Terminale S
Anne-Sophie P
HILIPPEB A
C
A
3A
4A
2A
1B
3B
4B
1C
3C
4C
2Table des matières
1 Suites 2
1.1 Rappels sur les suites. . . 2
1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques . . . 2
1.3 Démonstration par récurrence . . . 3
1.4 Limite d’une suite . . . 3
1.5 Suites adjacentes . . . 5
2 Les fonctions 6 2.1 Les limites d’une fonction . . . 6
2.2 Opérations sur les limites . . . 7
2.3 Propriétés des limites . . . 7
2.4 Continuité . . . 8
2.5 Dérivation . . . 11
3 Fonction exponentielle et équation différentielle 11 4 Fonction logarithme népérien 12 5 Fonctions puissances et croissances comparées 13 5.1 Fonctions puissancesxnet x1n . . . 13
5.2 Fonctions racinenième. . . 14
5.3 Croissances comparées . . . 14
5.4 Fonctions exponentielles de base. . . 15
6 Les produits scalaires 16 6.1 Produits scalaires dans le plan . . . 16
6.2 Produits scalaires dans l’espace . . . 17
7 Représentation analytique d’une droite de l’espace 18 8 Les nombres complexes 19 8.1 Introduction aux nombres complexes. . . 19
8.2 Calculs avec les nombres complexes. . . 19
8.3 Equation du second degré à coefficients réels . . . 20
8.4 Module et argument d’un nombre complexe . . . 21
8.5 Propriétés du module et des arguments. . . 22
8.6 Lien avec le plan complexe. . . 23
8.7 Notation exponentielle . . . 24
8.8 Nombres complexes et transformations . . . 24
9 Intégration 25 9.1 Intégration des fonctions . . . 25
9.2 Propriétés de l’intégrale. . . 26
9.3 Primitive . . . 27
9.4 Intégrale et primitive . . . 28
9.5 Intégration par parties. . . 28
10 Les probabilités 29 10.1 Introduction aux probabilités . . . 29
10.2 Calculs de probabilités . . . 29
10.3 Variable aléatoire . . . 30
Fiches de Mathématiques TABLE DES MATIÈRES
11 Dénombrement et lois de probabilité 31
11.1 Dénombrement. . . 31 11.2 Exemples de lois discrètes . . . 32 11.3 Lois de probabilité continue. . . 33
12 Probabilités conditionnelles 34
12.1 Les probabilités conditionnelles . . . 34 12.2 Indépendance . . . 34
Fiches de Mathématiques 1 SUITES
1 Suites
1.1 Rappels sur les suites Variations d’une suite
∗La suite(un)n∈Nest croissante à partir du rangn0si et seulement si, pour toutn¾n0,un+1¾nn.
∗La suite(un)n∈Nest décroissante à partir du rangn0si et seulement si, pour toutn¾n0,Un+1¶Un.
∗Une suite(un)n∈Nest dite monotone si elle est croissante ou décroissante.
Etude du sens de variation d’une suite
∗Etude du signe deun+1−un.
∗un= f(n), si f est monotone sur[0;+∞], alors la suite(un)n∈Nest monotone, de même variation que f (formule explicite).
∗Si(un)n∈Nest strictement positive, on peut comparer un+1 un et 1.
Si un+1
un >1,(un)n∈Nest strictement croissante.
Si un+1
un <1,(un)n∈Nest strictement décroissante.
Suites majorées, minorées, bornées...
∗La suite(un)n∈Nest majorée s’il existe un réelMtel que pour tout entiern,un¶M.
∗La suite(un)n∈Nest minorée s’il existe un réelmtel que pour tout entiern,un¾m.
∗La suite(un)n∈Nest bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques Suites arithmétiques
∗Une suite(un)n∈Nest arithmétique s’il existe un réelr (la raison) indépendant dentel que, pour tout n∈N,
un+1=un+r .
∗Pour tous entiersnet p,un=up+ (n−p)×r.
∗un=u0+n.r.
∗ lim
n→+∞un=
+∞, si r >0
−∞, si r <0
∗Somme de termes consécutifs :
(nombre de termes)×1erterme×dernier terme 2
Exemple :
1+2+...+n= n×(n+1) 2
Fiches de Mathématiques 1 SUITES
Suites géométriques
∗Une suite(un)n∈Nest géométrique s’il existe un réelq(la raison) indépendant dentel que, pour tout n∈N,
un+1=un+q .
∗Pour tous entiersnet p,un=up×qn−q.
∗un=u0×qn.
∗ lim
n→+∞qn=
+∞, siq>1 0, si 0<q<1
∗Somme de termes consécutifs :
(1ertermes)×1−qnombre de termes
1−q Exemple :
1+q1+q2+...+qn=1×1−qn+1 1−q Attention : nombre de termes=n+1−1erterme
1.3 Démonstration par récurrence Démonstration par récurrence
Pour démontrer que pour tout entiern¾n0,Pn(proposition qui dépend den) est vraie, il faut :
∗Initialisation: vérifier quePn0est vraie pourn0¾0.
∗Hypothèse de récurrence: considérer quePkest vraie pour un certain entierk¾n0.
∗Propriété d’hérédité: démontrer quePn+1est vraie.
∗Conclusion: pour toutn¾n0,Pnest vraie.
1.4 Limite d’une suite
Limites d’une suite numérique(un)n∈N
∗La suite(un)n∈Nconverge vers un réelℓ. Ceci signifie que tout intervalle contenantℓcontient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p.
n→+∞lim un=ℓ (un)n∈Nest convergente et converge versℓ.
∗La suite(un)n∈Na pour limite+∞. Cela signifie que tout intervalle ouvert]A;+∞[contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. La suite est divergente.
∗La suite(un)n∈Na pour limite−∞. Ceci signifie que tout intervalle ouvert]−∞;B[contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang p. La suite est divergente.
∗La suite(un)n∈Nn’admet aucune limite. La suite est divergente.
Fiches de Mathématiques 1 SUITES
Suites monotones
∗Si une suite(un)n∈Nest croissante et non majorée, alors :
n→lim+∞un= +∞
∗Si une suite(un)n∈Nest décroissante et non minorée, alors :
n→+∞lim un=−∞
∗Une suite croissante et majorée est convergente.
∗Une suite décroissante et minorée est convergente.
