( y = −41x+ 3
x = −1 ;
4.
( y = 5x−1 y = 5x−2 ;
13.7 Déterminer une équation de chacune des droites tracées ci-dessous, puis en déduire la résolution graphique de chacun des systèmes donnés.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
(d1)
(d2)
(d3)
(d4) (d5)
1.
( y = 25x+ 3 2x+ 5 = 0 2.
( 4x−10y = 15 2x+ 18y = 31 3.
( y = 4 2x+ 5 = 0 4.
( y = 25x− 32 2x−5y = −15
13.8
Í
The algorithm below is about a system of the form( ax+b = c
a′x+b′y = c′ where a,b,c, a′, b′ and c′ and six real numbers, x and y being the unknows.
begin
Input :a, b, c, a′, b′, c′, six real numbers ; ad−bc→u ;
if α6= 0 then cb′ −c′b
α →v ; ca′−c′a
α →w ; Output : u,v ;
1. a. Apply the algorithm to the system
( 2x+ 3y = 7 3x+ 2y = 8 . b. Try and find the aim of this algorithm. Check your answer.
2. Same questions with the system
( x+y = 9 x−y = −1 .
3. Explain the necessity of the condition ad−bc= 0. What happens for the system in this case ? To answer this question, you could find out a system in which ad−bc= 0 then draw the lines corresponding to it.
Applications
13.9 LetABCDbe a square with side 1. The pointsIandJare the respective midpoints of the sides AB and AD. Let K be the intersection of the linesAC and BJ.
The aim of this exercise is to prove that the points D, K, I are collinear.
Part A – First method Consider the coordinate system (A;B, D).
1. Give the coordinates of the points A, B, C,D, I, J.
2. Find equations for the lines AC and BJ.
3. Compute the coordinates of the point K, intersection of lines AC and BJ. 4. Prove that the points D,K and I are collinear.
Part B – Second method 1. What are the lines AC and BJ in triangle ABD? 2. Deduce that the points D, K and I are collinear.
13.10 Dans un repère, on considère quatre pointsA(−4; 1),B(2; 4),C(1; 0),D(−5;−3).
1. Tracer une figure et prouver que ABCD est un parallélogramme.
2. Soit I etJ les milieu respectifs des côtés [BC] et [AD]. Déterminer les coordonnées de ces points et placer les dans le repère.
3. La droite (AD) admet-elle une équation réduite ?
4. Déterminer les équations réduites des droites (AC) et (BD).
5. Déterminer les coordonnées du point K, intersection des droites (AC) et (BD).
6. En utilisant les vecteurs ; prouver que les points I,J etK sont alignés.
7. Prouver à nouveau cette propriété en utilisant l’équation réduite de la droite (IJ).
8. En utilisant les équations réduites, prouver que les droites (AB), (CD), (IK) et (JK) sont parallèles. En déduire une nouvelle preuve de l’alignement des points I, J et K.
13.11 In a plane coordinate system (O;I, J), consider the points A(−2,1), B(4,3), C(5,0) and D(−1,−2). The aim of this exercise is to study the quadrilateral ABCD. A figure will be drawn and completed all along the exercise
1. Check that A and B are on the line of equation y= 13x+53.
2. We admit that the slope of the line CD is 13 and that its intercept is −53. Deduce its slope-intercept equation.
3. Find the slope-intercept equations of the lines AD and BC.
4. Deduce from the previous questions that the opposite sides in quadrilateralABCD are parallel. What does it mean about the quadrilateral itself ?
5. Compute some lengths to find out the nature of ABCD.
13.12 Un transporteur doit véhiculer 960 personnes. Il dispose de bus de 40 places et de bus de 60 places.
1. a. Si le transporteur n’utilise que des bus de 40 places, combien de bus doit-il prévoir ?
b. Si le transporteur n’utilise que des bus de 60 places, combien de bus doit-il prévoir ?
2. Le transporteur utilise x bus de 40 places et y bus de 60 places.
a. Déterminer une équation vérifiée par x ety.
b. Tracer la droite correspondante dans un repère orthonormé d’unité graphique 1 cm.
c. Combien de bus de chaque sorte le transporteur doit-il prévoir ? Indiquer toutes les possibilités.
