P C Variables aléatoires discrètes (finie ou infinie) 2015-2016
• • •
Dans une urne composée de boules blanches et de boules rouges, on tire une boule jusqu’à obtention d’une boule rouge.
Les tirages sont effectués avec remise après chaque tirage.
Soit X l’application de Ω dans N qui, à tout élément de l’univers, associe le nombre nécessaires de tirages pour obtenir une boule rouge pour la première fois et 0 si tous les tirages donnent une boule blanche.
Si l’on note A
n: « tirer une boule rouge au n-ième tirage », donner l’expression de (X = n) en fonction des événements A
koù k ∈ [[1, n]]
Correction :
On a (X = n) = A
1∩ A
2∩ . . . ∩ A
n−1∩ A
n.
• • •
Un sauteur tente de franchir des hauteurs successivement notées 1, 2, . . . , n. Il n’essaie de franchir la hauteur n que s’il a réussi à passer les hauteurs précédentes. Si le sauteur a déjà réussi les n − 1 premiers sauts (n > 2), la probabilité qu’il franchisse avec succès le n-ième hauteur est de 1
n .
Soit X la variable aléatoire égale au numéro de la dernière hauteur franchie correctement. Déterminer la loi de X. Calculer l’espérance de X.
Correction :
• On note A
n:« le sauteur a franchi la hauteur n ».
On a par hypothèse et pour tout n > 2, P(A
n|A
1∩ A
2∩ . . . ∩ A
n−1) = 1 n . Or P (A
n) = P (A
1∩A
2∩. . . ∩A
n) =
f or.prob.compo
P (A
1)P (A
2|A
1)×. . . P (A
n|A
1∩A
2∩ . . . ∩A
n−1) = 1× 1
2 ×. . . × 1 n = 1
n!
• On pose (X = 0) :« le sauteur franchit toutes les hauteurs » ainsi X (Ω) = N ; or l’événement P (X = 0) est quasi- impossible donc on peut considérer que X est à valeurs dans N
∗. (en effet (X = 0) = \
n∈N∗
A
n, (X = 0) ⊂ A
net 0 6 P (X = 0) 6 P(A
n) 6 1
n! . On fait tendre n vers +∞ et on obtient le résultat)
• Pour tout n > 2, on a A
n= (X > n) et donc P(X > n) = P (A
n) = 1 n! . On a donc P(X = n) = P(X > n) − P(X > n + 1) = 1
n! − 1 (n + 1)! et
N
X
n=1
P (X = n) =
N
X
n=1
1
n! − 1 (n + 1)!
=
1 − 1
(N + 1)! et
+∞
X
n=1
P (X = n) = lim
N→+∞
P(X = n) = lim
N→+∞
1 − 1
(N + 1)!
= 1
•
n
X
k=1
kP (X = k) =
n
X
k=1
k
k! − k (k + 1)!
j=k+1
=
n
X
k=1
k k! −
n+1
X
j=2
j − 1 j! =
n
X
k=1
1
k! − n (n + 1)!
La série de terme général 1
n! converge et a pour somme e. n
(n + 1)! tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ d’où E(X) = e −1
• • •
Soit r un entier naturel non nul. Une urne contient des boules indiscernables au toucher blanches ou noires, la proportion de boules blanches étant p ∈]0, 1[ et celle de boules noires q = 1 − p. On effectue une infinité de tirages d’une boule dans l’urne, la boule tirée étant remise après chaque tirage. Les tirages sont numérotés dans N
∗.
On définit la variable aléatoire X
régale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir r boules blanches pour la première fois et à 0 si les tirages ne donnent jamais r boules blanches.
1. Déterminer la loi de X
r. En déduire que
∀r ∈ N
∗,
+∞
X
k=r
k − 1 r − 1
q
k−r= 1 p
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P C Variables aléatoires discrètes (finie ou infinie) 2015-2016
2. Montrer que X
radmet une espérance et calculer E(X
r).
3. Montrer que X
radmet une variance et calculer V (X
r).
Correction :
1. On admet que l’événement (X
r= 0) est quasi-impossible donc X
r(Ω) = [[r; +∞]]. Soit k ∈ X
r(Ω), on considère les deux événements suivants :
• A : « la k-ième tirage a donné une boule blanche. »
• B : « r − 1 boules blanches ont été tirées lors des k − 1 tirages précédents. » On peut donc écrire (X
r= k) = A ∩ B.
Comme les tirages se font avec remise, les événements A et B sont indépendants et l’on a P(X
r= k) = P (A)P (B).
On a P (A) = p et P(B) = k − 1
r − 1
p
r−1q
k−r(loi binomiale de paramètres p et k − 1), ce qui permet d’écrire que P(X
r= k) = p
k − 1 r − 1
p
r−1q
k−r= k − 1
r − 1
p
rq
k−r((X
r= k))
k>rest le système complet d’événements associé à la variable aléatoire X
rdonc
+∞
X
k=r−1
k − 1 r − 1
p
rq
k−r=
+∞
X
k=r−1
P(X
r= k) = 1
ce qui permet d’écrire que, pour tout r ∈ N
∗,
+∞
X
k=r
k − 1 r − 1
q
k−r= 1 p
r2. Pour tout k > r, k
k − 1 r − 1
= r k
r
et par suite, kP (X
r= k) = rp
rk
r
q
k−rL’égalité démontrée dans la question précédente donne en remplaçant r par r + 1
+∞
X
k=r+1
k − 1 r
q
k−r−1= 1 p
r+1et si l’on procède au changment d’indice j = k − 1,
+∞
X
j=r
j r
q
j−r= 1 p
r+1On peut donc dire que la série de terme général
jrq
j−rconverge et, rp
rétant une constante la série de terme général jP (X
r= j) converge aussi donc X
radmet bien une espérance,
E(X
r) = rp
r+∞
X
j=r
j r
q
j−r= rp
r1 p
r+1= r
p 3. Pour k > r, on a k(k + 1)
k − 1 r − 1
= r(r + 1) k + 1
r + 1
et (k + 1)kP (X
r= k) = (r + 1)rp
rk + 1
r + 1
q
k−r, égalité précédente appliquée à r + 2 et changement d’indice j = k − 2 conduisent à
+∞
X
j=r
j + 1 r + 1
q
j−r= 1 p
r+2et donc la série de terme général (j + 1)jP(X
r= j) converge. L’application du théorème de transfert à la variable X
r(X
r+ 1) assure l’existence d’une espérance et
E(X
r(X
r+ 1)) = (r + 1)rp
r+∞
X
j=r