ROC 1 : limite d’une suite croissante non majorée
∗La suite(un)n∈Nn’est pas majorée : quelque soit le réelA, on peut trouver un entier ptel queup¾A.
∗La suite(un)n∈Nest croissante. Pour toutn¾ p:
¨ un¾up un>A .
∗A partir du rang p, tous les termes de la suite sont dans]A;+∞[.
∗Conclusion : par définition, cela prouve :
n→lim+∞un= +∞
ROC 2 : limite d’une suite décroissante non minorée
∗La suite(un)n∈Nn’est pas minorée : quelque soit le réelB, on peut trouver un entierptel queup¶B
∗La suite(un)n∈Nest décroissante. Pour toutn¾p:
¨ un¶up un<B .
∗A partir du rang p, tous les termes de la suite sont dans]−∞;B[.
∗Conclusion : par définition, cela prouve :
n→lim+∞un=−∞
ROC 3 : limite d’une suite croissante et majorée
∗Soit la suite(un)n∈N, croissante et majorée par un réelM. NotonsA, le plus petit des majorants.
∗Tout intervalle ]A−α;A+α[ contient au moins un terme up de la suite. Sinon, A−α serait un majorant de la suite, ce qui contredit le fait queAsoit le plus petit des majorants.
∗La suite(un)n∈Nest croissante : pour toutn¾ p,un¾up.
∗Conclusion: l’intervalle]A−α;A+α[contient tous les termes de la suite à partir du rang p. Ceci est vrai, quel que soit le réelα >0.
Par définition, la suite(un)n∈Nconverge et à pour limiteA.
Fiches de Mathématiques 1 SUITES
ROC 4 : limite d’une suite décroissante et minorée
∗Soit la suite(un)n∈Ndécroissante et minorée par un réelm. NotonsB, le plus grand des minorants.
∗Tout intervalle ]B−α;B+α[contient au moins un terme up de la suite. Sinon, B+α serait un minorant de la suite, ce qui contredit le fait queB soit le plus grand des minorants.
∗La suite(un)n∈Nest décroissante : pour toutn¾p,un¶up.
∗Conclusion: l’intervalle]B−α;B+α[contient tous les termes de la suite à partir du rang p. Ceci est vrai, quelque soit le réelα >0.
Par définition, la suite(un)n∈Nconverge et à pour limiteB. Limite d’une suite géométrique
∗Soit(un)n∈N, une suite géométrique de raisonqnon nulle.
Pour tout entiern:
un=u0×qn
∗Si|q|<1, lim
n→+∞qn=0
∗Siq>1, lim
n→+∞qn= +∞
∗Siq=1, lim
n→+∞qn=1
∗Siq¶−1,qnn’a pas de limite.
Théorème d’encadrement (« des gendarmes ») Soient trois suites(un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈Ntelles que :
∀n¾n0,
vn¶un¶wn
n→lim+∞vn=ℓ
n→lim+∞wn=ℓ
lim
n→+∞un=ℓ
1.5 Suites adjacentes Théorème et définition
Deux suites(un)n∈Net(vn)n∈Nsont adjacentes si et seulement si :
∗(un)n∈Nest croissante.
∗(un)n∈Nest décroissante.
∗ lim
n→+∞un−vn=0
Théorème: Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite.
Fiches de Mathématiques 2 LES FONCTIONS
2 Les fonctions
2.1 Les limites d’une fonction Définitions
∗Limite finie d’une fonction en+ou− ∞: présence d’une assymptote horizontale (d’équationy=ℓ) àCf en+ou − ∞.
x→lim+∞
1 xn =0
x→+∞lim p1
x =0
∗Limite infinie d’une fonction à l’infini. Pas d’assymptote.
x→lim+∞xn= +∞
x→+∞lim
px= +∞
x→−∞lim xn= +∞(npair)
x→+∞lim xn=−∞(nimpair)
∗Cas particulier :
x→+∞lim f(x)−(a x+b) =0 La droite d’équationy=a x+best assymptote oblique àCf en+∞.
∗Limite de f(x)quandxtend versaen+∞: présence d’une assymptote verticale (x=a) àCf.
x→0lim+ 1
xn = lim
x→0−
1
xn= +∞(npair)
x→0lim+ 1
xn = +∞et lim
x→0−
1
xn =−∞(nimpair)
∗Limite finie de la fonction en un réela. lim
x→af(x) =ℓ
Fiches de Mathématiques 2 LES FONCTIONS
2.2 Opérations sur les limites Formes indéterminées
x→αlimf = +∞
x→αlimg=−∞
lim
x→αf +g est indéterminée
x→limαf =±∞
x→αlimg=0
lim
x→αf ×g est indéterminée
x→αlimf =±∞
x→limαg=±∞
lim
x→α
f
g est indéterminée
x→αlimf =0
x→αlimg=0
lim
x→α
f
g est indéterminée
Limite d’une fonction polynôme ou d’une fonction rationnelle
∗Règle 1: en±∞, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
∗Règle 2: en±∞, la limite d’une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est égale à la limite du quotient du terme de plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.
Composé de deux fonctions
On notef, la composé deu suivie dev :
f =v◦u
x→alimu(x) =b
x→blimv(x) =c
lim
x→av◦u(x) =c
Remarque: vérifier les domaines de définition.u, définie sur l’intervalleI etv définie sur l’intervalle J tel que :∀x∈I,u(x)∈J
2.3 Propriétés des limites Unicité
Si f admet une limite enα, alors, cette limite est unique.
Fiches de Mathématiques 2 LES FONCTIONS
Théorèmes de comparaison
∗Théorème 1: au voisinage deα, Si f(x)¾u(x)et lim
x→αu(x) = +∞, alors, lim
x→αf(x) = +∞(1) Si f(x)¶v(x)et lim
x→αu(x) =−∞, alors, lim
x→αf(x) =−∞(2)
∗Démonstrations (ROC)
(1) Soit,α= +∞. Tout intervalle]M;+∞[, oùMest un réel, contient tous lesu(x)pourxassez grand.
Or, au voisinage de α, f(x) ¾ u(x). Donc, pour x assez grand, tous les f(x) sont contenus dans ]M;+∞[.
Par définition,
x→lim+∞f(x) = +∞
(2) Idem
∗Théorème 2: au voisinage deα, Si lim
x→α|f(x)−ℓ|¶u(x)et lim
x→αu(x) =0 Alors, lim
x→αf(x) =ℓ.
