1S1 Devoir n° 9 maison mardi 10 décembre 2013

1S1 Devoir n° 9 maison mardi 10 décembre 2013 Exercice 1 :

On veut résoudre l’équation (E) :√ x=1

4x+1 2.

1. Tracer sur l’écran de la calculatrice les courbes représentatives des fonctions x 7−→ √

x et x 7−→ 1 4x+ 1

2 et reproduire l’allure de ces courbes sur le graphique ci-dessous.

2. Conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et une valeur approchée de chacune de ces solutions.

3. Démontrer que six <−2, alorsxne peut pas être solution de cette équation.

4. On supposex≥ −2. Démontrer que l’équation (E) est alors équivalente à l’équation : x²−12x+ 4 = 0.

5. Résoudre cette deuxième équation. Écrire l’ensemble S des solutions de l’équation (E).

Exercice 2 :

ABCD est un parallélogramme..

1. Faire une figure et construire les points M, N et P définis par :

−−−→CM = 2−−−→CD ; −−−→AN = 2−−→BA −−→CP = 2−−→BC.

2. a. Démontrer que−−→NP = 3−−→AC . b. Que pouvez vous en déduire ? 3. a. Démontrer que−−−→MN = −−→CA .

b. Que pouvez vous en déduire ? Exercice 3 :

OABC est un carré (On prendra OA = 6 cm ). M est un point du plan situé à l’intérieur du carré.

Les parallèles respetives à (OA) et (OC) passant par M coupent les côtés du carré en E, F, G et H comme indiqué sur la figure ci-contre.

Dans cette activité, on s’intéresse à la position relative des droites (EH), (OB) et (FG).

On travaillera dans le repère (O ;→−i ; →−j ) (d’unité 5 mm).

O A

M

C B

E G

F H

1

Introduction

Faire les quatre figures correspondant aux quatre situations suivantes :

1.M a pour coordonnées (8 ; 4). 2.M a pour coordonnées (3 ; 6).

3.M a pour coordonnées (4 ; 4). 4.M a pour coordonnées (6 ; 6).

Les figures seront faites sur une feuille séparée : 1 et 2 au recto, 3 et 4 au verso. Sur chacune des figures on tracera en couleur les trois droites(EH), (OB)et (FG).

Partie 1 : M a pour coordonnées (8 ; 4).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→FG ,−−→OB et −−→EH . 2. Démontrer que les vecteurs−−→FG , −−→OB et−−→EH sont colinéaires.

3. Que peut-on en conclure pour les droites (EH), (OB) et (FG) ?

Partie 2 : M a pour coordonnées (3 ; 6).

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs −−→FG ,−−→OB et −−→EH .

2. Démontrer que les vecteurs−−→FG , −−→OB et−−→EH ne sont pas colinéaires.

3. On va alors démontrer que dans ce cas les trois droites ont un point commun.

a. Déterminer une équation de la droite (FG) et une équation de la droite (EH).

b. Déterminer les coordonnées de leur point commun D en résolvant un système de deux équations à deux inconnues.

c. Montrer que les points D, O et B sont alignés.

Partie 3

Reprendre le travail des parties précédentes pour traiter les situations3.et 4.

Partie 4 : Généralisation

1. On appellex ety les coordonnées de M.

a. Exprimer en fonction dex ety les coordonnées des points E, F, G et H.

b. En exprimant la colinéarité des vecteurs −−→FG ,−−→OB montrer que les vecteurs −−→FG , −−→OB sont colinéaires si et

seuleme1677(u)5.79803((e)032(s)4.46982(i)1.87466]TJ/R14 9.96264 Tf79.6 0 Td[(x)-1.89061]TJ/R8 9.96264 Tf67.961.6 0 Td[+a)-034.0626]TJ/R14 9.96264 Tf76.91921 0 Td[(y)9.19941]TJ/R12 9.96264 Tf73.08098 0 Td[c

Corrigé Exercice 1 :

On veut résoudre l’équation (E) :√ x=1

4x+1 2.

1.

2. D’après le graphique précédent, les deux courbes ont deux points communs donc l’équation (E) admet deux solutions.

3. On supposex≥0. Dans ce cas on peut élever au carré les deux membres de l’équation (E) :

√x=1 4x+1

2 ⇔x=1 4x+1

2 2

⇔x= x² 16+2x

8 +1

4⇔16x=x²+ 4x+ 4⇔x²−12x+ 4 = 0.

4. Résolution de cette équation : ∆= (−12)²−4×1×4 = 128 doncx1=12−√

128

2 = 6−8√ 2

2 = 6−4√

2≃0.343 et x2=12 +√ 128

2 = 6 +8√ 2

2 = 6 + 4√

2≃11.657.

l’équation (E) admet donc pour solution S = { 6−4√

2 ; 6 + 4√ 2 }.

Exercice 2 :

ABCD est un parallélogramme.

les points M, N et P définis par :

−−−→CM = 2−−−→CD ; −−−→AN = 2−−→BA −−→CP = 2−−→BC. 1. Figure :

b

C

b

B

b

A

bD

bM

bN^′

bN

bP^′

bP

2. a. Démontrer que−−→NP = 3−−→AC .

