Révision des vacances d’hiver Géométrie

(1)

G´ eom´ etrie

R´ evision du cours de BCPST1 ` a destination des BCPST2.

(2)

❚❛❜❧❡ ❞❡s ♠❛t✐èr❡s

✶ ❘❛♣♣❡❧ ❞❡ ❇❈P❙❚✶ ✸

✶✳✶ ●é♦♠étr✐❡ ❞✉ ♣❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✶✳✶ ❘❡♣ér❛❣❡ ❞❛♥s ❧❡ ♣❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸

✶✳✶✳✷ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺

✶✳✶✳✸ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻

✶✳✶✳✹ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽

✶✳✶✳✺ ❉r♦✐t❡ ❞✉ ♣❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✶✳✶✳✻ Pr♦❥❡té ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t s✉r ✉♥❡ ❞r♦✐t❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

✶✳✶✳✼ ❈❡r❝❧❡ ❞✉ ♣❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✶✳✷ ●é♦♠étr✐❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✶✳✷✳✶ ❘❡♣ér❛❣❡ ❞❛♥s ❧✬❡s♣❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✶✳✷✳✷ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼

✶✳✷✳✸ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✶✳✷✳✹ P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾

✶✳✷✳✺ ❉r♦✐t❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵

✶✳✷✳✻ ❙♣❤èr❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷

✷ ❘❛♣♣❡❧ ❞✉ ❝♦❧❧è❣❡ ✦ ✷✸

✶

(3)

P❛rt✐❡ ✶

❘❛♣♣❡❧ ❞❡ ❇❈P❙❚✶

✶✳✶ ●é♦♠étr✐❡ ❞✉ ♣❧❛♥

❉❛♥s t♦✉t ❝❡tt❡ ♣❛rt✐❡✱ ♦♥ ♥♦t❡r❛ P ❧❡ ♣❧❛♥ ❛✣♥❡ ✉s✉❡❧✳

✶✳✶✳✶ ❘❡♣ér❛❣❡ ❞❛♥s ❧❡ ♣❧❛♥

• ❙♦✐❡♥t−→u ❡t−→v ❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs ❞❡R²✳ ❖♥ ❞✐t q✉✬✐❧s s♦♥t ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s ❧♦rsq✉❡

❧✬✉♥ ❞❡s ❞❡✉① ❡st ♥✉❧ ♦✉ ❧♦rsq✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ré❡❧ λt❡❧ q✉❡ −→u =λ−→v✳

• ❯♥ r❡♣èr❡ ❞❡ P ❡st ✉♥ tr✐♣❧❡t (O,−→ i ,−→

j ) ❛✈❡❝ O ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥ ❡t (−→i ,−→j ) ✉♥ ❝♦✉♣❧❡ ❞❡ ✈❡❝t❡✉rs ♥♦♥ ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s ❞❡ R²✳

Définition 1

❙♦✐t (O,−→i ,−→j ) ✉♥ r❡♣èr❡ ❞❡ P✳ ❚♦✉t ✈❡❝t❡✉r −→u ❞❡ R² s✬❡①♣r✐♠❡ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡

✉♥✐q✉❡ ❝♦♠♠❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡−→i ❡t−→j ✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡

❝♦✉♣❧❡ (a, b)∈R² t❡❧ q✉❡ ✿

−

→u =a−→ i +b−→

j .

❈❡s ré❡❧s s♦♥t ❛♣♣❡❧és ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡−→u ❞❛♥s ❧❛ ❜❛s❡(−→i ,−→j )❞❡R²✳ ❖♥ ♥♦t❡

−

→u(a, b)✳ Proposition 2

✸

(4)

❙♦✐t (O,−→i ,−→j ) ✉♥ r❡♣èr❡ ❞❡P✳

• P♦✉r t♦✉t t♦✉t ♣♦✐♥t M❞❡P✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ ❝♦✉♣❧❡ ❞❡ ré❡❧s(x, y) t❡❧

q✉❡ ✿

−−→OM=x−→i +y−→j .

❈❡s ré❡❧s s♦♥t ❛♣♣❡❧és ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡ M❞❛♥s ❧❡ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j ) ❞❡

P✳ ❖♥ ♥♦t❡ M(x, y)✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡ x ❡st ❧✬❛❜s❝✐ss❡ ❡ty❡st ❧✬♦r❞♦♥♥é❡ ❞❡ M✳

• ❙♦✐❡♥t A(xa, ya) ❡t B(xb, yb) ❞❡✉① ♣♦✐♥ts ❞✉ ♣❧❛♥✳ ▲❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡

−→ABs♦♥t ((xb−xa),(yb−ya))✱ ❛✉tr❡♠❡♥t ❞✐t ✿

−→AB= (xb−xa)−→i + (yb−ya)−→j . Proposition 3

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

• ❆✐♥s✐✱ à ❝❤❛q✉❡ ❝♦✉♣❧❡ ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s (α, β)❝♦rr❡s♣♦♥❞ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ ♣♦✐♥t ❡t✱ à ❝❤❛q✉❡ ♣♦✐♥t✱

❝♦rr❡s♣♦♥❞ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ ❝♦✉♣❧❡ ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s✳

• ❈❡❧❛ ♣❡r♠❡t ❞❡ r❡♠♣❧❛❝❡r ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❣é♦♠étr✐q✉❡ ✭❡① ✿ ❝❤❡r❝❤❡r ❧✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❞❡ ❞❡✉①

❞r♦✐t❡s✱ ♣r♦✉✈❡r q✉❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts s♦♥t ❛❧✐❣♥és✮ ♣❛r ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧✳

• ❆ ♣r✐♦r✐✱ ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t ❝❤❛♥❣❡♥t q✉❛♥❞ ♦♥ ❝❤❛♥❣❡ ❞❡ r❡♣èr❡ ✦

❘❡❧❛t✐♦♥ ❞❡ ❈❤❛s❧❡s

❙♦✐❡♥t A✱ B ❡tC tr♦✐s ♣♦✐♥ts ❞✉ ♣❧❛♥✱ ♦♥ ❛ ✿ −→AB=−→AC+−→CB✳ Proposition 4

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❙♦✐❡♥tA✱B✱C❡tDq✉❛tr❡ ♣♦✐♥ts ❞✉ ♣❧❛♥ t❡❧s q✉❡ABCDs♦✐t ✉♥ ❝❛rré✳ ❉❛♥s ❧❡ r❡♣èr❡(A,−→AB,−−→AD)✱

♦♥ ❛ ✿ A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1) ❡t D(0, 1)✳ ❖♥ ❡①♣❧✐q✉❡ ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡ C✱ ♦♥ ❛ ✿

−→AC=−→AB+−→BC♣❛r ❧❛ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡ ❈❤❛s❧❡s

=−→AB+−−→AD❝❛r ABCD ❡st ✉♥ ❝❛rré

=1×−→AB+1×−−→AD

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❖♥ ♠✉♥✐t P ❞✉ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j )✳ ❙♦✐t f ❧✬❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿

f:







P →P

M(x, y)7→M^′

4−3x 5 − 4y

5 , 2+3y−4x 5

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✹

(5)

❊♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❡ r❡♣èr❡ (Ω,−→e1,−→e2) ❛✈❡❝ Ω(1, 3),−→e1(1,−2),−→e2(2, 1)✱ ✐❞❡♥t✐✜❡r f✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❖♥ ♥♦t❡M(x, y) ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥ ❡tM^′(x^′, y^′)❧✬✐♠❛❣❡ ♣❛rf❞❡M✳ ❈❤❡r❝❤♦♥s ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡

M❞❛♥s ❧❡ ♥♦✉✈❡❛✉ r❡♣èr❡ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❝❡❧❧❡s ❞❡ M^′✱ ♦♥ ❧❡s ♥♦t❡r❛ r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t (a, b) ❡t(a^′, b^′)✳

❖♥ ❛ ✿ −−→ΩM=a−→e 1+b−→e2

= (a+2b,−2a+b)

❞✬♦ù M(a+2b+1,−2a+b+3)✳ ❉❡ ♠ê♠❡✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✿ M^′(a^′+2b^′+1,−2a^′+b^′+3)✳ ❆✐♥s✐

x=a+2b+1 ❡t y= −2a+b+3 ❞✬♦ù ✿ a=1+ x−2y

5 ❡t b= 2x+y 5 −1.