∗Théorème 3 : Théorème des gendarmes: au voisinage deα Siu(x)¶ f(x)¶v(x)et lim
x→αu(x) =lim
x→αv(x) =ℓ, alors, lim
x→αf(x) =ℓ.
∗Démonstration (ROC) Soit,α= +∞.
Pourx>A:u(x)¶ f(x)¶v(x)
x→+∞lim u(x) =ℓsignifie que pourx>B,u(x)∈I avecI intervalle contenantℓ.
x→+∞lim v(x) =ℓsignifie que pourx>C,v(x)∈I. PrenonsM le plus grand des nombresA,B,C.
∀x¾M,on a
u(x)¶ f(x)¶v(x) u(x)∈I
v(x)∈I Doncf(x)∈I.
Par définition, lim
x→+∞f(x) =ℓ.
∗Comptabilité avec l’ordre
Au voisinage deα: si f(x)¶g(x)et lim
x→αf(x) =ℓet lim
x→αg(x) =ℓ′ Alors,ℓ¶ℓ′
2.4 Continuité
Définitions et théorèmes
∗Si f est continue ena:
x→alim−f(x) = lim
x→a+f(x) = f(a) .
∗Si f est dérivable ena∈I, alors f est continue ena.
∗Si f est dérivable surI, alors f est continue surI.
Remarque: la réciproque est fausse, une fonction continue n’est pas toujours dérivable.
Fiches de Mathématiques 2 LES FONCTIONS
Démonstration (ROC) toute fonction dérivable est continue f est dérivable enasignifie que,
limx→a
f(x)−f(a)
x−a = f′(a) Soitg, la fonction définie sur un voisinage deapar :
g(x) = f(x)−f(a) x−a avecx6=a
f(x) = (x−a)×g(x) +f(a)
x→alimx−a=0 et lim
x→ag(x) =f′(a) Donc lim
x→af(x) =f(a)
Par définition, f est continue ena.
Cas particuliers
∗Les fonctions polynômes sont continues surR.
∗Les fonctions rationnelles sont continues sur chacun des intervalles du domaine de définition.
∗Les fonctions sinus et cosinus sont continues surR
∗Toute fonction construite par addition, multiplication ou composition de fonctions continues est une fonction continue.
∗La fonction racine carrée est définie sur[0;+∞[et est dérivable sur]0;+∞[.
Selon le théorème, cette fonction est continue sur]0;+∞[.
Mais, sa limite en 0 est 0 donc elle est continue sur[0;+∞[.
Fiches de Mathématiques 2 LES FONCTIONS
Nombre dérivé
limh→0
f(a+h)−f(a)
h =ℓ
f(a+h) =f(a) +ℓh+hϕ(h)avec lim
h→0ϕ(h) =0
Si ces propositions sont vraies, f est dérivable enaetℓest le nombre dérivé de f enanoté f′(a).
Si f est dérivable en a, la courbeCf admet au point A(a;f(a)) une tangente T dont le coefficient directeur estf′(a). L’équation deT est :
y=f′(a)×(x−a) +f(a)
Si la limite du taux d’accroissement entreaeta+hde f est±∞, alors f n’est pas dérivable. Il y a pas de tangente verticale ena.
Si les limites sont différentes à droite et à gauche, alors f n’est pas dérivable en a. Il y a un point anguleux ena.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a;b], alors, pour tout réelk compris entre f(a)et f(b), il existe au moins un réelcappartenant à[a;b]tel que
f(c) =k.
L’équationf(x) =k admet au moins une solution dans[a;b].
Théorème de bijection ou corollaire du theorème des valeurs intermédiaires Si f est continue et strictement croissante sur[a;b], f([a;b]) = [f(a);f(b)].
Alors,
∀y∈[f(a);f(b)], il existe un et un seul réelc∈[a;b]tel quef(c) =y. L’équationf(x) =y admet une et une seule solution dans[a;b].
Idem pour une fonction strictement décroissante.f([a;b]) = [f(b);f(a)].
Toute fonction continue et strictement monotone sur un intervalle donné réalise une bijection...
Démonstration (ROC)
∗Supposons f continue et strictement croissante sur[a;b].
∗Existence :
f est continue sur[a;b]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires,∀y∈[f(a);f(b)], l’équation f(x) =y admet au moins une solution.
∗Unicité :
Supposons quef(c1) = f(c2) =yavecc1<c2. f est strictement croissante sur[a;b], alors pourc1<c2 on af(c1)< f(c2).
Cela contredit la suppositionf(c1) =f(c2) =y. Donc, il existe un seul réelctel que f(c) =y.
Fiches de Mathématiques 3 FONCTION EXPONENTIELLE ET ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
2.5 Dérivation Rappels
∗f est constante si et seulement si f′est nulle.
∗f est croissante si et seulement si f′est positive.
∗f est décroissante si et seulement si f′est négative.
∗Si f(a)est un extremum local de f enaalors,f′(a) =0. (réciproque fausse)
∗Si f′s’annule et change de signe enaalors,f(a)est un extremum local.
Dérivée d’une fonction composée
g dérivable surJ et udérivable surI tels que :∀x∈I,u(x)∈J.
Alors, f =g◦uest dérivable surI et on a(g◦u)′(x) =g′(u(x))×u′(x) (g◦u)′= (g′◦u)×u′
Exemples importants
u, fonction positive et dérivable surI.
∗f =p
uest dérivable et donne :(p
u)′=2pu′ u.
∗f =unest dérivable et donne :(un)′=n×un−1×u′
3 Fonction exponentielle et équation différentielle
Définition
On dit quef, fonction dérivable sur un intervalleI, est solution de l’équation différentielley′=k.y, lorsque∀x∈I, f′(x) =k.f(x).
Fonction exponentielle
Il existeune et une seule fonctiondérivable surRtelle quey′=yety(0) =1 (condition initiale). C’est la fonction exponentielle.
∗(exp)′=exp ∗ea+b=ea×eb
∗e2a= [ea]2 ∗e−a= e1a
∗ea−b= ea
eb ∗(ea)n=en.a
∗e0=1
∗La fonction exponentielle est strictement croissante surR
∗ lim
x→+∞ex= +∞et lim
x→−∞ex=0
∗lim
h→0 eh−1
h =1
∗ lim
x→+∞
ex
x = +∞et lim
x→−∞x.ex=0
∗ lim
x→+∞
ex
xn = +∞et lim
x→−∞xn.ex=0
∗Fonction composéeeu.(eu)′=u′.eu
Fiches de Mathématiques 4 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Equationy′=a.y
L’ensemble des solutions dansRde l’équationy′=ayest l’ensemble des fonctions x7→c.eax
oùcest un réel quelconque.
