DEVOIR A LA MAISON N°8. 1S1 Pour le lundi 19 novembre 2018.

DEVOIR A LA MAISON N°8. 1S1

Pour le lundi 19 novembre 2018.

I. a, b et c sont trois nombres positifs tels que a b c. On pose A a

1 a et B b 1 b

c 1 c. 1. Calculer A B.

2. Quel est le signe de a b c ? Pourquoi ? 3. Quel est le signe de 2b c, de –abc ? Pourquoi.

4. Comparer A et B. II. Facultatif

1. Montrer que pour tout entier naturel n : 1

n 1 n

n 1 n. 2. En déduire que, pour tout entier naturel n : 1 1

2 1

1

3 2 … 1

n 1 n

n 1.

III. Une urne contient trois jetons numérotés de 1 à 3.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

Partie A.

On choisit un jeton dans l urne, on note son numéro, on pose le jeton à côté de l urne, on pioche un nouveau jeton dont on note le numéro.

1. Représenter la situation par un arbre.

2. Déterminer la probabilité d obtenir deux jetons numérotés 1.

3. Déterminer la probabilité d obtenir au moins une fois un jeton numéroté 1.

Partie B.

On recommence la même expérience en remettant le 1^er jeton dans l urne avant de piocher le second.

1. Représenter la situation par un arbre.

2. Déterminer la probabilité d obtenir deux jetons numérotés 1.

3. Déterminer la probabilité d obtenir au moins une fois un jeton numéroté 1.

Partie C.

Dans cette partie, l urne ne contient que 2 jetons numérotés 1 et 2. On recommence l expérience de la partie B en choisissant successivement et avec remise 10 jetons.

Quelle est la probabilité d obtenir au moins une fois un jeton numéroté 1 ?

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°8 1S1.

I. a, b et c sont trois nombres positifs tels que a b c. On pose A a

1 a et B b 1 b

c 1 c.

1. A B a

1 a b 1 b

c 1 c

a(1 b)(1 c) b(1 a)(1 c) c(1 a)(1 b) (1 a)(1 b)(1 c)

A B a b c 2b c abc (1 a)(1 b)(1 c) 2. a b c donc a b c 0

3. a, b et c sont des nombres positifs donc 2b c et abc sont négatifs : 2bc 0 et abc 0.

4. D après les questions 2 et 3, a b c 2bc abc 0 (car somme de trois nombres négatifs).

D autre part, a, b et c sont positifs donc (1 a)(1 b)(1 c) 0.

Ainsi, a b c 2b c abc

(1 a)(1 b)(1 c) 0, c'est-à-dire A B 0. On a donc A B.

II.

1. Soit n un entier naturel.

1

n 1 n

1

(

) (

) (

)

= n 1 n

(

)

(

)

n et n 1 étant positifs, n 1² n 1 et n² n

Ainsi , 1

n 1 n

n 1 n

n 1 n n 1 n

2. Soit n un entier naturel. D après la question 3 :

1 1

2 1

1

3 2 … 1

n 1 n 1

(

) (

)

(

)

1 2 1 3 2 … n n 1 n 1 n

n 1 III.

Partie A.

1. On peut construire l arbre : Il y a 6 issues équiprobables.

2. La probabilité d obtenir deux jetons numérotés 1 est 0 puisqu on ne remet pas le 1^er jeton.

3. La probabilité d obtenir au moins une fois un jeton numéroté 1 est 4 6

2 3. Partie B.

1. On peut construire l arbre : Il y a 9 issues équiprobables.

1

2

3

2

1

3

3

1

2

1

1

2

3

2

1

2

3

3

1

2

3

2. La probabilité d obtenir deux jetons numérotés 1 est 1

9 (seul le 1^er chemin convient).

3. La probabilité d obtenir au moins une fois un jeton numéroté 1 est 5 9. Partie C.

On peut construire le début d un arbre :

Il y a 2 2 2 … 2 2¹⁰ issues équiprobables.

La probabilité de n obtenir aucun jeton numéroté 1 est 1 2¹⁰.

La probabilité d obtenir au moins une fois un jeton numéroté 1 est donc 1 1 2¹⁰

1023 1024.

1

1

2

1 2

2

1 2

2

1

1 2

2

1 2

2

1

1

1 2

2

1 2

2

1

1 2

2

1 2