❉❡ ♠ê♠❡ a^′=1+x^′−2y^′

5 ❡tb^′ = 2x^′+y^′ 5 −1✳

❖r✱ ♦♥ s❛✐t q✉❡ ✿ x^′=4−3x 5 − 4y

5 et y^′ =2+ 3y−4x

5 ❞✬♦ù ✿ a^′ =1+1

5

4−3x 5 − 4y

5 −4− 6y 5 + 8x

5

=1+x−2y 5

=a

❡t ❞❡ ♠ê♠❡✱ ♦♥ ❝♦♥st❛t❡ ♣❛r ❧❡ ❝❛❧❝✉❧ q✉❡ ✿ b^′ = · · · = −b✳ ❉❛♥s ❧❡ ♥♦✉✈❡❛✉ r❡♣èr❡✱ ❧❡ ♣♦✐♥t

❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s (a, b) ❞❡✈✐❡♥t✱ ♣❛r f✱ ❧❡ ♣♦✐♥t ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s (a,−b)✳ f ❡st ❞♦♥❝ ✉♥❡ s②♠étr✐❡

♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ ✭❝❛r−→e1 ❡t−→e2 s♦♥t ♦rt❤♦❣♦♥❛✉①✱ ♥♦t✐♦♥ q✉❡ ❧✬♦♥ r❡✈❡rr❛ ❞❛♥s ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡ ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡✮

❞✬❛①❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r Ω❡t ❞✐r✐❣é❡ ♣❛r −→e1✳

✶✳✶✳✷ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t

❖♥ ♠✉♥✐t P ❞✬✉♥ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j )✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❞❡ −→u(x, y) ❡t

−

→v(x^′, y^′)✱ ❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs ❞❡ R²✱ ❧❡ ré❡❧ ♥♦té ❞❡t(−→u ,−→v)s✉✐✈❛♥t ✿

❞❡t(−→u ,−→v) =xy^′−yx^′. Définition 5

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

✶✳ ❯t✐❧✐s♦♥s ❧❡s ♣ré❝é❞❡♥t❡s ♥♦t❛t✐♦♥s✳xy^′−yx^′❡st t♦✉t s✐♠♣❧❡♠❡♥t ❧❡ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❞❡ ❧❛ ♠❛tr✐❝❡

x x^′ y y^′

,q✉✐ ❡st ❧❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡s ✈❡❝t❡✉rs−→u ❡t−→v ❞❛♥s ❧❡ r❡♣èr❡(O,−→i ,−→j )✳

✷✳ ❞❡t(−→u ,−→v)❞é♣❡♥❞ ❛ ♣r✐♦r✐ ❞✉ r❡♣èr❡ ✉t✐❧✐sé✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✺

(6)

❉❡✉① ✈❡❝t❡✉rs −→u ❡t −→v ❞❡ R² s♦♥t ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ❞❡t(−→u ,−→v) ❡st

♥✉❧✳

Proposition 6

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ r❡♠❛rq✉❡ ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r q✉❡ ❧❡ ❢❛✐t ❞✬❛✈♦✐r ❞❡t(−→u ,−→v) = 0 ♥❡ ❞é♣❡♥❞ ♣❛s ❞✉ ❝❤♦✐① ❞✉ r❡♣èr❡

(O,−→i ,−→j )✳ ❖♥ ♣❡✉t ❝❤♦✐s✐r ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧ r❡♣èr❡ ♣♦✉r ré✈é❧❡r ❧❛ ❝♦❧✐♥é❛r✐té ❞❡ ❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs✳ ❖♥

♥✬❛ ♣❛s ❜❡s♦✐♥ ♥♦♥ ♣❧✉s ❞✬✉♥ r❡♣èr❡ ❛②❛♥t ❞❡s ♣r♦♣r✐étés s♣é❝✐✜q✉❡s ✭♦rt❤♦♥♦r♠é✳✳✳✮✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ s✐

❞❡t(−→u ,−→v) ♥✬❡st ♣❛s ♥✉❧✱ s❛ ✈❛❧❡✉r ❞é♣❡♥❞ ❞❡ ❧❛ ❜❛s❡ ❝❤♦✐s✐❡✳

✶✳✶✳✸ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡

• ❯♥ ♣♦✐♥t ♣♦♥❞éré ❡st ✉♥ ❝♦✉♣❧❡(A, α)✱ ❛✈❡❝A ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥ ❡tα ✉♥

ré❡❧✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡ α❡st ❧❛ ♠❛ss❡ ❞❡ A✳

• ❯♥ s②stè♠❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ♣♦♥❞érés ❡st ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❞❡ ♣♦✐♥ts ♣♦♥❞érés {(A1, α1),(A2, α2), . . . ,(An, αn)}✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♠❛ss❡ ❞✉ s②stè♠❡ ❧❛ q✉❛♥✲

t✐té α1+α2+. . . αn✳ Définition 7

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

• ❊♥ ♣❤②s✐q✉❡✱ ♦♥ ✈♦✐t ❝❡s ♥♦t✐♦♥s ❞❡ ♣♦✐♥ts ❛✛❡❝tés ❞❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥ts✱ ❝❡❧❛ ♣❡✉t êtr❡ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡

❡♥ ♠é❝❛♥✐q✉❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts ❡t ❧❡✉r ♠❛ss❡✱ ❡♥ é❧❡❝tr♦st❛t✐q✉❡ ❞❡s ♣❛rt✐❝✉❧❡s ❡t ❧❡✉r ❝❤❛r❣❡✳

• ❊♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té✱ ♦♥ ♣❡✉t ✐♥tr♦❞✉✐r❡ ❝❡tt❡ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ♣♦✐♥t ♣♦♥❞éré ❡♥ ♣r❡♥❛♥t ♣♦✉r ♣♦✐♥t ❧❡s

✈❛❧❡✉rs ♣r✐s❡s ♣❛r ✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ❡t ♣♦✉r ♠❛ss❡ ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té q✉❡ ❝❡tt❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡

♣r❡♥♥❡ ❝❡tt❡ ✈❛❧❡✉r✳

• ▲❛ ♠❛ss❡ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t ♣❡✉t êtr❡ ♥✉❧❧❡✱ ❡❧❧❡ ♣❡✉t êtr❡ ❛✉ss✐ ♥é❣❛t✐✈❡✳

❙♦✐❡♥t (A1, α1),(A2, α2),· · · ,(An, αn)✱n♣♦✐♥ts ♣♦♥❞érés ❞✉ ♣❧❛♥ t❡❧s q✉❡α1+ α2+· · ·+αn s♦✐t ♥♦♥ ♥✉❧✳

• ■❧ ❡①✐st❡ ❛❧♦rs ✉♥ ✉♥✐q✉❡ ♣♦✐♥t G✱ ❛♣♣❡❧é ❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞✉ s②stè♠❡

{(A1, α1),(A2, α2), . . . ,(An, αn)}✱ t❡❧ q✉❡ ✿

α1−−→GA1+α2−−→GA2+· · ·+αn−−−→GAn =−→0 .

❖♥ ♥♦t❡ ❛❧♦rs G=❇❛r {(A₁, α1),(A₂, α2), . . . ,(A_n, αn)}✳ Proposition 8

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✻

(7)

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳

• ❖♥ q✉❛❧✐✜❡ G ❞✬✐s♦❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞✉ s②stè♠❡ {(A1, α1),(A2, α2), . . . ,(An, αn)} ❧♦rsq✉❡ α1 = α2 =· · ·=αn✳

• ■❧ ❡st ❛ss❡③ ❝❧❛ss✐q✉❡ ❞❡ s✉♣♣♦s❡r q✉❡ ❧❛ s♦♠♠❡

Xn

k=1

αk ❢❛✐t1✱ ✐✳❡✳ q✉❡ ❧❛ ♠❛ss❡ ❞✉ s②stè♠❡ ❡st 1✳

• ▲❡ ♠✐❧✐❡✉ ❞✬✉♥ s❡❣♠❡♥t ❡st ❧✬✐s♦❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞❡ s❡s ❞❡✉① ❡①tré♠✐tés✳

• ▲❡ ❝❡♥tr❡ ❞❡ ❣r❛✈✐té ❞✬✉♥ tr✐❛♥❣❧❡ ❡st ❧✬✐s♦❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞❡ s❡s tr♦✐s ♣♦✐♥ts✳

• ▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts A ❡tB✱ s✬✐❧s ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❝♦♥❢♦♥❞✉s✱ ❡st ❧❛ ❞r♦✐t❡ (AB)✳

• ▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞❡s ♣♦✐♥tsA ❡tB❛✛❡❝tés r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t ❞❡s ♠❛ss❡s λ❡t1−λ ♦ù λ ❞é❝r✐t [0, 1]❡st ❧❡ s❡❣♠❡♥t [AB]✳

• ❙✐ ♦♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❡ t♦✉t❡s ❧❡s ♠❛ss❡s ❞✬✉♥ s②stè♠❡ ♣❛r ✉♥❡ ♠ê♠❡ ❝♦♥st❛♥t❡ ♥♦♥ ♥✉❧❧❡✱ ♦♥ ♥❡ ❝❤❛♥❣❡

♣❛s ❧❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡✳

❙♦✐❡♥t (A1, α1),(A2, α2),· · · ,(An, αn)✱ n ♣♦✐♥ts ♣♦♥❞érés ❞✉ ♣❧❛♥ t❡❧s q✉❡ ❧❛

♠❛ss❡ ❞✉ s②stè♠❡ {(A₁, α1),(A₂, α2),· · · ,(A_n, αn)} s♦✐t ♥♦♥ ♥✉❧❧❡✳ ◆♦t♦♥s G

❧❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞✉ s②stè♠❡ {(A₁, α1),(A₂, α2),· · · ,(A_n, αn)}✳ P♦✉r t♦✉t ♣♦✐♥tM

❞✉ ♣❧❛♥✱ ♦♥ ❛ ✿

−−→MG = α1−−−→MA1+α2−−−→MA2+· · ·+αn−−−→MAn

α1+α2+· · ·+αn

. Proposition 9

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ❡♥ r❡♠♣❧❛ç❛♥tM ♣❛rO ❞❛♥s ❧❛

r❡❧❛t✐♦♥ ♣ré❝é❞❡♥t❡✱ ♦♥ ❛ ✿

−−→OG= α1−−→

OA1 +· · ·+αn−−−→

OAn

α1 +· · ·+αn

.