−−→NP =−−−→NA +−−→AB +−−→BC +−−→CP = 2−−→AB +−−→AB +−−→BC + 2−−→BC = 3−−→AB + 3−−→BC = 3−−→AC

b. Nous pouvons en déduire que les vecteurs −−→NP et −−→AC sont colinéaires donc que les droites (NP) et(AC) sont parallèles.

3. a. Démontrer que−−−→MN = −−→CA .

−−−→MN =−−−→MC +−−→CB +−−→BA +−−−→AN = 2−−−→DC +−−→CB +−−→BA + 2−−→BA = 2−−→AB +−−→CB +−−→BA + 2−−→BA =−−→CA b. Nous pouvons en déduire que CMNA est un parallélogramme.

3

Exercice 3 :

Partie 1 : M a pour coordonnées (8 ; 4).

On s’intéresse à la figure n° 1.

1. Coordonnées des points : E ( 0 ; 4) ; F ( 8 ; 0) ; G ( 12 ; 4) ; H ( 8 ; 12).

2. Coordonnées des vecteurs :−−→FG , −−→EH et −−→OB .

−−→FG 12−8 = 4 4−0 = 4

−−→EH 8−0 = 8 12−4 = 8

−−→OB 12 12

3. Nous constatons que −−→EH = 2.−−→FG et −−→OB = 3.−−→FG . Donc ces trois vecteurs sont colinéaires.

4. Nous pouvons en déduire que les droites (EH), (OB) et (FG) sont parallèles.

Partie 2 : M a pour coordonnées (3 ; 6).

On s’intéresse à la figure n° 2.

1. Coordonnées des points : E ( 0 ; 6) ; F ( 3 ; 0) ; G ( 12 ; 6) ; H ( 3 ; 12).

2. Colinéarité des vecteurs : −−→FG ,−−→EH et −−→OB .

−−→OB 12 12

−−→FG 12−3 = 9

6−0 = 6 12×6−12×9 =−36 donc −−→OB et−−→FG ne sont pas colinéaires.

−−→OB 12 12

−−→EH 3−0 = 3

12−6 = 6 12×6−12×3 = 36 donc −−→OB et −−→EH ne sont pas colinéaires.

−−→FG 9 6

−−→EH 3

6 9×6−6×3 = 36 donc −−→FG et −−→EH ne sont pas colinéaires.

3. Equation cartésienne réduite de la droite (EH) : Le coefficient directeur estm=y_H−y_E xH−xE

=12−6 3−0 = 2 L’équation s’écrity=m(x−x_E) +y_E= 2(x−0) + 6 = 2x+ 6

Equation cartésienne réduite de la droite (FG) : Le coefficient directeur estm=y_G−y_F

x_G−x_F = 6−0 12−3=2

3 L’équation s’écrity=m(x−x_F) +y_F=2

3(x−3) + 0 = 2 3x−2.

4. D est l’intersection des droites (FG) et (EH) donc ses coordonnées vérifient les deux équations : y= 2x+ 6 ety=2

3x−2 d’où 2x+ 6 =2

3x−2⇔6x+ 18 = 2x−6⇔4x=−6−8 =−24.

on en déduitx=−6 d’oùy= 2x+ 6 = 2× −6 + 6 =−6.

Les coordonnées de D sont donc (−6 ;−6 ).

5. Démontrer que les points D, O et B sont alignés.

−−→OB 12 12

−−−→OD −6

−6 12×(−6)−12×(−6) = 0 donc −−→OB et−−−→OD sont colinéaires.

Les points O, B et D sont donc alignés.

Corrigé Partie 3

On s’intéresse à la figure n° 3 : M a pour coordonnées (4 ; 4).

On remarque que l’on est dans la même situation que dans la partie 2.

1. Coordonnées des points : E ( 0 ; 4) ; F ( 4 ; 0) ; G ( 12 ; 4) ; H ( 4 ; 12).

2. Colinéarité des vecteurs : −−→FG ,−−→EH et −−→OB .

−−→OB 12 12

−−→FG 12−4 = 8

4−0 = 4 12×4−12×8 =−48 donc −−→OB et−−→FG ne sont pas colinéaires.

−−→OB 12 12

−−→EH 4−0 = 4

12−4 = 8 12×8−12×4 = 48 donc −−→OB et −−→EH ne sont pas colinéaires.

−−→FG 8 4

−−→EH 4

8 8×8−4×4 = 48 donc −−→FG et −−→EH ne sont pas colinéaires.

3. Equation cartésienne réduite de la droite (EH) : Le coefficient directeur estm=y_H−y_E

x_H−x_E =12−4 4−0 = 2 L’équation s’écrity=m(x−x_E) +y_E= 2(x−0) + 4 = 2x+ 4

Equation cartésienne réduite de la droite (FG) : Le coefficient directeur estm=y_G−y_F

x_G−x_F = 4−0 12−4=1

2 L’équation s’écrity=m(x−xF) +yF=2

3(x−4) + 0 = 1 2x−2.

