DEVOIR A LA MAISON N°9. 1S1.
Pour le mercredi 17 décembre 2014.
SUJET A.
I. Un charpentier a tracé à main levée le profil d un étage sous les toits en laissant libre un espace rectangulaire OABC. Il souhaite étudier la hauteur f (x ) en fonction de la largeur au sol x. Sur son schéma, les longueurs sont exprimées en mètres.
1. Expliquer pourquoi x est strictement supérieur à 3.
2. Montrer que f( x) 2 6 x 3
3. Etudier le sens de variation de f sur ]3 ; + [ en justifiant chaque étape.
4. Le charpentier veut que la hauteur f( x) soit comprise entre 4 et 6m. Pour quelles valeurs de x est-ce réalisé ?
II. Soient f et g les fonctions définies sur I = ]9 ; + [ par f(x) = 2
3 x et g(x) = 6 2 x
9 x . Montrer que pour tout x de I, f(x) = g(x).
III. Dans une usine, le coût de fabrication par objet (en dizaine d’euros) de x objets, pour un nombre d’objets compris entre 0 et 5, est donné par l’expression : f(x) = 5 1
(x 2,75)² 1 1. Ci-contre est donné un algorithme dans lequel intervient la
fonction f. Construire la table d exécution de l algorithme.
A quoi correspondent les valeurs finales affichées ?
2.
a. A la calculatrice, conjecturer le tableau de variation de la fonction f sur [0 ; 5].
b. Démontrer vos conjectures. Justifier chaque étape.
On peut partir de a b (voir ex V fiche 1) ou construire des tableaux de variations successifs.
c. Quel est le minimum de la fonction f sur [1 ; 5] ? Comparer avec les résultats de la question 1 et commenter.
x prend la valeur 0 M prend la valeur f(0) Pour i allant de 1 à 5
y prend la valeur f(i) Si y M
M prend la valeur y x prend la valeur i Fin Si
Fin Pour
Afficher x, M
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°9. 1S1 SUJET A
I.
1. x > 3 car OM > OC et OC = 3 (sinon le toit passe à l intérieur de la maison ... !) 2. D après le th de Thalès dans le triangle MOD : MO
MC
MD MB
OD BC On a donc : x
x 3 h
2 c'est-à-dire h = 2x x 3 . D autre part 2 + 6
x 3 = 2( x 3) 6 x 3 = 2 x
x 3 Ainsi f(x) = h = 2 + 6
x 3 . 3. On a le tableau suivant :
x 3
x 3
0
x x 3 est une fonction affine de coefficient directeur 1 positif
1 x 3
f et 1/f ont des sens de variation contraires si f ne s annule pas
6 x 3
Multiplier par 6 > 0 ne change pas le sens de variation
2 + 6 x 3
Ajouter 2 ne change pas le sens de variation f est donc décroissante sur ]3 ; + [.
4. 4 < 2 + 6
x 3 < 6 2 < 6 x 3 < 4 1
3 < 1 x 3 < 2
3 diviser par 6 ne change pas l ordre 3 > x 3 > 3
2 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [.
6 > x > 9
2 ajouter 3 ne change pas l ordre
La hauteur est comprise entre 4 et 6m lorsque x est compris entre 9 2 et 6.
II. Soit x > 9 : f(x) = 2
3 x = 2 ( 3 x )
( 3 x ) ( 3 x ) =
6 2 x
3² x
2= 6 2 x
9 x = g(x) III.
1. Voici la table d exécution de l algorithme (en n utilisant pas une ligne par étape pour gagner de la place) :
M x i y Condition du
si ?
Boucle pour finie ? 0
f(0) 4,88
1 f(1) 4,75 oui
24/5 1 non
2 f(2) = 4,36 oui
45/10 2 non
3 f(3) 4,06 oui
4 3 non
4 f(4) 4,61 non non
5 f(5) 4,84 non oui
Affichage : x = 3
M 4,06
Le coût de fabrication minimum est environ 40€50 par objet pour 3 objets fabriqués.
On ne peut par contre pas être sûr que c est le minimum de f sur [0 ; 5] car on n a testé que les valeurs entières pour x.
2.
a. f semble être décroissante sur [0 ; 2,75] et croissante sur [2,75 ; 5].
b. Sur [0 ; 3] :
Soient a et b deux réels tels que 0 a b 2,75
2,75 a 2,75 b 2,75 0
7,5625 (a 2,75 )² (b 2,75)² 0 car la fonction carrée est décroissante sur ] ; 0]
8,5625 ( a 2,75 )² 1 (b 2,75)² 1 1 1
8,5625
1 (a 2,75)² 1
1
(b 2,75)² 1 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [
1
(a 2,75)² 1
1
( b 2,75)² 1 car 1 < 0
5 1
(a 2,75)² 1 5 1
( b 2,75)² 1 f( a) f (b )
La fonction f est donc décroissante sur [0 ; 2,75].
Sur [3 ; 5] :
Soient a et b deux réels tels que 2,75 a b 5
a 2,75 b 2,75 1,25
0 (a 2,75)² (b 2,75)² 1,5625 car la fonction carrée est croissante sur [0 ; + [ 1 (a 2,75)² 1 (b 2,75)² 1 2,5625
1 (a 2,75)² 1
1
( b 2,75)² 1 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [
1
(a 2,75)² 1
1
(b 2,75)² 1 car 1 < 0
5 1
(a 2,75)² 1 5 1
(b 2,75)² 1 f( a) f (b )
La fonction f est donc croissante sur [2,75 ; 5].
Autre méthode :
(x 2,75)²+1 x ² 5,5x 8,5625. La fonction x x ² 5,5x 8,5625 est une fonction trinôme. Le coefficient de x² est positif donc cette fonction est décroissante puis croissante.
Le minimum est atteint pour x b 2a
5,5
2 2,75.
On peut construire le tableau de variations suivant :
x 0 2,75 5
(x
2,75)²
+1x ²
5,5x
8,56251 1
(x 3)² 1
1
car u et 1/u ont des sens de
variation contraires si u ne s annule pas.
1 (x 3)² 1
1
car 1 < 0 et u et ku ont des sens de variation contraire si k < 0
5 1
(x 3)² 1
4
car u et u k ont le même sens de variation
