Rappel sur les angles :
1-Angles adjacents :
Définition :
Les angles 𝐵𝐴𝐶̂ et 𝐷𝐴𝐶̂ sont adjacents.
2-Angles complémentaires et supplémentaires :
Définition :
Remarque : - Si deux angles complémentaires sont adjacents, alors ils forment un angle droit.
- Si deux angles supplémentaires sont adjacents, alors ils forment un angle plat.
I.
La droite sécante à deux droites parallèles
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Deux angles sont adjacents, lorsque : - ils ont un sommet commun ; - ils ont un côté commun ;
- ils sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
Exemple :
Les angles 𝑀𝑂𝑁̂ et 𝑁𝑂𝑃̂ sont complémentaires. Les angles 𝑅𝑈𝑆̂ et 𝑆𝑈𝑇̂ sont supplémentaires.
3-Angles opposés par le sommet
Définition :
Remarque : Deux droites sécantes forment deux paires d'angles opposés par le sommet.
Deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux.
Exemple :
Deux angles sont lorsque :
▪ Ils ont le même sommet
▪ Leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre
Deux droites et une droite sécante :
Quand on a deux droites (d) et (d’) coupées par une droite sécante (D), on a une configuration comme celle-ci :
1) Angles alternes-internes :
Définition :
Propriétés :
I.
II.
Des angles alternes-internes sont situés de part et d'autre de la droite sécante (∆) à l'intérieur de la bande formée par les deux droites (d) et (d’).
Il y en a deux paires ; les angles en verts et ceux en rouges.
- Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante commune, alors les angles alternes-internes formés sont de même mesure.
- Si deux angles alternes-internes, formés par deux droites et une sécante, sont de même mesure alors les deux droites sont parallèles.
Application :
Sur la figure ci-contre,
Montrer que les droites (DE) et (CF) sont parallèles.
Solution :
On a l’angle A 𝐵𝐺̂ est plat donc : 𝐴𝐵𝐶̂ = 180° – 102° = 78°.
Les angles 𝐴𝐵𝐶̂ et 𝐸𝐴𝐵̂ sont alternes- internes et aussi égaux.
« Si deux angles alternes-internes, formés par deux droites et une sécante, sont égaux alors les droites sont parallèles. »
On en déduit que les droites (DE) et (CF) sont parallèles.
2) Angles correspondants :
Définition :
Des angles correspondants sont situés du même côté de la droite sécante et dans la même position par rapport à cette droite sécante.
Deux droites (d) et (d’) et une sécante (∆) déterminent quatre couples d’angles correspondants. (Les angles en rouges, en verts, en jaunes et en noirs.)
Propriétés :
Application :
Trouver la mesure des angles 𝐵𝐴𝐷̂ et 𝐹𝐵𝐺̂
Solution :
On a les droites (DE) et (CF) sont parallèles et les angles 𝐵𝐴𝐷̂ et 𝐺𝐵𝐶̂ sont correspondants.
Donc les angles 𝐵𝐴𝐷̂ et 𝐺𝐵𝐶̂ sont égaux Puisque 𝐺𝐵𝐶̂= 102° alors 𝐵𝐴𝐷̂= 102°
De même manière en montre que les angles 𝐹𝐵𝐺̂ et 𝐸𝐴𝐵̂ sont correspondants et égaux Donc 𝐹𝐵𝐺̂=78° car 𝐸𝐴𝐵̂=78°
- Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante commune, alors les angles correspondants formés sont de même mesure.
- Si deux angles correspondants, formés par deux droites et une sécante, sont de même mesure alors les deux droites sont parallèles.
Propriétés des droites perpendiculaires et parallèles :
Propriété 1
Sur la figure ci- contre, (d1) et (d2) sont perpendiculaires à (d3), on en déduit donc que (d1) et (d2) sont parallèles
Autrement ;
Si (d1) ┴ (d3) et (d2) ┴ (d3) Alors (d1) ǁ (d2)
Propriété 2
Sur la figure ci-contre, (d1) et (d2) sont parallèles et (d3) est perpendiculaire à (d1), on en déduit donc que (d3) est perpendiculaire à (d2).
Autrement ;
Si (d1) ǁ (d2) et (d1) ┴ (d3) Alors (d2) ┴ (d3)
III.
(d1 )
(d3 ) (d2 )
(d1 )
(d3 ) (d2 )
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
Série d’exercices
EXERCICE 1 :
On considère la figure ci-dessous dans laquelle les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
1. L’angle 𝐵𝐴𝐸̂ mesure 25°.
a. Quelle est la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐷 ̂? b. Que peut-on dire des angles 𝐴𝐸𝐷̂ et 𝐴𝐸𝐹̂ ? c. En déduire la mesure de l’angle 𝐴𝐸𝐹̂. 2. L’angle 𝐴𝐵𝐸̂ mesure 87°.
a. Quelle est la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐸 ̂? b. En déduire la mesure de l’angle 𝐹𝐸𝑇̂.
EXERCICE 2 :
Montrer que sur les figures ci-dessous, les droites (d) et (d’) sont parallèles.
b)
a)
