Probabilités
I Probabilités élémentaires
Exemple
Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte.
On tire une boule de l'urne et on note sa couleur.
L'ensemble des résultats possibles (éventualités) peut être noté : Ω = { B ; R ; V } .
«tirer une boule rouge» correspond à {R}.
«tirer une boule qui n'est pas bleue» correspond à {R ; V}.
«tirer une boule noire» correspond à ∅.
«tirer une boule qui n'est pas jaune» correspond à { B ; R ; V } = Ω .
Définition
Soit Ω l'ensemble des éventualités (résultats possibles) d'une expérience aléatoire ( Ω est appelé univers).
• On appelle événement, toute partie de Ω .
• ∅ est une partie de Ω, c'est un événement, appelé événement impossible.
• Ω est une partie de Ω , c'est un événement, appelé événement certain.
Exemple
Une urne contient trois boules : une bleue, une rouge, une verte.
On tire une boule de l'urne et on note sa couleur.
L'ensemble des éventualités (univers) est Ω = { B ; R ; V } .
Il y a huit événements : ∅ ; { B } ; { R } ; { V } ; { B ; R } ; { B ; V } ; { R ; V } ; Ω .
Les événements { B } ; { R } et { V } qui comportent un seul élément sont parfois appelés événements élémentaires.
Définition
• La réunion de deux événements A et B est un événement A ∪ B, appelé aussi événement "A ou B".
• L'intersection de deux événements A et B est un événement A ∩ B, appelé aussi événement "A et B".
• Lorsque deux événements A et B ont une intersection vide (A ∩ B = ∅ ), on dit que ces événements sont disjoints ou incompatibles.
• On appelle événement contraire d'un événement A et on note
A l'ensemble de toutes les éventualités qui ne sont pas dans A. (C'est la partie complémentaire de A dans Ω on la note aussi C
ΩA ).
Remarque
Un événement et son contraire sont incompatibles.
Exercice 01 (voir réponses et correction)
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure.
1°) Définir l'ensemble des éventualités Ω .
2°) Écrire sous forme de partie de Ω les événements : A : «obtenir un numéro inférieur ou égal à 2», B : «obtenir un numéro impair»,
C : «obtenir un numéro strictement supérieur à 4».
3°) Écrire sous forme de partie de Ω les événements :
A ∪ B ; A ∩ B ; A ∪ C ; A ∩ C ; B ∪ C ; B ∩ C ;
A ;
A ∪ C ;
A ∩ C . Donner pour chacun d'eux une phrase qui les caractérise.
4°) Parmi les événements utilisés précédemment, citer deux événements incompatibles qui ne sont pas
contraires l'un de l'autre.
Définition
On considère Ω = { ω
1; ω
2
;...; ω
n
} .
On définit une loi de probabilité p sur Ω en associant à chaque éventualité ω
i
un nombre réel p ( ω
i
) = p
i
tel que :
• pour tout i ∈ { 1 ; 2 ; ⋯ ; n } 0 £ p
i£ 1
• p
1+ p
2
+ ⋯ + p
n
= 1 On dit que p
i
est la probabilité de l'éventualité ω
i
. Exemple
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au numéro apparaissant sur la face supérieure. L'ensemble des éventualités Ω est { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }.
1°) Supposons que, lors d'un grand nombre de tirages, on obtienne les résultats suivants :
Numéro 1 2 3 4 5 6
Fréquence 0,0606 0,1522 0,1710 0,1685 0,1936 0,2541 La somme des fréquences est bien-entendu égale à 1.
On a d
2obs =
i∑
=1 i=6
f
i- 1 6
2
= 0,019851 donc d
2obs > 0,003 .
Le dé n'est pas équilibré au risque de 10% (voir chapitre Statistiques).
On peut choisir une loi de probabilité p sur Ω , en associant à chaque numéro, sa fréquence d'apparition.
On aura alors p
1= 0,0606 ; p
2= 0,1522 ; p
3= 0,1710 ; p
4= 0,1685 ; p
5= 0,1936 ; p
6= 0,2541 Compte-tenu des variations de fréquences liées au tirage (fluctuation d'échantillonnage), on peut aussi arrondir ces fréquences et choisir la loi de probabilité p sur Ω , définie par :
p
1= 0,06 ; p
2= 0,15 ; p
3= 0,17 ; p
4= 0,17 ; p
5= 0,19 ; p
6= 0,26
On prendra soin de vérifier que la somme des probabilités des éventualités est égale à 1.
2°) Supposons que, lors d'un grand nombre de tirages, on obtienne les résultats suivants :
Numéro 1 2 3 4 5 6
Fréquence 0,1589 0,1663 0,1668 0,1643 0,1721 0,1716 La somme des fréquences est égale à 1.