Il existeune unique solutionvérifiant la condition initialey′(x0) =y0. Equationy′=ay+b
Les solutions de l’équation(E):y′=a.y+b sont les fonctions définies surR, de la forme f −ba où f est solution dey′=ay. C’est-à-dire
x7→C eax− b a oùC ∈R. Siy(x0) =y0,(E)admetune uniquesolution.
4 Fonction logarithme népérien
Propriétés
∗ln(1) =0 ∗ln(e) =1
∗eln(a)=a ∗ln(ea) =a
∗ln(a×b) =ln(a) +ln(b) ∗lna
b
=ln(a)−ln(b)
∗ln1
a
=−ln(a) ∗lnp
a= 12ln(a)
∗ln(an) =n×ln(a) Etude de la fonction
∗La fonction ln est définie et continue sur]0;+∞[.
∗ ∀x∈]0;+∞[, ln′(x) = 1x.
∗La fonction ln est croissante sur]0;+∞[.
∗ lim
x→+∞ln(x) = +∞et lim
x→0ln(x) =−∞
∗ lim
x→+∞
ln(x)
x =0 et lim
x→0x.ln(x) =0
∗lim
x→1 ln(x)
x−1 =1 et lim
x→0 ln(x+1)
x =1
Fiches de Mathématiques 5 FONCTIONS PUISSANCES ET CROISSANCES COMPARÉES
Démonstration (ROC) Soita>0, démontrons que lim
h→0
ln(a+h)−ln(a)
h = 1a ou lim
x→0
ln(a)−ln(x) a−x = 1a. PosonsA=ln(a),a=eAetX =ln(x),x=eX.
ln(a)−ln(x)
a−x = A−X
eA−eX = eA1
−eX A−X
.
Comme ln est continue sur]0;+∞[, lim
x→aln(x) =ln(a).
X→ln(a)lim
eA−eX A−X = lim
X→A eA−eX
A−X =exp′(A) =exp(A) =exp(ln(a)) =a.
x→alim
ln(a)−ln(x) a−x = lim
X→A 1
eA−eX A−X
=1a.
D’où ln est dérivable ena>0 et ln′(a) =a1. Fonctionln◦u
(ln◦u)′(x) = u′(x) u(x) Fonction logarithme décimale
log(x) =ln(10)ln(x)
Cette fonction a les mêmes propriétés algébriques que ln.
5 Fonctions puissances et croissances comparées
5.1 Fonctions puissances xn et x1n
La fonctionxn
∗Sinest pair, pour tout réelx, fn(−x) = fn(x)donc fnest paire.
∗Sinest impaire, fnest impaire.
∗f′(x) =n.xn−1
∗fnest croissante surR.
Fiches de Mathématiques 5 FONCTIONS PUISSANCES ET CROISSANCES COMPARÉES
La fonction x1n
∗gnest définie surR∗.
∗Sinest pair, gn(−x) =gn(x)donc gnest impaire.
∗gn′(x) = n+1−n
∗gnest décroissante sur]0;+∞[
5.2 Fonctions racinenième Définitions
La fonction racinenièmeest définie sur[0;+∞[par x7→x1n = pn
x .
La fonction racinenièmeest dérivable sur]0;+∞[et sa dérivée est : x7→ 1
nx1n−1 La fonction racinenièmeest continue sur]0;+∞[.
limx→0x1n =lim
x→0e1nlnx Or
x→0lim+ 1
nlnx=−∞et lim
x→−∞eX =0 Donc
x→0limx1n =0 La fonction racinenièmeest croissante et continue sur[0;+∞[.
5.3 Croissances comparées
∀n¾1, lim
x→+∞
lnx
xn =0 et lim
x→+∞
ex
xn = +∞
∀n¾1, lim
x→0xnlnx=0 et lim
x→−∞xnex=0
Fiches de Mathématiques 5 FONCTIONS PUISSANCES ET CROISSANCES COMPARÉES
5.4 Fonctions exponentielles de base Définition
fa(x) =ax=exlna Sia=1, f(a)est la fonction constante dégale à1.
Sia=e, fe est la fonction exp Dérivabilité
faest dérivable surR:
fa′(x) =lna×ex.lna=lna×ax Si 0<a<1 alors, lna<0 donc fa′<0. faest décroissante surR. Sia<1 alors, lna>0 donc fa′>0. faest croissante surR. Limites
∗Si 0<a<1
⇒ lim
x→+∞xlna=−∞
Xlim→−∞eX =0 donc lim
x→+∞ax=0
⇒ lim
x→−∞xlna= +∞
Xlim→+∞eX = +∞donc lim
x→−∞ax= +∞
∗Sia>1
⇒ lim
x→+∞xlna= +∞
Xlim→+∞eX = +∞donc lim
x→+∞ax= +∞
⇒ lim
x→−∞xlna=−∞
Xlim→−∞eX =0 donc lim
x→−∞ax=0
Fiches de Mathématiques 6 LES PRODUITS SCALAIRES
6 Les produits scalaires
6.1 Produits scalaires dans le plan Propriétés
∗Si−→u et−→v sont non nuls, alors,
−→u · −→v =||−→u || × ||−→v || ×cos(−→u · −→v )
∗ −→u · −→v =x x′+yy′
∗ −→u · −→v =12 ||−→u +−→v ||2− ||−→u ||2− ||−→v ||2
∗ k−→u
· −→v =k −→u · −→v
=−→u k−→v
∗ −→u · −→v +−→w
=−→u · −→v +−→u · −→w
∗Dire que deux vecteurs sont orthogonaux signifie que l’un des deux est nul ou que les segments sont perpendiculaires.−→u · −→v =0
Théorème
∗Théorème d’Al Kashi: dans un triangle ABC, (longueurs a,b,c), a2=b2+c2−2a b×cos(A)b
∗Théorème de la médiane:I milieu de[AB], M A2+M B2=−→
M A2+−→M B2=2M I2+1 2AB2
Définitions
∗Une droite de vecteur normal−→n(a;b)a une équation de la formea x+b y+c=0 oùc, est un réel. Et réciproquement, l’ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient l’équationa x+b y+c=0 est une droite de vecteur normal−→n(a;b).