❊♥ ♥♦t❛♥t✱ ♣♦✉r t♦✉ti ❞❡J1, nK✱ (xi, yi) ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡ Ai✱ ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s (gx, gy) ❞❡ Gs♦♥t

❞♦♥❝ ✿

gx = α1x1+· · ·+αnxn

α1+· · ·+αn ❡t gy= α1y1 +· · ·+αnyn

α1+· · ·+αn

❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞✉ ♠✐❧✐❡✉ I ❞❡ [A1A2] s♦♥t

x1 +x2

2 ,y1+y2

2

✱ ❛✉tr❡♠❡♥t ❞✐t ✿

−→

OI= x1+x2

2

−

→i +y1+y2

2

−

→j✳

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❙♦✐❡♥t A(10, 2)✱B(3, 0) ❡tC(0, 8)✳ ▲❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞✉ ❜❛r②❝❡♥tr❡G ❞✉ s②stè♠❡

{(A,−2),(B, 2),(C, 1)}s♦♥t

−2×10+2×3+1×0

−2+2+1 ,−2×2+2×0+1×8

−2+2+1

✱ ✐✳❡✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✼

(8)

(−14, 4)✳ ▲❡✉r ✐s♦❜❛r②❝❡♥tr❡ ❛ ♣♦✉r ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s

10+3+0

1+1+1 ,2+0+8 1+1+1

✱ ✐✳❡✳

13 3 ,10

3

✳

❙♦✐❡♥t(A, α)✱(B, β)❡t(C, γ)tr♦✐s ♣♦✐♥ts ❞✉ ♣❧❛♥ ♣♦♥❞érés ❛✈❡❝ ❞❡s ♠❛ss❡s t♦✉s

♥♦♥ ♥✉❧s t❡❧s q✉❡ α+β6=0✳ ❖♥ ❛ ✿

❇❛r {(A, α),(B, β),(C, γ)}=❇❛r {(❇❛r {(A, α),(B, β)}, α+β),(C, γ)}.

❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❛ss♦❝✐❛t✐✈✐té ❞✉ ❜❛r②❝❡♥tr❡ ❝❡tt❡ ♣r♦♣r✐été✳

Proposition 10

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

▲❡ ♠ê♠❡ rés✉❧t❛t ❡①✐st❡ ❛✉ss✐ ♣♦✉r n ♣♦✐♥ts ✿ ❞❛♥s ✉♥ ❝❛❧❝✉❧ ❞❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡✱ ♦♥ ♣❡✉t r❡♠♣❧❛❝❡r

✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ♣♦✐♥ts ♣♦♥❞érés ♣❛r ❧❡✉r ❜❛r②❝❡♥tr❡ ♣♦♥❞éré ♣❛r ❧❛ s♦♠♠❡ ❞❡s ♠❛ss❡s s✐ ❧❛ s♦♠♠❡

♣❛rt✐❡❧❧❡ ❞❡s ♠❛ss❡s ❡st ♥♦♥ ♥✉❧❧❡✳

✶✳✶✳✹ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡

❉❛♥s ❧❛ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡

❙♦✐❡♥t −→u ❡t −→v ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡R²✱ ❧❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❞❡ −→u ❡t−→v ❡st ❧❡ ré❡❧✱

♥♦té −→u · −→v ♦✉ −→u|−→v

♦✉ −→u ,−→v

✱ ❞é✜♥✐ ♣❛r

−

→u · −→v =x1×y1+x2×y2

s✐−→u = (x₁, x2)❡t−→v = (y₁, y2)✱ ❛✉tr❡♠❡♥t ❞✐t s✐ −→u ❛ ♣♦✉r ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s(x₁, x2)

❞❛♥s ❧❛ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ R² ❡t −→v ❛ ♣♦✉r ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s (y₁, y2) ❞❛♥s ❧❛ ❜❛s❡

❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ R²✳ Définition 11

❙♦✐❡♥t λ ❡tµ ❞❡✉① ré❡❧s✱−→u✱ −→v✱ ❡t −→w tr♦✐s ✈❡❝t❡✉rs ❞❡ R²✳ ❖♥ ❛ ✿

• −→u·(λ−→v +µ−→w) =λ(−→u · −→v) +µ(−→u· −→w)❡t(λ−→u+µ−→v)· −→w ❡stλ(−→u· −→w) + µ(−→v ·−→w)✭♦♥ ❞✐t q✉❡ ❧❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❡st ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥ s❡s ❞❡✉① ✈❛r✐❛❜❧❡s✮✳

• −→u · −→v =−→v · −→u ✭♦♥ ❞✐t q✉❡ ❧❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❡st s②♠étr✐q✉❡✮✳

• −→u · −→u > 0 ❡t

u· −→u =0⇔ −→u =−→ 0

✭♦♥ ❞✐t q✉❡ ❧❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡

❡st ✉♥❡ ❢♦r♠❡ ❞é✜♥✐❡ ♣♦s✐t✐✈❡✮✳

Proposition 12

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✽

(9)

❙♦✐t −→u ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡R²✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♥♦r♠❡ ✭❡✉❝❧✐❞✐❡♥♥❡✮ ❞❡−→u ❡t ♦♥ ♥♦t❡ ||−→u||

❧❡ ré❡❧ s✉✐✈❛♥t ✿

||−→u||=p

−

→u · −→u .

❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r s✐ −→u = (x₁, x2) ❛❧♦rs ||−→u||❡st p

x²₁+x²₂✳ Définition 13

❙♦✐❡♥t −→u ❡t−→v ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡ R² ❡tλ ✉♥ ré❡❧✳ ❖♥ ❛ ✿

• ||λ−→u||=|λ|×||−→u||✳

• |−→u .−→v|6||−→u||×||−→v||✳ ✭■♥é❣❛❧✐té ❞❡ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③✮

• ❉❡ ♣❧✉s✱ s✐ −→u ❡t −→v s♦♥t ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ❛❧♦rs ❧✬é❣❛❧✐té✱ ♦♥ ❛ ✿

|−→u .−→v|=||−→u||×||−→v||✳

• ||−→u +−→v||6||−→u||+||−→v|| ✭■♥é❣❛❧✐té tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡✮

• ❉❡ ♣❧✉s✱ s✐−→u ❡t−→v s♦♥t ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s ❡t ❞❡ ♠ê♠❡ s❡♥s ❛❧♦rs ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ❛❧♦rs

❧✬é❣❛❧✐té✱ ♦♥ ❛ ✿ ||−→u +−→v||=||−→u||+||−→v||✳

• ||−→u +−→v||² =||−→u||²+||−→v||²+2 −→u · −→v✳ ✭■❞❡♥t✐té r❡♠❛rq✉❛❜❧❡✮

• ||−→u +−→v||² +||−→u −−→v||² = 2||−→u||² +2||−→v||²✳ ✭■❞❡♥t✐té ❞✉ ♣❛r❛❧❧é❧♦✲

❣r❛♠♠❡✮

Proposition 14

❉❛♥s ❞❡s ❜❛s❡s ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡s

❙♦✐❡♥t −→u ❡t −→v ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡R²✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡−→u ❡t−→v s♦♥t ♦rt❤♦❣♦♥❛✉①✱ ❡t ♦♥ ♥♦t❡−→u ⊥ −→v✱ s✐ ♦♥ ❛−→u·−→v = 0✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ −→u ❡st ♥♦r♠é ♦✉ ✉♥✐t❛✐r❡ s✐ ||−→u||=1✳ Définition 15

❚❤é♦rè♠❡ ❞❡ P②t❤❛❣♦r❡

❙♦✐❡♥t −→u ❡t−→v ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡ R²✳ ❖♥ ❛ ❧✬éq✉✐✈❛❧❡♥❝❡ s✉✐✈❛♥t❡ ✿

−

→u ⊥ −→v s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ||−→u +−→v||² =||−→u||² +||−→v||². Proposition 16

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳ ❙✐ −→u ❡t −→v s♦♥t ♦rt❤♦❣♦♥❛✉① ❡t ♥♦♥ ♥✉❧s✱

♦♥ ♣r♦✉✈❡ ❛✐sé♠❡♥t q✉✬✐❧s ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s✳ ❆✐♥s✐✱ ♣♦✉r t♦✉t ♣♦✐♥tO ❞✉ ♣❧❛♥P✱(O,−→u ,−→v) ❡st

❛❧♦rs ✉♥ r❡♣èr❡ ❞❡ P✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✾

(10)

❙♦✐❡♥t −→u ❡t −→v ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡R² ♥♦♥ ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (−→u ,−→v) ❡st ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ ❞❡R² s✐−→u ❡t−→v s♦♥t ♦rt❤♦✲

❣♦♥❛✉①✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (−→u ,−→v) ❡st ✉♥❡ ❜❛s❡ ♥♦r♠é❡ ❞❡R² s✐−→u ❡t−→v s♦♥t ♥♦r♠és✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (−→u ,−→v) ❡st ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡ ❞❡ R² s✐ (−→u ,−→v) ❡st ✉♥❡

❜❛s❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ ❡t ♥♦r♠é❡✳

Définition 17

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❊♥ r❛❥♦✉t❛♥t✱ ✉♥ ♣♦✐♥t✱ ♦♥ ❝ré❡ ❞❡s r❡♣èr❡s✳ ❙✐ O ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥ P✱ ♦♥ ❞✐r❛ q✉❡ (O,−→i ,−→j )

❡st ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✭r❡s♣✳ ♥♦r♠é✱ r❡s♣✳ ♦rt❤♦♥♦r♠é✮ s✐ (−→i ,−→j ) ❡st ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ ✭r❡s♣✳

♥♦r♠é❡✱ r❡s♣✳ ♦rt❤♦♥♦r♠é❡✮ ❞❡ R²✳

• ❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡ (−→i ,−→j ) ❞❡ R²✳ ❙♦✐❡♥t −→u ❡t −→v

❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs ❞❡R² ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡s (x₁, x2) ❡t(y₁, y2)✳ ❖♥ ❛

❛❧♦rs ✿

−

→u · −→v =x1×y1+x2×y2

❡t ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ✿

||−→u||= q

x²₁ +x²₂.

• ❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧(O,−→ i ,−→

j )❞❡P✳ ❙♦✐❡♥tA✱ B✱ C❡t Dq✉❛tr❡ ♣♦✐♥ts ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡s (xa, ya)✱ (xb, yb)✱(xc, yc) ❡t (x_d, yd)✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs ✿

−→AB·−→CD= (x_b−xa)×(x_d−xc) + (y_b−ya)×(y_d−yc)

❡t ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ✿

||−→AB||=p

(xb−xa)²+ (yb−ya)². Proposition 18

☞ ▼✐s❡ ❡♥ ❣❛r❞❡ ✿

❉❛♥s ❧❡s ❢♦r♠✉❧❡s ♣ré❝é❞❡♥t❡s✱ ✐❧ ❡st ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ q✉❡ ❧❛ ❜❛s❡ ✉t✐❧✐sé❡ s♦✐t ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡✳

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ ❧❛ q✉❛♥t✐té x1 ×y1 +x2 ×y2 ❡♥ r❡♣r❡♥❛♥t ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ♣ré❝é❞❡♥t❡s ♥❡ ❞é♣❡♥❞

♣❛s ❞✉ ❝❤♦✐① ❞✉ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧(O,−→ i ,−→

j ) ❝❤♦✐s✐✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✵

(11)

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❖♥ ♠✉♥✐tP ❞✬✉♥ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j ) ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✱ s♦✐❡♥t ❧❡s ♣♦✐♥ts A(14, 5)✱B(−8,−6) ❡tC(16, 1)✳

✶✳ −→AB ❡t−→AC s♦♥t ♦rt❤♦❣♦♥❛✉① ❝❛r −→AB·−→AC=0✳

✷✳ −→AB ❡t−→BC ♥❡ s♦♥t ♣❛s ♦rt❤♦❣♦♥❛✉① ❝❛r−→AB·−→BC=605 ❡t ❞♦♥❝−→AB·−→BC6=0✳

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❙♦✐❡♥t A(1,−1) ❡t B(4, 7) ❞❛♥s ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦♥♦r♠é❡✱ é✈❛❧✉❡rd(A, B)✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❖♥ ❛♣♣❧✐q✉❡ ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❞❡ ❧❛ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ✭♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛r ♦♥ ✉t✐❧✐s❡ ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦♥♦r♠é❡✮ ✿ d(A, B) =p

(4−1)² + (7+1)²

=√ 73.

✶✳✶✳✺ ❉r♦✐t❡ ❞✉ ♣❧❛♥

❙♦✐t A ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ P❡t −→u ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦♥ ♥✉❧ ❞❡ R²✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❞r♦✐t❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r A ❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r −→u ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

❞❡s ♣♦✐♥ts M ❞❡P t❡❧ q✉❡ −−→AMs♦✐t ❝♦❧✐♥é❛✐r❡ à −→u✱ ❝✬❡st ❞♦♥❝ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

s✉✐✈❛♥t ✿

M∈P t❡❧s q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ré❡❧ t t❡❧ q✉❡ −−→AM=t−→u .

• −→n✱ ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ R²✱ ❡st ❞✐t ♥♦r♠❛❧ à ❧❛ ❞r♦✐t❡ D❞♦♥t −→u ❡st ✉♥ ✈❡❝t❡✉r

❞✐r❡❝t❡✉r s✐ −→n ⊥ −→u✳

• ❙✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ré❡❧ m t❡❧ q✉❡ (1, m) s♦✐t ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡

∆❛❧♦rs ❝❡ ♥♦♠❜r❡m ❡st ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞✐r❡❝t❡✉r ✭♦✉ ♣❡♥t❡✮ ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡∆✳

❙✐♥♦♥✱ ♦♥ ❞✐t q✉❡ ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞✐r❡❝t❡✉r ❞❡ ∆ ❡st+∞✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡D❡st ❞✬éq✉❛t✐♦♥ax+by+c=0♦ùa❡tbs♦♥t ❞❡✉① ré❡❧s t❡❧s q✉❡(a, b)6= (0, 0)❡tc❡st ✉♥ ré❡❧ s✐✱ ♣♦✉r t♦✉t ♣♦✐♥t M(x, y) ❞✉ ♣❧❛♥✱ ♦♥

❛ ✿

M(x, y)∈D⇔ax+by+c=0.

Définition 19

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

• ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ ♣❛r ❞❡✉① ♣♦✐♥ts ❞✐st✐♥❝ts A ❡t B ❞✉ ♣❧❛♥ ♣❛ss❡ ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ ❞r♦✐t❡ ✿ ❝✬❡st

❝❡❧❧❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r A❡t ❞✐r✐❣é ♣❛r ❧❡ ✈❡❝t❡✉r −→AB✳ ❖♥ ❧❛ ♥♦t❡ (AB)✳

• ■❧ ♥✬② ❛ ❜✐❡♥ é✈✐❞❡♠❡♥t ♣❛s ✉♥✐❝✐té ❞✉ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r✱ ❡♥ ❡✛❡t✱ ♦♥ ♣❡✉t r❡♠♣❧❛❝❡r −→u ♣❛r

♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧ ✈❡❝t❡✉r ❝♦❧✐♥é❛✐r❡ ♥♦♥ ♥✉❧✳ ■❧ ♥✬② ❛ ♣❛s ✉♥✐❝✐té ♥♦♥ ♣❧✉s ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rté✲

s✐❡♥♥❡✳ ♣✉✐sq✉❡✱ s✐ λ❡st ✉♥ ré❡❧ ♥♦♥ ♥✉❧✱ ♦♥ ❛ ✿ ax+by+c=0⇔λ(ax+by+c) =0✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✶

(12)

• ❚♦✉t❡ ❞r♦✐t❡ ❛❞♠❡t ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ax+by+c=0♦ùa❡tbs♦♥t ❞❡✉① ré❡❧s t❡❧s q✉❡ (a, b)6= (0, 0) ❡t c❡st ✉♥ ré❡❧✳

• ❘é❝✐♣r♦q✉❡♠❡♥t✱ {M(x, y)∈P t❡❧s q✉❡ ax+by+c=0}❛✈❡❝ c ✉♥ ré❡❧ ❡t a ❡t b❞❡✉① ré❡❧s t❡❧s q✉❡ (a, b) 6= (0, 0) ❡st ✉♥❡ ❞r♦✐t❡ ❞✉ ♣❧❛♥✳ ❙✐b6=0✱ s❛ ♣❡♥t❡ ❡st −a

b✳ ❙✐b=0✱ s❛ ♣❡♥t❡

❡st +∞✳

☞ ▼✐s❡ ❡♥ ❣❛r❞❡ ✿

❉❛♥s ❧✬❡s♣❛❝❡✱ {M(x, y, z)∈E t❡❧s q✉❡ ax+by+c=0}♥✬❡st ♣❛s ✉♥❡ ❞r♦✐t❡ ♠❛✐s ✉♥ ♣❧❛♥✳

❖♥ ♠✉♥✐t P ❞✬✉♥ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j )✳ ❙♦✐❡♥t a ❡t b ❞❡✉① ré❡❧s t❡❧s q✉❡ (a, b) 6= (0, 0)✱ M0(x0, y0) ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥ ❡t ❧❡ ✈❡❝t❡✉r −→u(a, b)

• ❯♥❡ ❞r♦✐t❡D❞✐r✐❣é❡ ♣❛r−→u ❡t ♣❛ss❛♥t ♣❛rM0 ❛ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡

❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿ ❞❡t

x−x0 a y−y0 b

=0✳

• ❙✐A❡tBs♦♥t ❞❡✉① ♣♦✐♥ts ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡s(xA, yA)❡t(xB, yB)

❡txA 6=xB ❛❧♦rs ❧❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞✐r❡❝t❡✉r ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡(AB) ❡st yA−yB

xA−xB ❡t (AB) ❛ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿

y= yA−yB

xA−xB ×(x−xA) +yA.

