DEVOIR A LA MAISON N°8. 1S1. Pour le mercredi 10 décembre 2014. I.

DEVOIR A LA MAISON N°8. 1S1.

Pour le mercredi 10 décembre 2014.

I. A savoir faire absolument.

f est la fonction définie par f( x) 2

( 2x 5)² 4.

1. Quel est l ensemble de définition de f ?

2. A l aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de f.

3. Démontrer vos conjectures. Bien justifier chaque étape !!

II. A savoir faire absolument.

f et g sont les fonctions définies sur par f( x) 2 x² 5x 3 et g( x) 5x ² 8x 1.

1. Construire les tableaux de variation de f et g (voir cours sur les fonctions trinômes).

2. Etudier la position relative des courbes de f et g.

III. Olympiades

Colorier dans le plan l ensemble des points M(a b ) où a et b sont des réels positifs ou nuls tels que les

équations x² ax b 0 et x ² b x a 0 admettent toutes les deux au moins une solution.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°8. 1S1

I. A savoir faire absolument.

f est la fonction définie par f( x) 2

( 2x 5)² 4.

1. f est définie sur \

 



 

5 

2 .

2. On trace la courbe de f à la calculatrice. f semble décroissante sur

 

  5

2 et croissante sur

 

  5

2 .

3. Sur

 

  5 2 :

Soient a et b deux réels avec a b 5 2 a b 5/2

2a 2 b 5 car 2 0

2a 5 2b 5 0

( 2a 5)² ( 2b 5)² 0 car la fonction carrée est croissante sur [0 ; + [

0 1

( 2 a 5)²

1

( 2 b 5)² car la fonction inverse est décroissante sur ]0 [

0 2

( 2 a 5)²

2

( 2 b 5)² car 2 < 0

4 2

( 2 a 5)² + 4 2

( 2 b 5)² + 4 f(a ) f (b )

Pour a b < 5

2 , f (a) f (b ) donc la fonction f est décroissante sur

 

  5 2

Sur  

  5

2 :

Soient a et b deux réels avec 5

2 < a b 5/2 < a b

5 > 2a 2 bcar 2 0

0 2a 5 2b 5

0 < ( 2a 5)² ( 2 b 5)² car la fonction carrée est décroissante sur ] 0]

1 ( 2 a 5)²

1

( 2b 5)² > 0car la fonction inverse est décroissante sur ]0 [ 2

( 2 a 5)²

2

( 2 b 5)² < 0 car 2 < 0 2

( 2 a 5)² + 4 2

( 2 b 5)² + 4 < 4 f(a ) f (b )

Pour 5

2 < a b , f (a ) f( b) donc la fonction f est croissante sur

 

 

5

2

II. A savoir faire absolument.

1. f et g sont des fonctions trinômes.

Pour f : le coefficient de x² est 2 > 0 donc f est décroissante puis croissante.

f admet un minimum pour x b 2a

5

4 . Ce minimum est f

 

  5 4

49 8 . Pour g : le coefficient de x² est 5 < 0 donc g est croissante puis décroissante.

g admet un minimum pour x b

2a . Ce minimum est g  

  4 5

21 5 . On peut alors construire les tableaux de variation de f et g.

2. On étudie le signe de f (x ) g ( x) :

f(x ) g( x) 2x ² 5x 3 5 x² 8 x 1 7x ² 3 x 4.

= 121 donc le trinôme a deux racines qui sont 4

7 et 1 et il est du signe de a (positif) sauf entre ces racines.

On a donc :

x 4/7 1 +

f(x) g (x) + +

Position relative C _f au dessus de C _g C _f en dessous de C _g C _f au dessus de C _g III. Olympiades

x² ax b = 0 a au moins une solution ssi son discriminant a ² 4 b est positif ou nul.

x² b x a = 0 a au moins une solution ssi son discriminant b² 4 a est positif ou nul.

On colorie donc les points M( a b) tels que a² 4b et b² 4a avec a et b positifs ou nuls.

a² 4b b a²

4 . M doit être sous la courbe d équation y x ²

4 .

b² 4a b 2 a car a et b sont positifs ou nuls. M doit donc être au-dessus de la courbe d équation y 2 x .

La partie à colorier est la partie à la fois colorée et hachurée sur la figure ci-contre.