13.13 Deux sociétés louent une camionette aux conditions suivantes : Forfait journalier Prix du km parcouru
Société A 92 e 0,14 e
Société B 50 e 0,40 e
1. Un client a 300 km à parcourir en trois jours. Quel est le tarif le plus avantageux ? Même question s’il a 600 km à parcourir en trois jours.
2. Soitxle nombre de kilomètres parcourus en trois jours etyle prix payé par le client.
a. On appelle respectivement f(x) et g(x) les prix payés par le client s’il choisit les sociétés A et B. Exprimer f(x) et g(x) en fonction de x.
b. Représenter graphiquement les deux fonctions f et g. (unités : 50 km/euros pour 1 cm sur chaque axe)
3. Soit M le point de d’intersection des deux droites.
a. Déterminer graphiquement les coordonnées du point M. b. Vérifier algébriquement.
c. Interpréter le résultat obtenu.
Homework #9 – Randomness of a table of digits
There are many different tests to check the randomness of a table of digits. In this exercise we will discover two of them and use them to study whether the digits of π can be considered random or not.
Part A – The maximal blocks test
For this test, the digits are grouped in three-digits blocks. A block of three consecutive digits in the table is said to be maximal when the middle digit is strictly greater then the two other digits. For example, blocks 142,486,053 are maximal whereas blocks 426 and 663 aren’t.
1. How many different three-digits blocks are there ?
2. a. If a block is maximal and its tens digit is 6, what are the possible values for the units digit and the hundreds digit.
b. Deduce the number of maximal blocks with the tens digit equal to 6.
3. Use the same method to fill out the table below .
Tens digit 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
# of maximal blocks 36
4. Deduce the probability of occurence of a maximal block in a random table of digits.
Part B – The poker test
One of the best tests to check the randomness of a table of digits is the poker test.
Digits are grouped in five-digits blocks, divided into 7 categories, or hands :
• busts : abcde (exemple : 03251) ;
• pairs : aabcd (exemple : 80919) ;
• two pairs : aabbc (exemple : 08608) ;
• threes : aaabc (exemple : 12151) ;
• full house : aaabb;
• fours : aaaab;
• fives : aaaaa.
The order of the digits inside the block is not considered. For example, the blocks 12345 and 13542 are the same. The table below gives the probability of each type of hand.
Hand abcde aabcd aabbc aaabc aaabb aaaab aaaaa Probability 0.3024 0.5040 0.1080 0.0720 0.0090 0.0045 0.0001 1. How many different five-digits block are there ?
2. In a busts hand, how many possible values are there for a, for b, for c, for d and for e? Deduce the number of possible hands of this kind and check the probability given in the table above.
3. Explain the probability given for the fives.
Part C – The digits ofπ
In this part, we will use the two tests to study the randomness of the digits of πappearing after the decimal point. Here are the first 1005 digits of π. .
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 (1) 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 (2) 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 (3) 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 (4) 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 (5) 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 (6) 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 (7) 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 (8) 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362 440 656 643 086 021 394 946 395 224 737 (9) 190 702 179 860 943 702 770 539 217 176 293 176 752 384 674 818 467 669 405 132 (10) 000 568 127 145 263 560 827 785 771 342 757 789 609 173 637 178 721 468 440 901 (11) 224 953 430 146 549 585 371 050 792 279 689 258 923 542 019 956 112 129 021 960 (12) 864 034 418 159 813 629 774 771 309 960 518 707 211 349 999 998 372 978 049 951 (13) 059 731 732 816 096 318 595 024 459 455 346 908 302 642 522 308 253 344 685 035 (14) 261 931 188 171 010 003 137 838 752 886 587 533 208 381 420 617 177 669 147 303 (15) 598 253 490 428 755 468 731 159 562 863 882 353 787 593 751 957 781 857 780 532 (16) 171 226 806 613 001 927 876 611 195 909 216 420 198 938 095 (17) 1. Apply the maximal blocks test on this table and give clearly the result.
2. Apply the poker test on this table and give clearly the results.
3. Do you think that this table of digits can be considered as random ? 4. Why did we choose to study 1005 digits, and not just 1000 ?