∗La distance du pointAà la droited est égale à
AH= |a xA+b yA+c| pa2+b2
oùHest le projeté orthogonal deAsurd.
∗ C est le cercle de centreI(α;β)et de rayonR. Une équation deC est (x−α)2+ (y−β)2=R2
avecR2=I M2.
∗Le cercleC de diamètre[AB]est l’ensemble des pointsMtels que :−→
M A·−→M B=0.
Fiches de Mathématiques 6 LES PRODUITS SCALAIRES
6.2 Produits scalaires dans l’espace Définitions
P, plan ;(O;~ı;~), un repère orthonormal de ce plan ;~k, vecteur normal àP. ||~ı||=||~||=||~k||=1 et
~ı~=~ı~k=~~k=0.(~ı,~,~k), base orthonormale de l’espace.
Produit scalaire dans une base orthonormale
∗ −→u (x;y;z)et−→v (x′;y′;z′)
∗ −→u · −→v =x x′+yy′+z z′
∗ ||−→u ||=Æ
x2+y2+z2
∗A(xA;yA;zA)etB(xB;yB;zB) AB=Æ
(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2
Equation cartésienne d’un plan dans un repère orthonormal Dans un repère orthonormal :
∗Un plan de vecteur normal−→n(a;b;c)a une équation de la forme a x+b y+c z+d =0
∗L’ensemble des point de l’espace dont les coordonnées vérifient l’équationa x+b y+c z+d =0 est un plan de vecteur normal−→n(a;b;c)
Distance d’un point à un plan
P, plan d’équationa x+b y+c z+d =0 etA(xA;yA;zA), point de l’espace. Distance deAàP :
AH= |a xA+b yA+c yA+d| pa2+b2+c2
oùH est le projeté orthogonal deAsurP. Demi-espace
∗L’ensemble des points M(x;y;z)de l’espace tels quea x+b y+c z+d ¾0 (respectivement>0) est un demi-espace fermé (respectivement ouvert) de frontière le planP.
∗L’ensemble des points M(x;y;z)de l’espace tels quea x+b y+c z+d ¶0 (respectivement<0) est un demi-espace fermé (respectivement ouvert) de frontière le planP.
Plan médiateur d’un segment
L’ensemble des points de l’espace équidistants deAet deB est un plan passant par le milieu de[AB]et perpendiculaire à la droite(AB): plan médiateur de[AB].
Fiches de Mathématiques 7 REPRÉSENTATION ANALYTIQUE D’UNE DROITE DE L’ESPACE
Plans parallèles et perpendiculaires
P:a x+b y+c z+d=0 etQ:a′x+b′y+c′z+d′=0
Les plansP etQ sont parallèles ssi les triplets(a;b;c)et(a′;b′;c′)sont proportionnels (vecteurs nor- maux colinéaires).
Les plansP etQsont perpendiculaires ssiaa′+b b′+c c′=0 (vecteurs normaux orthogonaux).
Sphère et produit scalaire
La sphère de centreI(α;β;γ)et de rayonRa pour équation : (x−α)2+ (y−β)2+ (z−γ)2=R2
La sphère de diamètre[AB]est l’ensemble des pointsM de l’espace tels que−→
M A·−→M B=0.
7 Représentation analytique d’une droite de l’espace
Représentation paramétrique d’une droite
D, une droite de l’espace passant parA(aA;yA;zA)et de vecteur directeur−→u (a;b;c).
M(x;y;z):−→
AMet−→u sont colinéaires.−→
AM=t−→u .
x−xA=a.t y−yA=b.t
z−zA=c.t ⇐⇒ (S)
x=xA+a.t y=yA+b.t z=zA+c.t Le système(S)est une représentation paramétrique de la droiteD.
Système de deux équations cartésiennes représentant une droite SoitP, le plan d’équationa x+b y+c z+d =0, de vecteur normal−→n(a;b;c).
SoitQ, le plan d’équationa′x+b′y+c′z+d′=0, de vecteur normal−→n(a′;b′;c′).
Supposons que−→
n′ et−→n ne sont pas colinéaires. DoncP etQsont sécants ; soitDla droite d’intersec- tion des plansP etQ.
La droiteDest représentée par le système
a x+b y+c z+d =0 a′z+b′y+c′z+d′=0 Réciproquement, si les vecteurs−→n(a;b;c)et−→
n′(a′;b′;c′)ne sont pas colinéaires, l’ensemble des points M(x;y;z)tels que
a x+b y+c z+d =0
a′z+b′y+c′z+d′=0 est une droite. C’est l’intersection des plans d’équations respectivesa x+b y+c z+d=0 eta′x+b′y+c′z+d′=0.
Fiches de Mathématiques 8 LES NOMBRES COMPLEXES
8 Les nombres complexes
8.1 Introduction aux nombres complexes Définitions
Un nombre complexe est un nombre de la formex+iy, où xety désignent des réels et i un nombre imaginaire vérifiant i2=−1. L’ensemble des complexes est notéC.
Soit, un pointMde coordonées(x;y), le nombre complexex+i.yest l’affixe du pointMou du vecteur
−−→OM.
zM =x+i.youzO M=x+i.y Le pointM(x;y)est l’image du nombrex+i.y.
Le plan de repère orthonormal direct(O,−→u ,−→v )est appelé plan complexe.
Forme algébrique
∗Tout nombrezadmet une unique écriture de la formex+i.y(forme algébrique) avec : x, partie réelle deznotée Re(z).
y, partie imaginaire deznotée Im(z).
∗Si z∈Ralors, Im(z) =0.
∗Si zest un imaginaire pur, Re(z) =0.
∗Si z=z′, Re(z) = Re(z′), Im(z) =Im(z′).
∗Si z=0, Re(z) =Im(z) =0.
Conjugué
Le conjugué dezest le nombrez=x−i.y.
∗z=z
∗z+z=2×Re(z)
∗z−z=i×2Im(z)
∗z.z=x2+y2
∗Si,z∈Ralors z=z
∗Si,zest imaginaire pur, alors,z=−z
8.2 Calculs avec les nombres complexes Sommes et produits
z+z′= (x+x′) +i(y+y′) k z=k z+iky
z z′=x x′−yy′+i(xy′+x′y)
−1z=−x−iy=−z z−z′=z+ (−z′)
Fiches de Mathématiques 8 LES NOMBRES COMPLEXES
Inverses et quotients
1 z = z
z z z z′= z z′
z′z′ Avecz.z=x2+y2...
