Dans une urne composée de boules blanches et de boules rouges, on tire une boule jusqu’à obtention d’une boule rouge.

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P C Variables aléatoires discrètes (finie ou infinie) 2015-2016

• • •

Dans une urne composée de boules blanches et de boules rouges, on tire une boule jusqu’à obtention d’une boule rouge.

Les tirages sont effectués avec remise après chaque tirage.

Soit X l’application de Ω dans N qui, à tout élément de l’univers, associe le nombre nécessaires de tirages pour obtenir une boule rouge pour la première fois et 0 si tous les tirages donnent une boule blanche.

Si l’on note A

n

: « tirer une boule rouge au n-ième tirage », donner l’expression de (X = n) en fonction des événements A

k

où k ∈ [[1, n]]

Correction :

On a (X = n) = A

1

∩ A

2

∩ . . . ∩ A

n−1

∩ A

n

.

• • •

Un sauteur tente de franchir des hauteurs successivement notées 1, 2, . . . , n. Il n’essaie de franchir la hauteur n que s’il a réussi à passer les hauteurs précédentes. Si le sauteur a déjà réussi les n − 1 premiers sauts (n > 2), la probabilité qu’il franchisse avec succès le n-ième hauteur est de 1

n .

Soit X la variable aléatoire égale au numéro de la dernière hauteur franchie correctement. Déterminer la loi de X. Calculer l’espérance de X.

Correction :

• On note A

n

:« le sauteur a franchi la hauteur n ».

On a par hypothèse et pour tout n > 2, P(A

n

|A

1

∩ A

2

∩ . . . ∩ A

n−1

) = 1 n . Or P (A

n

) = P (A

1

∩A

2

∩. . . ∩A

n

) =

f or.prob.compo

P (A

1

)P (A

2

|A

1

)×. . . P (A

n

|A

1

∩A

2

∩ . . . ∩A

n−1

) = 1× 1

2 ×. . . × 1 n = 1

n!

• On pose (X = 0) :« le sauteur franchit toutes les hauteurs » ainsi X (Ω) = N ; or l’événement P (X = 0) est quasi- impossible donc on peut considérer que X est à valeurs dans N

^∗

. (en effet (X = 0) = \

n∈N^∗

A

n

, (X = 0) ⊂ A

n

et 0 6 P (X = 0) 6 P(A

n

) 6 1

n! . On fait tendre n vers +∞ et on obtient le résultat)

• Pour tout n > 2, on a A

n

= (X > n) et donc P(X > n) = P (A

n

) = 1 n! . On a donc P(X = n) = P(X > n) − P(X > n + 1) = 1

n! − 1 (n + 1)! et

N

X

n=1

P (X = n) =

N

X

n=1

1 n! − 1 (n + 1)!

=

1 − 1

(N + 1)! et

+∞

X

n=1

P (X = n) = lim

N→+∞

P(X = n) = lim

N→+∞

1 − 1

(N + 1)!

= 1

•

n

X

k=1

kP (X = k) =

n

X

k=1

k

k! − k (k + 1)!

j=k+1

=

n

X

k=1

k k! −

n+1

X

j=2

j − 1 j! =

n

X

k=1

1 k! − n (n + 1)!

La série de terme général 1

n! converge et a pour somme e. n

(n + 1)! tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ d’où E(X) = e −1

• • •

Soit r un entier naturel non nul. Une urne contient des boules indiscernables au toucher blanches ou noires, la proportion de boules blanches étant p ∈]0, 1[ et celle de boules noires q = 1 − p. On effectue une infinité de tirages d’une boule dans l’urne, la boule tirée étant remise après chaque tirage. Les tirages sont numérotés dans N

^∗

.

On définit la variable aléatoire X

r

égale au nombre de tirages nécessaires pour obtenir r boules blanches pour la première fois et à 0 si les tirages ne donnent jamais r boules blanches.

1. Déterminer la loi de X

r

. En déduire que

∀r ∈ N

^∗

,

+∞

X

k=r

k − 1 r − 1

q

^k−r

= 1 p

^r

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P C Variables aléatoires discrètes (finie ou infinie) 2015-2016

2. Montrer que X

r

admet une espérance et calculer E(X

r

).

3. Montrer que X

r

admet une variance et calculer V (X

r

).

Correction :

1. On admet que l’événement (X

r

= 0) est quasi-impossible donc X

r

(Ω) = [[r; +∞]]. Soit k ∈ X

r

(Ω), on considère les deux événements suivants :

• A : « la k-ième tirage a donné une boule blanche. »

• B : « r − 1 boules blanches ont été tirées lors des k − 1 tirages précédents. » On peut donc écrire (X

r

= k) = A ∩ B.

Comme les tirages se font avec remise, les événements A et B sont indépendants et l’on a P(X

r

= k) = P (A)P (B).

On a P (A) = p et P(B) = k − 1

r − 1

p

^r−1

q

^k−r

(loi binomiale de paramètres p et k − 1), ce qui permet d’écrire que P(X

r

= k) = p

k − 1 r − 1

p

^r−1

q

^k−r

= k − 1

r − 1

p

^r

q

^k−r

((X

r

= k))

k>r

est le système complet d’événements associé à la variable aléatoire X

r

donc

+∞

X

k=r−1

k − 1 r − 1

p

^r

q

^k−r

=

+∞

X

k=r−1

P(X

r

= k) = 1

ce qui permet d’écrire que, pour tout r ∈ N

^∗

,

+∞

X

k=r

k − 1 r − 1

q

^k−r

= 1 p

^r

2. Pour tout k > r, k

k − 1 r − 1

= r k

r

et par suite, kP (X

r

= k) = rp

^r

k

r

q

^k−r

L’égalité démontrée dans la question précédente donne en remplaçant r par r + 1

+∞

X

k=r+1

k − 1 r

q

^k−r−1

= 1 p

^r+1

et si l’on procède au changment d’indice j = k − 1,

+∞

X

j=r

j r

q

^j−r

= 1 p

^r+1

On peut donc dire que la série de terme général

^j_r

q

^j−r

converge et, rp

^r

étant une constante la série de terme général jP (X

r

= j) converge aussi donc X

r

admet bien une espérance,

E(X

r

) = rp

^r

+∞

X

j=r

j r

q

^j−r

= rp

^r

1 p

^r+1

= r

p 3. Pour k > r, on a k(k + 1)

k − 1 r − 1

= r(r + 1) k + 1

r + 1

et (k + 1)kP (X

r

= k) = (r + 1)rp

^r

k + 1

r + 1

q

^k−r

, égalité précédente appliquée à r + 2 et changement d’indice j = k − 2 conduisent à

+∞

X

j=r

j + 1 r + 1

q

^j−r

= 1 p

^r+2

et donc la série de terme général (j + 1)jP(X

r

= j) converge. L’application du théorème de transfert à la variable X

r

(X

r

+ 1) assure l’existence d’une espérance et

E(X

r

(X

r

+ 1)) = (r + 1)rp

^r

+∞

X

j=r

j + 1 r + 1

q

^j−r

= (r + 1)r p

²

Tout ceci permet de dire que X

_r²

= (X

r

+ 1)X

r

− X

r

possède une espérance et X

r

une variance V (X

r

) = E(X

_r²

) − E(X

r

)

²

= E(X

r

(X

r

+ 1)) − E(X

r

) − E(X

r

)

²

= rq

p

²

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