Chapitre : angles
I. Vocabulaire : un angle
L’angle ci contre se note AOB ou xOy O est le sommet de l’angle.
• xOy = 0° angle nul.
• 0° < xOy < 90° angle aigu.
• xOy = 90° angle droit.
• 90° < xOy < 180°. angle obtus.
• xOy = 180 ° angle plat.
• Angle saillant xOy
• Angle rentrant xOy
II. Angles ayant un sommet commun
1. Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et sont situés de part et d'autre d'un côté commun.
Les angles AOB et BOC ont comme sommet commun le point O, comme côté commun la demi-droite [OB) et sont situés de part et d'autre de [OB) : ils sont donc adjacents.
Remarque : dans ce cas AOC = AOB + BOC
2. Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont un sommet en commun et que leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre.
Les angles AOB et DOE ont comme sommet commun le point O et des côtés dans le prolongement l'un de l'autre (A, O, D et B, O, E sont alignés) : ils sont donc opposés par le sommet.
Propriété 1 :
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
III. Sommes particulières
1.Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.
Les angles AOB et BOC forment un angle droit : la somme de leurs mesures vaut 90°.
Ce sont donc des angles complémentaires.
2. Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.
AOB + DEF = 57 + 123 = 180 °
donc les angles AOB et DEF sont supplémentaires .
IV. Deux angles définis par deux droites et une sécante
O xy
O
y
x
O
y x
O x
y
O x
y
O
x
B y A
O x
y
O x
y
A O B
C
O A
B
D
E
O A
C B
O
A 57°
B
123°
D E
F
Vocabulaire :
• Les angles 1 et 2 sont alternes-internes .
Ils sont déterminés par les droites (d), (d') et la sécante (d1).
Ils sont de part et d'autre de la sécante, 'entre' les deux autres droites et de sommets différents.
• Les angles 3 et 4 sont correspondants.
Ils sont déterminés par les droites (d), (d') et la sécante (d2).
Ils sont du même côté de la sécante, l'un est entre les deux autres droites, l'autre non et ils sont de sommets différents.
Exemple : À l'aide de la figure, nomme des angles alternes-internes et correspondants.
y B C
t z
u v
w
Les droites (ut), (vz) et la sécante (yw) forment :
• deux paires d'angles alternes-internes qui sont : ̂uBC et ẑCB ;
̂vCB et ̂tBC
• quatre paires d'angles correspondants qui sont : ̂vCB et ̂uBy
̂uBwet ̂vCw ; ̂yBt et ̂BCz ; t̂BC et ẑCw
V Déterminer la mesure d'un angle
Propriété 10.2 :
Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
Propriété 10.3 :
Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
Exemple : Les droites (vt) et (uy) sont parallèles. Calcule les mesures des angles ̂uBz et ̂yBw .
a) On sait que les angles correspondants ̂BAt et ̂yBw sont déterminés par les droites parallèles.
Or, si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
Donc ils ont la même mesure : ̂yBw = ̂BAt =120°.
b) On sait que les angles alternes-internes ̂BAt et ̂uBz sont déterminés par les droites parallèles.
Or, si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
Donc ils ont la même mesure : ̂uBz = ̂BAt = 120°.
(d)
(d') (d 1) (d2)
1 2
3
4
VI Prouver un parallélisme
Propriété 10.4 :
Si les angles alternes-internes ont la même mesure, alors les droites sont parallèles.
Propriété 10.5 :
Si les angles correspondants ont la même mesure , alors les droites sont parallèles.
Exemple : Les droites (d) et (d') sont elles parallèles ?
figure données propriété conclusion
Les angles alternes- internes (vert ) sont de
même mesure : 64 °
Si les angles alternes- internes ont la même mesure, alors les droites
sont parallèles.
(d) et (d') sont parallèles
Les angles ̂BCF et̂EFH sont correspondants
Si les angles correspondants ont la même mesure , alors les
droites sont parallèles.
(d) et (d') sont parallèles