Opérations sur les conjugués
∗Le conjugué d’une somme est égal à la somme des conjugués.
z+z′=z+z′
∗Le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués.
z z′=z.z′
∗Le conjugué d’un quotient est égal au quotient des conjugués.
z z′= z
z′
∗
zn=zn 8.3 Equation du second degré à coefficients réels
Théorème
∆ =b2−4ac
DansC, l’équationa z2+b z+c=0 a toujours des solutions. (si∆ =0,z1etz2sont confondus).
z1= −b−δ
2a et z2=z1= −b+δ 2a avecδ2= ∆
Fiches de Mathématiques 8 LES NOMBRES COMPLEXES
8.4 Module et argument d’un nombre complexe Coordonnées polaires
Les nombres polaires sont notés(r,α).
∗Pourr >0,r =OM.
∗αest une mesure en radian de(−→u ,−−→
OM).
∗Si(r,α)est un couple de coordonées deM, alors les coordonnées cartésiennes(x,y)sont : x=r.cosαety=r.sinα
∗Réciproquement, si M a pour coordonnées cartésiennes(x,y) alors les coordonnées polaires(r,α) sont définies par :
r =Æ x2+y2 cosα= x
r et sinα= y r Module d’un nombre complexe
Le modulezest le nombre réel positif noté|z|, défini par|z|=Æ
x2+y2. Dans le plan complexe,|z|=OM
∗Si zest un nombre réelx, alors|z|est la valeur absolue dex.z=p x2.
∗Si|z|=0, alorsz=0.
∗z.z=x2+y2avecz=x+iy, alorsz.z=|z|2. Arguments d’un nombre complexe non nul
Dans le plan complexeza pour image un pointM. L’argument dezest noté argzet correspond à toute mesure en radians de l’angle(−→u ,−−→
OM).
Un nombre complexe a une infinité d’arguments. Siθest l’un d’entre eux, les réelsθ+k2πsont des arguments dez. On note : arg(z) =θ( mod 2πou[2π]) ou arg(z) =θ.
Fiches de Mathématiques 8 LES NOMBRES COMPLEXES
Forme trigonométrique d’un nombre complexe z=r(cosθ+isinθ) avecr >0,r =|z|etθ=arg(z).
∗Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont le même module et le même argument à 2πprès.
∗Si z=ℓ(cosθ+isinθ)(avecℓ >0), alors|z|=ℓet arg(z) =θ( mod 2π).
8.5 Propriétés du module et des arguments Propriétés
∗ |z|=|z|arg(z) =arg(z) [2π].
∗ | −z|=|z|arg(−z) =arg(z) +π[2π].
∗ ∀z∈R, z=0 ou arg(z) =0 ou arg(z) =π[2π].
∗Pourzimaginaire pur, arg(z) =π2 ou arg(z) = −π2 [2π].
Opérations
∗Théorème :
Soitz=r(cosα+i.sinα)et z′=r′(cosβ+i.sinβ)avec r et r′supérieurs à 0.
z z′=r r′(cos(α+β) +i.sin(α+β)) (1) z
z′= r
r′(cos(α−β) +i.sin(α−β)) (2)
∗Démonstration ROC : (1)
z z′= [r(cosα+i.sinα)]×
r′(cosβ+i.sinβ) z z′=r r′(cosα+i.sinα)×(cosβ+i.sinβ)
z z′=r r′×[(cosα.cosβ−sinαsinβ) +i(cosα.sinβ+sinαcosβ)]
z z′=r r′(cos(α+β) +i.sin(α+β)) (2)
z z′ =Z avecZ=ℓ(cosθ+sinθ)
z=z′Z
r(cosα+isinα) =r′ℓ[cos(β+θ) +isin(β+θ)]
⇐⇒
r =r′ℓ
α=β+θ[2Π] ⇐⇒
¨ ℓ= rr′
θ=α−β[2π]
Z= z z′ = r
r′[cos(α−β) +i.sin(α−β)]
Fiches de Mathématiques 8 LES NOMBRES COMPLEXES
Conséquences
Produit |z z′|=|z| × |z′| arg(z z′) =arg(z) +arg(z′) [2π]
Puissance |zn|=|z|navecn∈N arg(zn) =n.arg(z) [2π]
Inverse |1
z|= 1
|z| arg1 z
=−arg(z) [2π]
Quotient |z
z′|= |z|
|z′| argz z′
=arg(z)−arg(z′) [2π]
Inégalité triangulaire
|z+z′|¶|z|+|z′|
8.6 Lien avec le plan complexe Propriétés des affixes
I, milieu de[AB]signifie que :
zI = zA+zB 2 G, barycentre de{(A,α);(B,β);(C,γ)}signifie que :
zG= αzA+βzB+γzC α+β+γ
Propriétés des modules
AetB, deux points d’affixeszAetzB.
∗AB=|zA−zB|
∗SiA6=B, alors(−→u ,−→AB) =arg(zB−zA)[2π]
Conséquences
A,B,C,D quatre points distincts deux à deux d’affixes respectiveszA,zB,zC,zD.
(−→AB,−→
C D) =arg
zD−zC zB−zA
[2π]
Fiches de Mathématiques 8 LES NOMBRES COMPLEXES
8.7 Notation exponentielle Définitions et propriétés
eiθ=cosθ+isinθ
∀z∈C{0}, de module r et d’argumentθ, la forme exponentielle der s’écrit : z=r.eiθ
Propriétés :
∗ |eiθ|=1 et arg(eiθ) =θ
∗eiθ×eiθ′=ei(θ+θ′)
∗ eiθ
eiθ′ =ei(θ−θ′)
∗eiθ=e−iθ
∗(eiθ)n=ei.n.θ
Formules de Moine et d’Euler
∗Formule de Moine :
(cosα+i.sinα)n=cos(n.α) +i.sin(n.α)
(cosα+i.sinα)n=cos(n.α)−i.sin(n.α)
∗Formule d’Euler :
cosα= ei.α+e−i.α 2
sinα= ei.α−e−i.α 2.i Equation paramétrique d’un cercle du plan complexe C, cercle de centreΩ, d’affixeωet de rayonR.M, d’affixez.
M∈ C ⇐⇒il existeθ∈R, tel que :
z=R.ei.θ+ω C’est l’équation paramétrique du cercleC.