• ❙✐(O,−→i ,−→j ) ❡st ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❛❧♦rs ✉♥❡ ❞r♦✐t❡ D ❞♦♥t−→u ❡st

✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ ❡t ♣❛ss❛♥t ♣❛r M0 ❛ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛

❢♦r♠❡ ✿

ax+by=ax0+by0. Proposition 20

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳ ❙♦✐❡♥t c ✉♥ ré❡❧✱ a ❡t b ❞❡✉① ré❡❧s t❡❧s q✉❡

(a, b)6= (0, 0)❡tD❧✬❡♥s❡♠❜❧❡{M(x, y)∈P t❡❧s q✉❡ ax+by+c=0}✳D ❡st ✉♥❡ ❞r♦✐t❡✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t

❢❛❝✐❧❡♠❡♥t ✉♥ ♣♦✐♥t ♣❛r ❧❡q✉❡❧ ❡❧❧❡ ♣❛ss❡ ✭P❛r ❡①❡♠♣❧❡✱ M0

0,−c

b

s✐b6=0 ♦✉ ❜✐❡♥M1

−c a, 0

s✐

a 6=0✮✳ ❊❧❧❡ ❡st ❞✐r✐❣é❡ ♣❛r −→u(−b, a)✳ ❙✐ (O,−→i ,−→j ) ❡st ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❛❧♦rs −→n(a, b) ❡st

✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ à D✳

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❖♥ ♠✉♥✐tP ❞✬✉♥ r❡♣èr❡(O,−→i ,−→j ) ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✳ ❉♦♥♥❡r ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡D₁

♣❛ss❛♥t ♣❛r A(1❀5) ❡t ❞✐r✐❣é❡ ♣❛r −→u(2❀3)✱ ❧❛ ❞r♦✐t❡ D₂ ♣❛ss❛♥t ♣❛r B(5❀11) ❡t A(1❀5)✱ ❧❛ ❞r♦✐t❡

D₃ ♣❛ss❛♥t ♣❛r C(3❀8) t❡❧❧❡ q✉❡ −→n(−3❀2) s♦✐t ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ à D₃ ❡t ❡♥✜♥ ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡ D₄

♣❛ss❛♥t ♣❛r D(5❀7) ❡t ♣❡r♣❡♥❞✐❝✉❧❛✐r❡ à ❧❛ ❞r♦✐t❡ ∆ ❞✬éq✉❛t✐♦♥ 2x+3y+7=0✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✷

(13)

D₁ ❛ ♣♦✉r éq✉❛t✐♦♥ −3x+2y+c =0 ✭❝❛r ✭2, 3) ❧❛ ❞✐r✐❣❡✮ ❛✈❡❝ c à ❞ét❡r♠✐♥❡r✳ ❖r A(1, 5) ∈D₁

❞♦♥❝−3×1+2×5+c=0❞✬♦ùc= −7❛✐♥s✐ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡D₁ ❡st−3x+2y−7=0✳

D₂ ❡st ❞✐r✐❣é❡ ♣❛r −→AB(4, 6) q✉✐ ❡st ❝♦❧✐♥é❛✐r❡ à −→u✳ D₂ ❡st ❞♦♥❝ ❞✐r✐❣é❡ ♣❛r −→u✳ ❖r A∈ D₂ ❞♦♥❝

D₂ ❡stD₁✳ ❈♦♠♠❡ ♦♥ ✉t✐❧✐s❡ ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✱ ♦♥ ❛ ✿ M(x, y)∈D₃ ⇔−−→CM· −→n =0

⇔(x−3, y−8)·(−3, 2) =0

⇔−3x+9+2y−16=0

⇔−3x+2y−7=0

❚✐❡♥s D₃ ❡st ❛✉ss✐ D₁✦ ❉✬❛♣rès ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ∆✱ ♦♥ ♣❡✉t ❛✣r♠❡r q✉❡ −→w(2❀3) ❡st ✉♥

✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ ❞❡ ∆✳ D₄ ❡st ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ à ∆ ❞♦♥❝ −→w ❞✐r✐❣❡ D₄ ❞♦♥❝ ✐❧ ❡①✐st❡ c✱ ✉♥ ré❡❧✱ t❡❧ q✉❡

−3x+2y+c=0s♦✐t ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ D₄✳ ❖r D(5❀7)∈D₄ ❞♦♥❝ c=1✳

❖♥ ♠✉♥✐t P ❞✬✉♥ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j)✳ ❙♦✐❡♥t M0(x₀, y0) ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥ P✱

−

→u(a, b) ❛✈❡❝a❡t b❞❡✉① ré❡❧s t❡❧s q✉❡(a, b)6= (0, 0)❡t ∆❧❛ ❞r♦✐t❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r M0 ❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r−→u✳

P♦✉r t♦✉t ♣♦✐♥tM(x, y) ❞✉ ♣❧❛♥✱ ♦♥ ❛ ✿

M(x, y)∈∆⇔ ∃t∈R t❡❧ q✉❡ −−−→M0M=t−→u

⇔ ∃t∈R t❡❧ q✉❡

x = x0+t×a y = y0 +t×b

❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❝❡ s②stè♠❡ ✉♥❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠étr✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡ ∆✳ Proposition 21

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❖♥ ♠✉♥✐t P❞✬✉♥ r❡♣èr❡ (O,−→ i ,−→

j ) ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✳ ❚r♦✉✈❡r ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ♣❛r❛♠étr✐q✉❡s ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡

D ♣❛ss❛♥t ♣❛r A(5,−7) ❡t t❡❧ q✉❡ −→n(7, 8) s♦✐t ♥♦r♠❛❧ à D✳

−

→n(7, 8) ❡st ♥♦r♠❛❧ à D ❞♦♥❝ −→u(−8, 7) ❞✐r✐❣❡ D ✭❝❛r ♦♥ ❛ ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✮✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ♦♥

s❛✐t q✉❡A(5,−7)❡st ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ D✱ ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ♣❛r❛♠étr✐q✉❡s ❞❡ D s♦♥t ❞♦♥❝ ✿ x =5−8λ ❡t y= −7+7λ✳

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❖♥ ♣r❡♥❞ ❞❡✉① ❝❛rrés OABC ❡t ORQP ❛✈❡❝ C ∈ [OP] ♠❛✐s ❞✐st✐♥❝t ❞❡ O ❡t ❞❡ P ✭☞ ✜❣✉r❡

❝✐✲❞❡ss♦✉s✮✳ ❙♦✐t M ❧✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❞❡ (AP) ❡t ❞❡ (BQ)✳ ▼♦♥tr❡r q✉❡ ❧❡s ♣♦✐♥ts M, C ❡t R s♦♥t

❛❧✐❣♥és✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❖♥ ❝♦♠♠❡♥❝❡ ♣❛r ✉♥ ❞❡ss✐♥ ✿

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✸

(14)

❖♥ s❡ ♣❧❛❝❡ ❞❛♥s ❧❡ r❡♣èr❡ (O,−−→OA,−→OC)✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1)✱ M(x_M, yM) P(0, α)✱ Q(α, α)✱ R(α, 0) ✭❡♥ ♥♦t❛♥t α ❧❡ r❛♣♣♦rt ❡♥tr❡ ❧❡ ❝ôté ❞✉ ❝❛rré OPQR ❡t ❝❡❧✉✐ ❞✉ ❝❛rré OABC✮✳ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♠ét❤♦❞❡s ♣♦✉r tr♦✉✈❡r ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞❡s ❞r♦✐t❡s✱ ♦♥ tr♦✉✈❡ s❛♥s ❞✐✣❝✉❧té ✿

(AP) :αx+y−α=0, (BQ) : −x+y=0 ❡t (CR) :x+αy−α=0

M ❡st s✉r (AP) ❡t s✉r (BQ) ❞♦♥❝ −xM +yM = 0 ❡t αxM +yM −α = 0✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t q✉❡

M α

1+α, α 1+α

✭P♦ss✐❜❧❡ ❝❛r α6= −1 ❝❛r C ♥✬❡st ♣❛s P✮✳ M, C❡tR s♦♥t ❞♦♥❝ ❜✐❡♥ ❛❧✐❣♥és ❝❛r M❛♣♣❛rt✐❡♥t ❞♦♥❝ à (CR) ❝❛r ✿

xM+αyM−α= α

1+α +α α

1+α −α

=0

✶✳✶✳✻ Pr♦❥❡té ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t s✉r ✉♥❡ ❞r♦✐t❡

❙♦✐❡♥t A ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ P ❡t −→u ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ R²✳ ❆♣♣❡❧♦♥s (D) ✉♥❡ ❞r♦✐t❡ ❞❡

✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r −→u✳ ▲❡ ♣r♦❥❡té ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞❡ As✉r(D)❡st ❧❡ ♣♦✐♥t H❞❡D t❡❧

q✉❡ −→AH⊥ −→u✳ Définition 22

✎✮ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿

❙✉r ❧❡ ❞❡ss✐♥ s✉✐✈❛♥t✱ ♦♥ ✈♦✐t ❧❡s ♣♦✐♥ts ❞♦♥t ♦♥ ✈✐❡♥t ❞❡ ♣❛r❧❡r ✿

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✹

(15)

❊♥ ❇❈P❙❚✷ s❡r❛ ❛❜♦r❞é❡ ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❞✬✉♥ ♣♦✐♥t à ✉♥❡ ❞r♦✐t❡✳ ❖♥ ✈❛ ❜✐❡♥ sûr s❡ s❡r✈✐r ❞❡

❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡✱ ❧❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❞❡ A à (D) ✭❝❢✳ ❞❡ss✐♥ ♣ré❝é❞❡♥t✮ ❡st ||−→AH||✳ ❙✉r ❧❡

❞❡ss✐♥ ♣ré❝é❞❡♥t✱ ♦♥ ❝♦♠♣r❡♥❞ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t ❧❛ ♣r♦❝❤❛✐♥❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✿

❙♦✐❡♥t A ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ P❡t −→u ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦♥ ♥✉❧ ❞❡R²✳ ❆♣♣❡❧♦♥s (D) ❧❛ ❞r♦✐t❡

♣❛ss❛♥t ♣❛r M ❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r −→u✳ ▲❡ ♣r♦❥❡té ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞❡ A s✉r (D)

❡st ❧❡ ♣♦✐♥t H t❡❧ q✉❡ ✿

−−→MH=

−−→MA· −→u

||−→u||²

!

