DEVOIR A LA MAISON N°10. 1S1
Pour le lundi 17 décembre 2018.
I. En utilisant la définition du nombre dérivé, calculer f ( a) dans chacun des cas suivants : 1. f( x) 1 2
x et a 9.
2. f( x) 1
x 1 et a 5
3. f( x) 3
(x 1 )² et a 1 2
II. Rappel (à retenir) : Pour tous réels a et b, (a b)
3a
33 a² b 3 ab ² b
3. Soient f la fonction définie sur par f( x) 2x
34x² x et C
fsa courbe dans un repère.
1. Soit a un réel. Montrer en calculant le taux d accroissement que f est dérivable en a et que f (a) 6 a ² 8 a 1.
2. Existe-t-il des points de la courbe de f en lesquels la tangente à la courbe est horizontale ? 3. Existe-t-il des points de la courbe de f en lesquels la tangente à la courbe est parallèle à la droite d équation y 9 x 3 ?
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 3 2 .
III. On donne ci-contre la représentation graphique d une fonction f et ses tangentes en trois points A, B et C .
Déterminer graphiquement f( 3), f (0) ; f ( 3), f (0) et f (3).
IV. f est une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [−4 3] et (C) est sa courbe représentative dans un repère.
Le point B(0 2) est un point de la courbe ( C), la tangente à (C ) au point A d abscisse 3 est horizontale et la tangente
1à ( C) en B a pour équation y 3 x 2.
Donner f
′(−3), f(0) et f (0). Justifier.
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°10 1S1.
I.
1. Soit h un réel non nul.
f(9 h) f(9) h
1
29 h
1
29
h
2 9 h 6 3 9 h
h
2 9 h 6
3 h 9 h
( 2 9 h 6 ) ( 2 9 h 6 )
3 h (9 h ) ( 2 9 h 6 )
4
3 9 h ( 2 9 h 6 )
lim
h 0
9 h 9 3 donc lim
h 0
4
3 9 h ( 2 9 h 6 )
4
3 3 (2 3 6) 1 27 Ainsi, f est dérivable en 9 et f (9) 1
27 . 2. Soit h un réel non nul.
f(5 h) f(5) h
1 6 h
1 6
h
h 6(6 h )h
1 6(6 h ) lim( h 0; 1/(6(6+h ))= 1/36
donc f est dérivable en 5 et f (5) 1 36 . 3. Soit h un réel non nul.
f
12
h 3
3 2h
2
3
94
3h h ² et f
1 24 3 Alors f
12
h f
1 29 ( 9 12 h 4 h² ) 3
94
3h h ²
12h 4h ²
274
9 h 3 h² Et donc
f
12
h f
1 2h
12 4 h
274
9 h 3 h² lim
h 0
12 4 h 12 et lim
h 0
27
4
9h 3 h² 27
4 donc lim
h 0
f
12
h f
1 2h 12
27 4
16 9 Ainsi, f est dérivable en 1
2 et f (9) 16 9 .
II. Soient f la fonction définie sur par f (x ) 2x
34 x² x et C
fsa courbe dans un repère.
1. Soient a un réel et h un réel non nul.
f (a h) f( a) 2(a h )
34( a h)² ( a h ) 2 a
34a² a
2 a
36a² h 6 ah ² 2h
34a² 8ah 4h ² a h 2a
34a ² a 6 a ²h 6ah ² 2h
38 ah 4 h² h h (6a ² 6ah 8a 4h 1) Alors, f(a h) f( a)
h 6 a² 6ah 8 a 4 h 1 lim
h 0
6a ² 6ah 8a 4 h 1 6 a² 8a 1. Ainsi, f est dérivable en a et f (a) 6 a² 8a 1.
2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d abscisse a est f (a).
Une droite est horizontale ssi son coefficient directeur est 0.
La tangente à la courbe de f au point d abscisse a est horizontale ssi f ( a) 0 ssi 6a² 8a 1 0 10 donc l équation a deux solutions : x
14 10
6 et x
24 10
6 .
Il exis te d eux points de l a cou rb e d e f en lesquels la tangente est horizontale : ce sont les points d’abscisses 4 10
6 et 4 10
6 .
3. Deux droites sont parallèles ssi elles ont le même coefficient directeur.
La droite d équation y 9x 3 a pour coefficient directeur 9.
La tangente à la courbe de f au point d abscisse a est parallèle à ssi f (a ) 9 ssi 6 a² 8a 1 9 ssi 6 a² 8a 10 0 176 0 donc l équation n a pas de solution.
Il n existe pas de points de la courbe de f en lesquels la tangente à la courbe est parallèle à la droite d équation y 9x 3.
4. T a pour équation y f
3 2
x
32
f
3 2f
3
2 6
3 2 ² 8
32
1 5
2 et f
3 23 4 Ainsi, T a pour équation y 5
2
x
32