8.8 Nombres complexes et transformations Translation
Soit−→w, le vecteur d’affixeb. L’écriture complexe de la translation de vecteur−→w s’écrit : z′=z+b
Fiches de Mathématiques 9 INTÉGRATION
Homothétie
SoitΩ, d’affixeω etk, réel non nul. L’écriture complexe de l’homothétie de centreΩet de rapportk est :
z′=k.(z−ω) +ω
Rotation
SoitΩ, le point d’affixeωetθ, un réel. L’écriture complexe de la rotation de centreΩet d’angleθest : z′=ei.θ.(z−ω) +ω
Démonstration ROC :
Soit,r, la rotation de centreΩet d’angleθ.
∗M6= Ω,M′=r.M
⇐⇒Ω.M = Ω.M′et,(−→ΩM,−−→
ΩM′) =θ
⇐⇒ |z−ω|=|z′−ω|et arg
z′−ω z−ω
=θ
⇐⇒ |z′−ω
z−ω|=1 et arg
z′−ω z−ω
=θ
z′−ω
z−ω est le nombre complexe de module 1 et d’argumentθ.
Donc,
z′−ω z−ω =ei.θ z′−ω=ei.θ.(z−ω) z′=ei.θ.(z−ω) +ω
∗M= Ω⇐⇒z=ωdoncz′=ω.
9 Intégration
9.1 Intégration des fonctions
Intégration d’une fonction positive
∗Soit une fonction f continue et positive sur[a;b]. Le réel noté Z b
a
f(x)dx
est l’aire, en unité d’aire, du domaineD délimité parCf, l’axe des abscisses, les droites d’équations x=aetx=b.aetbsont les bornes de l’intégrale.
∗Valeur moyenne :la valeur moyenne de f sur[a;b]est :
Fiches de Mathématiques 9 INTÉGRATION
Intégration d’une fonction de signe quelconque
∗Soit une fonction f continue et négative sur[a;b].
Z b a
f(x)dx=−aireD
OùD est le domaine délimité parCf, l’axe des abscisses et les droites d’quationx=aetx=b.
∗La valeur moyenne se calcul de la même façon.
9.2 Propriétés de l’intégrale Relation de Chasles
Soitf, fonction continue sur[a;b]etc∈[a;b].
Z c a
f(x)dx+ Zb
c
f(x)dx= Z b
a
f(x)dx
Cas particulier : Z c
a
f(x)dx+ Za
c
f(x)dx= Za
a
f(x)dx=0 Z c
a
f(x)dx=− Za
c
f(x)dx Linéarité
Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx= Z b
a
f(x) +g(x)dx Z b
a
αf(x)dx=α Z b
c
f(x)dx
Positivité
Soitf, fonction continue sur[a;b]aveca¶b. Sif est positive sur[a;b]alors,Rb
a f(x)dx¾0 Si f est positive surI a¶b,Rb
a f(x)dx¾0 a¾b,Rb
a f(x)dx¶0 Si f est négative surI a¶b,Rb
a f(x)dx¶0 a¾b,Rb
a f(x)dx¾0 Conservation de l’ordre
Si f ¶g sur[a;b], alorsRb
a f(x)dx¶Rb
a g(x)dx
Fiches de Mathématiques 9 INTÉGRATION
Inégalité de la moyenne
S’il existe deux réelsmetMtels quem¶ f ¶MsurI et sia¶b, alors : m(a−b)¶
Z b a
f(x)dx¶M(b−a) S’il existe un réelM tel que|f|¶M alors :
Zb a
f(x)dx
¶M|a−b|
9.3 Primitive Définition
Soitf une fonction définie sur un intervalle I deR. On appelle primitive de f surI toute fonctionF dérivable surI telle que, pour toutxdeI,F′(x) = f(x).
Quelques primitives importantes
Fonction Une primitive
f(x) =a F(x) =a.x f(x) =xn F(x) = 1
n+1.xn+1 f(x) = 1
px F(x) =2p x f(x) =cosx F(x) =sinx f(x) =sinx F(x) =−cosx f(x) =1+tan2x= 1
cos2x F(x) =tanx f(x) = 1
x F(x) =lnx
f(x) =exp(x) F(x) =exp(x) Primitives de fonctions "composées"
Soientu etv, deux fonctions admettant pour primitives respectivesU etV sur un intervalleI et g, une fonction admettant une primitiveGsur l’intervalleJ contenantu(I).
f =a u+b v F =aU+bV f =u′×g◦u F =G◦u
f =u′.un F = 1
n+1.un+1 f = u′
pu F =2p u f =u′.cos(u) F =sinu f =u′sin(u) F =−cosu
′
Fiches de Mathématiques 9 INTÉGRATION
Existence des primitives
Théorème :Si f est une fonction continue sur un intervalleI alors f admet des primitives surI. SiF est une primitive de f surI, alors les primitives def surI sont les fonctions de la formeF(x) +k.
Pour tout couple(x0,y0), il existe une unique primitiveF0de f surI telle queF0(x0) =y0.
9.4 Intégrale et primitive Théorème
Soit f, une fonction continue sur un intervalleI eta, un réel quelconque deI. La fonctionφdéfinie surI parφ(x) =Rx
a f(t)d(t)est l’unique primitive de f qui s’annule ena.
Remarques
φest dérivable surIde dérivéef.
Les solutions de l’équation différentielley′= f(t)sont les fonctions :φ(x) =Ra
x f(t)dt+k.
Calcul d’une intégrale à l’aide des primitives Z b
a
f(x)dx=F(b)−F(a)
9.5 Intégration par parties Théorème
Zb a
u(x).v′(x)dx= [u(x).v(x)]ba− Zb
a
u′(x).v(x)dx
Démonstration ROC
(u.v)′=u′v+uv′donc,uv′= (uv)′−u′v.
u,v, u′,v′sont continues, doncuv,u′v etuv′sont continues aussi.
Par linéarité de l’intégrale : Zb a
u(x).v′(x)dx= Z b
a
(uv)′(x)dx− Z b
a
u′(x)v(x)dx
[u(x)v(x)]ab− Zb
a
u′(x)v(x)dx
Fiches de Mathématiques 10 LES PROBABILITÉS
10 Les probabilités
10.1 Introduction aux probabilités Définitions
∗Ω ={ω1,ω2,...,ωn}est l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire. On l’appelle univers. Un événement est une partie deΩ. Lorsqueω appartient à l’événementA, on dit qu’il réaliseA.⊘est un évenement impossible.Ωest l’évènement certain. Un événement élémentaire est constitué d’un seul résultat.