−

→u . Proposition 23

❙♦✐❡♥t A ❡tB ❞❡✉① ♣♦✐♥ts ❞❡P✱ −→u✱ −→v ❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs ♥♦♥ ♥✉❧s ❞❡ R²✳ ❆♣♣❡❧♦♥s (D)❧❛ ❞r♦✐t❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r A❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r−→u ❡tC ✉♥ ❛✉tr❡ ♣♦✐♥t ❞❡D✳

• ❖♥ ❛ ✿−→u · −→v =k−→ukk−→vk❝♦s

−\

→u ,−→v

✳

• ❊♥ ♥♦t❛♥tN ❧❡ ♣r♦❥❡té ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ❞❡ Bs✉r (D)✱ ♦♥ ❛ ✿

−→AC·−→AB=±AC×AN.

❡♥ ❝♦♠♣t❛♥t+ s✐ ❧❡s ♣♦✐♥ts C❡t N s♦♥t ❞✉ ♠ê♠❡ ❝ôté ❞❡ A✱− s✐♥♦♥✳

Proposition 24

✎✮ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ✿

❙✉r ❧❡ ❞❡ss✐♥ s✉✐✈❛♥t✱ ♦♥ ✈♦✐t ❧❡s ♣♦✐♥ts ❞♦♥t ♦♥ ✈✐❡♥t ❞❡ ♣❛r❧❡r ✿

■❝✐✱ −→AC·−→AB ✈❛✉t−AC×AN ❝❛r C ❡tN ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❞✉ ♠ê♠❡ ❝ôté ❞❡ A✳

✶✳✶✳✼ ❈❡r❝❧❡ ❞✉ ♣❧❛♥

❙♦✐❡♥t A ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥ ❡t r✉♥ ré❡❧ ♣♦s✐t✐❢✳ ▲❡ ❝❡r❝❧❡ ❞❡ ❝❡♥tr❡A ❡t ❞❡ r❛②♦♥

r ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts M t❡❧s q✉❡ ✿

||−−→AM||=r.

Définition 25

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✺

(16)

☞ ▼✐s❡ ❡♥ ❣❛r❞❡ ✿

❆tt❡♥t✐♦♥✱ ✐❧ ❢❛✉t ❢❛✐r❡ ❧❛ ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ❡♥tr❡ ❧❡ ❝❡r❝❧❡ ❞❡ ❝❡♥tr❡ A ❡t ❞❡ r❛②♦♥ r ❡t ❧❡ ❞✐sq✉❡ ❞❡ ❝❡♥tr❡

A ❡t ❞❡ r❛②♦♥ r ✭q✉✐ ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts M ❞✉ ♣❧❛♥ t❡❧ q✉❡ ||−−→AM|| 6 r✱ ❝✬❡st ❧❡ ❝❡r❝❧❡ ❡t s♦♥

✐♥tér✐❡✉r ❡♥ q✉❡❧q✉❡ s♦rt❡✮✳

❖♥ ♠✉♥✐t P ❞✬✉♥ r❡♣èr❡ (O,−→ i ,−→

j ) ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✳ ❙♦✐❡♥t A(α, β) ✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉

♣❧❛♥ ❡tr ✉♥ ré❡❧ ♣♦s✐t✐❢✳ ❙♦✐tC ❧❡ ❝❡r❝❧❡ ❞❡ ❝❡♥tr❡A ❡t ❞❡ r❛②♦♥ r✳ ❙♦✐t M(x, y)

✉♥ ♣♦✐♥t ❞✉ ♣❧❛♥✳ ❖♥ ❛ ✿

M(x, y)∈C⇔(x−α)²+ (y−β)² =r²

⇔ ∃θ∈R t❡❧ q✉❡

x = α+r❝♦s(θ) y = β+rs✐♥(θ)

❖♥ ❞✐t q✉❡ ❝❡tt❡ éq✉❛t✐♦♥ ❡st ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞✉ ❝❡r❝❧❡ C ❡t q✉❡ ❧❡

s②stè♠❡ ❡st ✉♥❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠étr✐q✉❡ ❞✉ ❝❡r❝❧❡ C✳

Proposition 26

✶✳✷ ●é♦♠étr✐❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡

✶✳✷✳✶ ❘❡♣ér❛❣❡ ❞❛♥s ❧✬❡s♣❛❝❡

• −→u✱−→v ❡t−→w✱ tr♦✐s ✈❡❝t❡✉rs ❞❡R³✱ s♦♥t ❞✐ts ♥♦♥ ❝♦♣❧❛♥❛✐r❡s s✐ ❛✉❝✉♥ ❞✬❡♥tr❡

❡✉① ♥✬❡st ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡s ❛✉tr❡s✳

• ❯♥ r❡♣èr❡ ❞❡ E ❡st ✉♥ q✉❛❞r✉♣❧❡t (O,−→i ,−→j ,−→k) ❛✈❡❝ O ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ ❧✬

❡s♣❛❝❡✱ (−→i ,−→j ,−→k) ✉♥ tr✐♣❧❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉rs ♥♦♥ ❝♦♣❧❛♥❛✐r❡s ❞❡ R³✳ Définition 27

❙♦✐t (O,−→i ,−→j ,−→k) ✉♥ r❡♣èr❡ ❞❡ E✳ ❚♦✉t ✈❡❝t❡✉r −→u ❞❡R³ s✬❡①♣r✐♠❡ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡

✉♥✐q✉❡ ❝♦♠♠❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❞❡ −→i ✱ −→j ❡t −→k ✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥

✉♥✐q✉❡ tr✐♣❧❡t (a, b, c)∈R³ t❡❧ q✉❡ ✿

−

→u =a−→ i +b−→

j +c−→ k .

❈❡s tr♦✐s ré❡❧s s♦♥t ❛♣♣❡❧és ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡−→u ❞❛♥s ❧❛ ❜❛s❡(−→i ,−→j ,−→k)❞❡R³✳

❖♥ ♥♦t❡ −→u(a, b, c)✳ Proposition 28

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✻

(17)

❙♦✐t (O,−→i ,−→j ,−→k) ✉♥ r❡♣èr❡ ❞❡ E✳

• P♦✉r t♦✉t t♦✉t ♣♦✐♥tM❞❡E✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ✉♥✐q✉❡ tr✐♣❧❡ts ❞❡ ré❡❧s (x, y, z) t❡❧ q✉❡ ✿

−−→OM=x−→i +y−→j +z−→k .

❈❡s ré❡❧s s♦♥t ❛♣♣❡❧és ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡M❞❛♥s ❧❡ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j ,−→k)

❞❡E✳ ❖♥ ♥♦t❡ M(x, y, z)✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡ x ❡st ❧✬❛❜s❝✐ss❡✱y ❡st ❧✬♦r❞♦♥♥é❡ ❞❡

M❡t z ❧❛ ❝♦t❡ ✭♦✉ ❤❛✉t❡✉r✮ ❞❡z✳

• ▲❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡−→AB❛✈❡❝A(xa, ya, za)❡tB(xb, yb, zb)❞❡✉① ♣♦✐♥ts ❞❡

❧✬❡s♣❛❝❡ s♦♥t ((x_b−xa),(y_b−ya),(z_b−za))✱ ❛✉tr❡♠❡♥t ❞✐t ✿

−→AB= (x_b−xa)−→i + (y_b−ya)−→j + (z_b−za)−→k . Proposition 29

❘❡❧❛t✐♦♥ ❞❡ ❈❤❛s❧❡s

❙♦✐❡♥t A✱ B❡t Ctr♦✐s ♣♦✐♥ts ❞❡ ❧✬ ❡s♣❛❝❡✱ ♦♥ ❛ ✿ −→AB=−→AC+−→CB✳ Proposition 30

✶✳✷✳✷ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡

❖♥ ❞é✜♥✐t ❧❛ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ♣♦✐♥t ♣♦♥❞éré✱ ❞❡ ♠❛ss❡ ❞❡ s②stè♠❡✱ ❞❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡✱ ❞✬✐s♦❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞❡ ❧❛

♠ê♠❡ ❢❛ç♦♥ q✉❡ ❞❛♥s ❧❡ ♣❧❛♥✳ ▲❡s ♣r♦♣r✐étés ❞❛♥s ❧❡ ♣❧❛♥ ♣♦✉r ❧❡ ❜❛r②❝❡♥tr❡ r❡st❡♥t ✈❛❧❛❜❧❡s ❞❛♥s

❧✬❡s♣❛❝❡ ✿

• ❆ss♦❝✐❛t✐✈✐té ❞✉ ❜❛r②❝❡♥tr❡

• ❙✐ ❡st ❧❡ G ❜❛r②❝❡♥tr❡ ❞✉ s②stè♠❡ {(A₁, α1),(A₂, α2), . . . ,(A_n, αn)}✳ ❛❧♦rs✱ ♣♦✉r t♦✉t ♣♦✐♥t M ❞✉ ❧✬❡s♣❛❝❡✱ ♦♥ ❛ ✿