4. D est l’intersection des droites (FG) et (EH) donc ses coordonnées vérifient les deux équations : y= 2x+ 4 ety=1

2x−2 d’où 2x+ 4 =1

2x−2⇔4x+ 8 =x−4⇔3x=− −4−8 =−12.

on en déduitx=−4 d’oùy= 2x+ 4 = 2× −4 + 4 =−4.

Les coordonnées de D sont donc (−4 ;−4 ).

5. Démontrer que les points D, O et B sont alignés.

−−→OB 12 12

−−−→OD −4

−4 12×(−4)−12×(−4) = 0 donc −−→OB et−−−→OD sont colinéaires.

Les points O, B et D sont donc alignés.

On s’intéresse à la figure n° 4 : M a pour coordonnées (6 ; 6).

On remarque que l’on est dans la même situation que dans la partie 1.

1. Coordonnées des points : E ( 0 ; 6) ; F ( 6 ; 0) ; G ( 12 ; 6) ; H ( 6 ; 12).

2. Coordonnées des vecteurs :−−→FG , −−→EH et −−→OB .

−−→FG 12−6 = 6 6−0 = 6

−−→EH 6−0 = 6 12−6 = 6

−−→OB 12 12

3. Nous constatons que −−→EH =−−→FG et −−→OB = 2.−−→FG . Donc ces trois vecteurs sont colinéaires.

4. Nous pouvons en déduire que les droites (EH), (OB) et (FG) sont parallèles.

5

Partie 4 : Généralisation

1. On appellex ety les coordonnées de M.

a. Coordonnées des points : E ( 0 ;y) ; F (x; 0 ) ; G ( 12 ;y) ; H (x; 12).

b. −−→FG 12−x y

−−→EH x 12−y

−−→OB 12 12

c. Les vecteurs −−→FG et−−→OB sont colinéaires si et seulement si : 12(12−x) = 12b⇔12−x=y⇔x+y= 12.

d. Pour que cette condition soit réalisée, M doit se trouver sur la droite d’équationy=−x+ 12.

Les vecteurs −−→EH et−−→OB sont colinéaires si et seulement si : 12x= 12(12−y)⇔x= 12−y⇔x+y= 12.

Conclusion : Six+y= 12 alors les vecteurs −−→FG ,−−→EH et−−→OB sont Colinéaires.

2. On appellea etb les coordonnées de M.

D’après le1.sia+b−12,0 les vecteurs−−→FG , −−→OB et −−→EH ne sont pas colinéaires. Les droites (FG) , (OB) et (EH) ne sont plus parallèles.

Coordonnées des points : E ( 0 ;b) ; F (a; 0 ) ; G ( 12 ;b) ; H (a; 12).

N est un point quelconque du plan de coordonnées (x;y).

a. Equation cartésienne réduite de la droite (OB) : Le coefficient directeur estm=yB−yO

x_B−x_O =12−0 12−0= 1.

Comme la droite (OB) passe par l’origine, son équation esty=x.

b. −−→FN x−a= y−0 =y

−−→FG 12−a b−0 =b

Les vecteurs −−→FN et−−→FG sont colinéaires si et seulement si :

(x−a)b−y(12−a) = 0⇔bx−ab−y(12−a) = 0⇔bx−y(12−a) =ab.

c. N (x;y) est commun aux droites (OB) et (FG) si et seulement si :

• N est un point de la droite (OB) doncx=y.

• les vecteurs −−→FN et−−→FG sont colinéaires doncbx−y(12−a) =ab Nous en déduisons en remplaçantyparxdans la seconde équation : bx−x(12−a) =ab⇔(b−12 +a)x=ab⇔x= ab

a+b+ 12.

Conclusion : le point commun aux droites (OB) et (FG) a pour coordonnées : ( ab

a+b−12; ab a+b−12).

d. −−→EN x−0 =x y−b

−−→EH a−0 =a 12−b

Les vecteurs −−→EN et −−→EH sont colinéaires si et seulement si : x(12−b)−(y−b)a= 0.

N (x;y) est commun aux droites (OB) et (EH) si et seulement si :

• N est un point de la droite (OB) doncx=y.

• les vecteurs −−→FN et−−→FG sont colinéaires doncx(12−b)−(y−b)a= 0 Nous en déduisons en remplaçantyparxdans la seconde équation :

x(12−b)−(x−b)a= 0⇔x(12−b)−xa+ab= 0x(12−b−a) =−ab⇔x= −ab

12−a−b = ab a+b−12. Conclusion : le point commun aux droites (OB) et (EH) a pour coordonnées : ( ab

a+b−12; ab a+b−12).

3. Conclusion : Sia+b+12,0 alors les trois droites (OB)(FG) et (EH) sont concourantes au point N de coordonnées ( ab

a+b−12; ab a+b−12).

Figure 1

O

A B

C E

F

G H

Figure 2

O

A B

C E

F

G H

Figure 3

O

A B

C E

F

G H

Figure 4

O

A B

C E

F

G H