Probabilité d’un événement
La probabilité de l’événementAest notée p(A).
0¶ p(A)¶1 p(Ω) =1 p(⊘) =0.
Définitions
∗L’espérance de la loi de probabilité est : µ=
Xn i=1
pi.ωi
où, pour touti∈ {1,2 ...,n}, piest la probabilité de l’évènementωi.
∗La variance de la loi de probabilité est :
V = Xn
i=1
pi(ωi−µ)2= Xn
i=1
piω2i
!
−µ2
∗L’écart type de la loi de probabilité est :
σ=p V
Cas de l’équiprobabilité
Lorsque la loi de probabilité associe à tous les résultats d’une expérience la même probabilité, on parle de loi équirépartie et la situation est dite d’équiprobabilité.
p(A) = nombre de résultats de A nombre de résultats deω
10.2 Calculs de probabilités
Probabilité de la réunion, de l’intersection d’événements est l’événement formé des résultats qui réalisent à la fois et .
Fiches de Mathématiques 10 LES PROBABILITÉS
Probabilité de l’événement contraire
L’événement contraire deAest l’événement formé des résultats qui ne réalisent pasA. On le noteA.
p(A) =1−p(A)
10.3 Variable aléatoire
Loi de probabilité d’une variable aléatoire Une loi de probabilité est définie surΩ.
Ω′=x1,x2,...xnest l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoireX.
Loi de probabilité de la variable aléatoireX surΩ′associe à chaque valeurxila probabilité de l’événe- ment (X =xi).
Espérence, variance, écart-type d’une variable aléatoire Espérence :
E(X) = Xm
i=1
xipi
Variance :
V(X) = Xm
i=1
pi
xi−E(X)2
= Xm
i=1
pixi2−[E(X)]2
Ecart-type :
σ(X) =Æ V(X)
Fiches de Mathématiques 11 DÉNOMBREMENT ET LOIS DE PROBABILITÉ
11 Dénombrement et lois de probabilité
11.1 Dénombrement Tirages successifs
∗Avec remise :
On tire un jeton d’une urne, on note son numéro puis on le remet dans l’urne. On effectue ptirages (p¾1) dits successifs avec remise. Le nombre denlistes ordonnées de péléments de l’urne est
np
∗Sans remise :
On tire un jeton de l’urne contenantnjetons, on note le numéro mais on ne le remet pas dans l’urne.
On effectueptirage. Le nombre d’arrangements de péléments de l’urne est : n×(n−1)×...×(n−p+1)
∗Cas particulier : les permutations.
Lorsquep=n, tous les jetons de l’urne ont été tirés. Le nombre d’arrangements de l’urne est : n×(n−1)×...×1=n!
Tirages simultannés
On tire simultanément p jetons de l’urne. On obtient un ensemble de péléments purs parmi n que l’on appelle combinaison. Le nombre de combinaisons de péléments parminest noté np
, on le lit p parminet il est égal à :
n p
= n×(n−1)×(n−2)×...×(n−p+1)
p! = n!
p!(n−p)!
Coefficients binômiaux
∗Pour tout entiernnon nul, n0
=1, n1
=n, nn
=1.
∗Pour tout entier pavec 0¶ p¶non a n
p
= n
n−p
∗Pour 1¶ p¶n−1, laRelation de Pascal n
p
=
n−1 p−1
+
n−1 p
Fiches de Mathématiques 11 DÉNOMBREMENT ET LOIS DE PROBABILITÉ
Triangle de Pascal
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
n−1p−1
+ n−1p
= np Formule du binôme de Newton
(a+b)n= Xn
p=0
n p
apbn−p
(a+b)n= n
0
a0bn+ n
1
a1bn−1+ n
2
a2bn−2+· · ·+ n
n−1
an−1b1+ n
n
anb0
(a+b)n=bn+n.a.bn−1+ n
2
a2bn−2+· · ·+n.an−1b+an
11.2 Exemples de lois discrètes Loi de Bernouilli
∗L’épreuve de Bernouilli :
C’est une expérience aléatoire qui ne comporte que 2 issusSetS.
Scorrespond au succès :p=p(S).
S=Ecorrespond à l’échec :q=1−p= p(S).
∗Loi de Bernouilli :
Soit une épreuve de Bernouilli d’issues S (de probabilité p) et E (de probabilité q = 1− p) etX, la variable aléatoire qui prend la valeur 1 quand S est réalisée et 0 sinon. Par définition, cette variable aléatoire suit la loi de Bernouilli de paramètrep.
On a :E(X) =petV(X) =pq
Fiches de Mathématiques 11 DÉNOMBREMENT ET LOIS DE PROBABILITÉ
La loi binomiale
∗Un schéma de Bernouilli est la répétition denépreuves de Bernouilli identiques et indépendantes.
La variable aléatoireX à valeurs dans{0;1;2;... ;n}associe à chaque liste le nombre de succès.
Par définition,X suit la loi binomiale de paramètresnet p.
On note :B(n;p)et p=p(S).
∗Caractéristiques :
SoitX, une variable aléatoire qui suit la loi binomialeB(n,p).
Pourk∈ {0;1;...;n},
p(X =k) = n
k
pk×(1− p)n−k E(X) =n p etV(X) =n p(1−p)
11.3 Lois de probabilité continue Quand l’intervalle est un univers
Une expérience prend ses valeurs dans un intervalle et peut atteindre n’importe quel nombre de cet intervalle.
Densité
On appelle densité de probabilité sur l’intervalleI, toute fonctionf définie surI et vérifiant : f est continue et positive surI
On définit la loi de probabilitéPde densité f surI associant à tout intervalle[a;b]deI : P([a;b]) =
Z b a
f(x)d x
La loi uniforme
On appelle loi uniforme surI = [a;b], la loi de probabilité continue surI dont la fonctionf de densité est constante égale à b−a1
La loi exponentielle
On appelle loi exponentielle de paramètreλ, la loi continue admettant pour densité la fonction définie surR+par :
f(x) =λe−λx avecλ >0.
Pour tout intervalle[α;β]deR+:
p([α,β]) = Zβ
α
λe−λxd x
p([α,β]) =
−e−λxβ α