−−→MG= α1−−−→MA1+α2−−−→MA2 +· · ·+αn−−−→MAn

α1+α2+· · ·+αn

❡t ❡♥ ♣r❡♥❛♥t ♣♦✉r ♣♦✐♥t M ❧✬♦r✐❣✐♥❡✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s (g_x, gy, gz)❞❡ G✿

gx = α1x1 +· · ·+αnxn

α1 +· · ·+αn

, gy= α1y1+· · ·+αnyn

α1+· · ·+αn ❡t gz = α1z1+· · ·+αnzn

α1+· · ·+αn

❡♥ ♥♦t❛♥t✱ ♣♦✉r t♦✉t i ❞❡J1, nK✱ (xi, yi, zi)❧❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡ Ai✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✼

(18)

✶✳✷✳✸ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡

❙♦✐❡♥t −→u ❡t −→v ❞❡✉① é❧é♠❡♥ts ❞❡ R³ ❛②❛♥t ♣♦✉r ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t (x1, x2, x3) ❡t (y1, y2, y3) ❞❛♥s ❧❛ ❜❛s❡ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❞❡ R³✳

• ❧❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❞❡ −→u ❡t −→v ❡st ❧❡ ré❡❧✱ ♥♦té −→u · −→v ♦✉ −→u|−→v

♦✉

−→u ,−→v

✱ ❞é✜♥✐ ♣❛r ✿

−

→u · −→v =x1 ×y1+x2 ×y2+x3 ×y3

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♥♦r♠❡ ✭❡✉❝❧✐❞✐❡♥♥❡✮ ❞❡ −→u ❡t ♦♥ ♥♦t❡ ||−→u|| ❧❡ ré❡❧ ✿√−→u · −→u✱

♦♥ ❛ ❞♦♥❝ ||−→u||=p

x²₁+x²₂ +x²₃✳ Définition 31

▲❡s ♣r♦♣r✐étés ❞❛♥s ❧❡ ♣❧❛♥ ❞✉ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❡t ❞❡ ❧❛ ♥♦r♠❡ ❡✉❝❧✐❞✐❡♥♥❡ r❡st❡♥t ✈❛❧❛❜❧❡s ❞❛♥s

❧✬❡s♣❛❝❡ ✿

• ▲❡ ♣r♦❞✉✐t s❝❛❧❛✐r❡ ❡st ❧✐♥é❛✐r❡ ❡♥ s❡s ❞❡✉① ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ✐❧ ❡st s②♠étr✐q✉❡✱ ❝✬❡st ✉♥❡ ❢♦r♠❡ ❞é✜♥✐❡

♣♦s✐t✐✈❡✳

• ▲✬✐♥é❣❛❧✐té ❞❡ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ ✭❛✐♥s✐ q✉❡ s♦♥ ❝❛s ❞✬é❣❛❧✐té ❞❛♥s ❧❡s ♠ê♠❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✮✱ ❧✬✐♥é❣❛✲

❧✐té tr✐❛♥❣✉❧❛✐r❡ ✭❛✐♥s✐ q✉❡ s♦♥ ❝❛s ❞✬é❣❛❧✐té ❞❛♥s ❧❡s ♠ê♠❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✮✱ ❧✬✐❞❡♥t✐té r❡♠❛rq✉❛❜❧❡✱

❧✬✐❞❡♥t✐té ❞✉ ♣❛r❛❧❧é❧♦❣r❛♠♠❡✳

• ▲❛ ❞é✜♥✐t✐♦♥ ❞❡s ✈❡❝t❡✉rs ♦rt❤♦❣♦♥❛✉①✱ ❞❡s ✈❡❝t❡✉rs ✉♥✐t❛✐r❡s✳

• ▲❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ P②t❤❛❣♦r❡✳

❙♦✐❡♥t O ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ E ❡t −→u✱ −→v ❡t −→w tr♦✐s é❧é♠❡♥ts ❞❡ R³ ♥♦♥ ❝♦♣❧❛✲

♥❛✐r❡s✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (−→u ,−→v ,−→w) ❡st ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ ✭r❡s♣✳ ♥♦r♠é❡✮ ❞❡ R³ s✐

−

→u ❡t −→v✱ −→u ❡t −→w ❡t −→w ❡t −→v s♦♥t ♦rt❤♦❣♦♥❛✉① ✭r❡s♣✳ −→u✱ −→v ❡t −→w s♦♥t

♥♦r♠és✮✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (−→u ,−→v ,−→w)❡st ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡ ❞❡R³ s✐(−→u ,−→v ,−→w) ❡st

✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ ❡t ♥♦r♠é❡✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ (O,−→u ,−→v ,−→w) ❡st ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧ ✭r❡s♣✳ ♥♦r♠é✱ r❡s♣✳

♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡✮ ❞❡Es✐(−→i ,−→j ,−→k)❡st ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧❡ ✭r❡s♣✳ ♥♦r♠é❡✱

r❡s♣✳ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡✮ ❞❡ R³✳ Définition 32

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✽

(19)

• ❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ✉♥❡ ❜❛s❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡ (−→i ,−→j ,−→k) ❞❡R³✳ ❙♦✐❡♥t −→u ❡t −→v

❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs ❞❡R³ ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡s(x₁, x2, x3)❡t(y₁, y2, y3)✳

❖♥ ❛ ❛❧♦rs ✿

−

→u · −→v =x1×y1+x2×y2+x3×y3

❡t ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ✿||−→u||❡st p

x²₁+x²₂+x²₃✳

• (O,−→i ,−→j ,−→k) ❡st ✉♥ r❡♣èr❡ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❞❡ E✳ ❙♦✐❡♥t A✱ B✱ C ❡t D q✉❛tr❡ ♣♦✐♥ts ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡s (x_a, ya, za)✱ (x_b, yb, zb)✱ (xc, yc, zc) ❡t(xd, yd, zd)✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs ✿

−→AB·−→CD= (xb−xa)(xd−xc) + (yb−ya)(yd−yc) + (zb−za)(zd−zc)

❡t ❞♦♥❝||−→AB|| ❡stp

(xb−xa)²+ (yb−ya)²+ (zb−za)²✳ Proposition 33

☞ ▼✐s❡ ❡♥ ❣❛r❞❡ ✿

❉❛♥s ❧❡s ❢♦r♠✉❧❡s ♣ré❝é❞❡♥t❡s✱ ✐❧ ❡st ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ q✉❡ ❧❛ ❜❛s❡ ✉t✐❧✐sé❡ s♦✐t ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡✳

✶✳✷✳✹ P❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡

❙♦✐❡♥t A✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ E ❡t−u→1 ❡t−u→2 ❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs ♥♦♥ ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s ❞❡ R³✳

• ▲❡ ♣❧❛♥ ♣❛ss❛♥t ♣❛r A ❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉rs ❞✐r❡❝t❡✉rs −u→1 ❡t −u→2 ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

❞❡s ♣♦✐♥t M ❞❡E t❡❧s q✉❡ −−→AMs♦✐t ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ ❱❡❝t (−u→1,−u→2).

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ ❛✉ ♣❧❛♥P ✉♥ ✈❡❝t❡✉r −→n ♥♦♥ ♥✉❧ q✉✐ ❡st ♦rt❤♦✲

❣♦♥❛❧ à t♦✉s ❧❡s ✈❡❝t❡✉rs ❞✉ ♣❧❛♥ P✳

• ❯♥❡ ❞r♦✐t❡ ∆ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❡st ❞✐t❡ ♥♦r♠❛❧❡ ❛✉ ♣❧❛♥ P s✐ ✉♥ ❞❡ s❡s ✈❡❝t❡✉rs

❞✐r❡❝t❡✉rs ❡st ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ ❛✉ ♣❧❛♥ P✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ P ❛❞♠❡t ax+by+cz+d=0✭❛✈❡❝ dré❡❧ ❡t a✱b ❡tc tr♦✐s ré❡❧s t❡❧s q✉❡(a, b, c)6= (0, 0, 0)✮ ❝♦♠♠❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ s✐✱ ♣♦✉r t♦✉t

♣♦✐♥tM(x, y, z)❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡✱ ♦♥ ❛ ✿M(x, y, z)∈P ⇔ax+by+cz+d=0✳ Définition 34

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

• ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ ✱ s✐ A, B ❡t C s♦♥t tr♦✐s ♣♦✐♥ts ♥♦♥ ❛❧✐❣♥és ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡✱ ❛❧♦rs ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥

✉♥✐q✉❡ ♣❧❛♥ q✉✐ ♣❛ss❡ ♣❛r ❧❡s tr♦✐s ♣♦✐♥ts✳ ❖♥ ❧❡ ♥♦t❡r❛ (ABC)✳

• ❖♥ ♥♦t❡✱ ❝♦♠♠❡ ♣♦✉r ❧❡s ❞r♦✐t❡s ❞❛♥s ❧❡ ♣❧❛♥✱ q✉✬✐❧ ♥✬② ❛ ♣❛s ✉♥✐❝✐té ❞❡s ✈❡❝t❡✉rs ❞✐r❡❝t❡✉rs

✉t✐❧✐sés ♥✐ ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s ❝❛rtés✐❡♥♥❡s✳

• ❯♥❡ s♦rt❡ ❞❡ ré❝✐♣r♦q✉❡ ♣✉✐s ❞❡ ❣é♥ér❛❧✐s❛t✐♦♥ ✿ ❚♦✉t ♣❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❛❞♠❡t ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥

❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ax+by+cz+d=0 ✭❛✈❡❝d ✉♥ ré❡❧ ❡t a✱b ❡t ctr♦✐s ré❡❧s t❡❧s q✉❡

(a, b, c)6= (0, 0, 0)✮✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ s✐d❡st ✉♥ ré❡❧ ❡ta✱b❡tctr♦✐s ré❡❧s t❡❧s q✉❡(a, b, c)6= (0, 0, 0)✱

❛❧♦rs ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ {M(x, y, z)∈Et❡❧s q✉❡ ax+by+cz+d=0}❡st ✉♥ ♣❧❛♥ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✾

(20)

❖♥ ♠✉♥✐tE❞✬✉♥ r❡♣èr❡(O,−→i ,−→j ,−→k)♦rt❤♦♥♦r♠❛❧✳ ❯♥ ♣❧❛♥P❞♦♥t−→n(a, b, c)✱

❛✈❡❝ a ✱ b ❡t c tr♦✐s ré❡❧s t❡❧s q✉❡ (a, b, c) 6= (0, 0, 0)✱ ❡st ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ ❡t

♣❛ss❛♥t ♣❛rM0(x0, y0, z0)❛ ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿ax+by+cz= ax0+by0+cz0✳

Proposition 35

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳ ❖♥ ♣❡✉t é♥♦♥❝❡r ✉♥❡ s♦rt❡ ❞❡ ré❝✐♣r♦q✉❡ ❞❡

❝❡tt❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✿ ❙✐ d ❡st ✉♥ ré❡❧✱ ❡t s✐ a✱ b ❡t cs♦♥t tr♦✐s ré❡❧s t❡❧s q✉❡ (a, b, c)6= (0, 0, 0)✱ ❛❧♦rs {M(x, y, z)∈E t❡❧s q✉❡ ax+by+cz+d=0} ❡st ❧❡ ♣❧❛♥ P ♣❛ss❛♥t ♣❛r ✉♥ ♣♦✐♥t M0(x0, y0, z0) t❡❧ q✉❡ ax0 +by0 +cz0+d = 0 ❡t ❞♦♥t ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦r♠❛❧ ❡st −→n(a, b, c)✳ ❖♥ ♥♦t❡ ❛✉ss✐ ❞❛♥s ❧❛

♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ q✉✬✐❧ ❡st ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ q✉❡ ❧❛ ❜❛s❡ ✉t✐❧✐sé❡ s♦✐t ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧❡✳

❙♦✐❡♥t M0(x0, y0, z0) ❡t M(x, y, z) ❞❡✉① ♣♦✐♥ts ❞❡ E ❡t −u→1(a1, b1, c1) ❡t

−→

u2(a₂, b2, c2) ❞❡✉① ✈❡❝t❡✉rs ♥♦♥ ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s✳ ❆♣♣❡❧♦♥s P ❧❡ ♣❧❛♥ ♣❛ss❛♥t ♣❛r M0 ❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r−u→1 ❡t−u→2✳ ❖♥ ❛ ✿

M∈P ⇔ ∃(λ, µ)∈R² t❡❧ q✉❡ −−−→M0M=λ−u→1+µ−u→2

⇔ ∃(λ, µ)∈R² t❡❧ q✉❡







x = x0+λa1+µa2

y = y0 +λb1 +µb2

z = z0+λc1+µc2

❖♥ ❞✐t q✉❡ ❝❡ s②stè♠❡ ❡st ✉♥❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠étr✐q✉❡ ❞✉ ♣❧❛♥ P✳ Proposition 36

✶✳✷✳✺ ❉r♦✐t❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡

❙♦✐t A ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡ E ❡t−→u ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ♥♦♥ ♥✉❧ ❞❡ R³✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❞r♦✐t❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r A ❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r −→u ❧✬❡♥✲

s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣♦✐♥ts M ❞❡ E t❡❧ q✉❡ −−→

AM s♦✐t ❝♦❧✐♥é❛✐r❡ à −→u✱ ❝✬❡st ❞♦♥❝

M∈E t❡❧s q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ré❡❧ t t❡❧ q✉❡ −−→AM=t−→u

✳

• ❙♦✐t D ✉♥❡ ❞r♦✐t❡ ❞❡ E ❞♦♥t −→u ❡st ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r✳ −→n✱ ✉♥ ✈❡❝t❡✉r

❞❡R³✱ ❡st ❞✐t ♥♦r♠❛❧ àD s✐ −→n ⊥ −→u✳ Définition 37

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✷✵

(21)

• ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ ♣❛r ❞❡✉① ♣♦✐♥ts ❞✐st✐♥❝ts A ❡tB ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ♣❛ss❡ ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ ❞r♦✐t❡ ✿ ❝✬❡st

❝❡❧❧❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛r A❡t ❞✐r✐❣é ♣❛r ❧❡ ✈❡❝t❡✉r −→AB✳ ❖♥ ❧❛ ♥♦t❡ (AB)✳

• ■❧ ♥✬② ❛ ❜✐❡♥ é✈✐❞❡♠❡♥t ♣❛s ✉♥✐❝✐té ❞✉ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r✱ ❡♥ ❡✛❡t✱ ♦♥ ♣❡✉t r❡♠♣❧❛❝❡r −→u ♣❛r

♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧ ✈❡❝t❡✉r ❝♦❧✐♥é❛✐r❡ ♥♦♥ ♥✉❧✳

❖♥ ♠✉♥✐tE ❞✬✉♥ r❡♣èr❡ (O,−→i ,−→j ,−→k)✳ ❙♦✐❡♥t M0(x₀, y0, z0) ❡t−→u(a, b, c) ❛✈❡❝

a✱ b ❡t c tr♦✐s ré❡❧s t❡❧s q✉❡ (a, b, c) 6= (0, 0, 0)✳ ❙♦✐t M(x, y, z) ✉♥ ♣♦✐♥t ❞❡

❧✬❡s♣❛❝❡E✳ ❆♣♣❡❧♦♥s ∆ ❧❛ ❞r♦✐t❡ ♣❛ss❛♥t ♣❛rM0 ❡t ❞❡ ✈❡❝t❡✉r ❞✐r❡❝t❡✉r −→u✳ M(x, y)∈∆⇔ ∃t ∈R t❡❧ q✉❡ −−−→M0M=t−→u

⇔ ∃t ∈R t❡❧ q✉❡







x = x0+t×a y = y0+t×b z = z0 +t×c

❖♥ ❞✐t q✉❡ ❝❡ s②stè♠❡ ❡st ✉♥❡ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠étr✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ❞r♦✐t❡∆✳ Proposition 38

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳

• ❚♦✉t❡ ❞r♦✐t❡ D ❛❞♠❡t ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ✿ ax+by+cz+d = 0 a^′x+b^′y+c^′z+d^′ = 0

♦ù a✱ b✱ c✱ a^′✱ b^′ ❡t c^′ s♦♥t s✐① ré❡❧s t❡❧s q✉❡ (a, b, c) ❡t (a^′, b^′, c^′) ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s ❡t d ❡t d^′ s♦♥t ❞❡✉① ré❡❧s✳ ❈❡❧❛ s✐❣♥✐✜❡ q✉❡✱ ♣♦✉r t♦✉t ♣♦✐♥t M(x, y, z) ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡✱ ♦♥ ❛ ✿

M∈D⇔

ax+by+cz+d = 0 a^′x+b^′y+c^′z+d^′ = 0

• ❘é❝✐♣r♦q✉❡♠❡♥t✱ s✐ ♦♥ ♣r❡♥❞d❡td^′ ❞❡✉① ré❡❧s ❡ta✱b✱c✱a^′✱b^′ ❡tc^′s✐① ré❡❧s t❡❧s q✉❡(a, b, c)

❡t (a^′, b^′, c^′) ♥❡ s♦✐❡♥t ♣❛s ❝♦❧✐♥é❛✐r❡s ❛❧♦rs ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ s✉✐✈❛♥t ✿

M(x, y, z)∈E t❡❧s q✉❡ ✿

ax+by+cz+d = 0 a^′x+b^′y+c^′z+d^′ = 0

❡st ✉♥❡ ❞r♦✐t❡ ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡✳

• ❖♥ ✈♦✐t ❛✐♥s✐ ❣é♦♠étr✐q✉❡♠❡♥t ♣♦✉rq✉♦✐ ❧❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ❝❛rtés✐❡♥♥❡ ❞✬✉♥❡ ❞r♦✐t❡ ❞❛♥s ❧✬❡s✲

♣❛❝❡ ❝♦♥s✐st❡ ❡♥ ✉♥ s②stè♠❡ ❞❡ ❞❡✉① éq✉❛t✐♦♥s ✿ ❝✬❡st ❧✬✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ❞❡ ❞❡✉① ♣❧❛♥s✱ ❝❤❛❝✉♥

ét❛♥t ❞é✜♥✐ ♣❛r ✉♥❡ ❞❡s éq✉❛t✐♦♥s✱ ♥♦♥ ♣❛r❛❧❧è❧❡s✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✷✶