On a d
2obs =
i∑
=1 i=6
f
i- 1 6
2
= 0,00012 donc d
2obs £ 0,003 .
Le dé est supposé équilibré.
On choisira des probabilités égales pour chacune des éventualités, la loi de probabilité p sur Ω , sera alors définie par :
p
1= p
2= p
3= p
4= p
5= p
6= 1 6
La somme des probabilités des éventualités étant égale à 1.
Pour trouver la probabilité de l'événement A : «obtenir un numéro pair», il suffira d'ajouter les probabilités des éventualités 2 ; 4 et 6 .
Dans le premier cas on obtiendra p(A) = p
2+ p
4+ p
6= 0,15 + 0,17 + 0,26 = 0,58 et dans le deuxième cas p(A) = p
2+ p
4+ p
6= 1
6 + 1 6 + 1
6 = 3 6 = 1
2 = 0,50.
Définition
Soit p une loi de probabilité sur un univers Ω .
Pour tout événement A on appelle probabilité de A la somme des probabilités des éventualités de A.
Si A = { a
1
; a
2
; ⋯ ; a
k
} , on a : p(A) = p(a
1) + p(a
2) + ⋯ + p(a
k).
On pose d'autre part p( ∅ ) = 0.
Remarque
La probabilité de l'événement certain Ω est la somme des probabilités de toutes les éventualités et par
définition on a donc p( Ω ) = 1.
Cas particulier
Lorsque les éventualités ont toutes la même probabilité, on dit qu'elles sont équiprobables ou que la loi de probabilité est uniforme.
Si Ω = { ω
1
; ω
2
; ⋯ ; ω
n
} , la probabilité de chaque éventualité est p
0= 1 card( Ω ) = 1
n .
Dans ce cas, la probabilité d'un événement A est le nombre d'éléments de A divisé par le nombre d'éléments de Ω , c'est-à-dire p(A) = card(A)
card( Ω ) .
On dit aussi p(A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles
Rappel
• Si A et B sont deux ensembles finis disjoints (A ∩ B = ∅ ) card(A ∪ B) = card(A) + card(B)
• Si A et B sont deux ensembles finis quelconques card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B)
Propriétés
• Pour tout événement A, on a : p(A) ∈ [0,1].
•
A étant le contraire de A, on a : p (
A ) = 1 - p(A) .
• Si A et B sont deux événements quelconques, on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B)
• Si A et B sont deux événements incompatibles , on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
• Si A est contenu dans B, on a : p(A) £ p(B)
• Si A
1
, A
2
, ... , A
k
sont des événements deux à deux disjoints, on a :
p(A
1
∪ A
2
∪ ... ∪ A
k
) = p(A
1) + p(A
2) + ⋯ + p(A
k) Exercice 02 (voir réponses et correction)
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
1°) Définir l'ensemble Ω des éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces éventualités.
2°) Quelle est la probabilité des événements suivants :
a) A : la carte tirée est le roi de cœur, b) B : la carte tirée est un as,
c) C : la carte tirée est rouge, d) D : la carte tirée est un as ou une carte rouge.
Exercice 03 (voir réponses et correction) Une urne contient 20 boules indiscernables au toucher.
On considère l'épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule de l'urne.
a) Définir l'ensemble Ω des éventualités (univers) et la probabilité de chacune de ces éventualités.
b) Les 20 boules sont de différentes couleurs : 8 jaunes, 6 rouges, 4 vertes et 2 bleues.
Quelle est la probabilité de chacun des événements :
• la boule tirée est jaune, • la boule tirée est rouge ou verte,
• la boule tirée n'est pas noire.
Exercice 04 (voir réponses et correction)
On lance deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L'un est rouge, l'autre est blanc.
Faire un tableau à double entrée pour représenter toutes les éventualités.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « obtenir exactement un 1 » B : « obtenir au moins un 1 »
C : « obtenir au plus un 1 » D : « le plus petit des deux numéros est 4 » E : « la somme des deux numéros est égale à 7 »
F : « la somme des deux numéros est strictement supérieure à 10 ».
Exercice 05 (voir réponses et correction)
On dispose d'un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note p
k
la probabilité de l'événement « le résultat du lancer est k ».
1°) Calculer p
1
, p
2
, p
3
, p
4
, p
5
, p
6
sachant que : p
2
= p
1
, p
3
= 3p
2
, p
4
= 2p
1
, p
5
= p
4
, p
6
= 2p
3
2°) En déduire la probabilité de l'événement : « obtenir un nombre pair » et la probabilité de l'événement
« obtenir un nombre impair »
II Probabilités conditionnelles - Arbres de probabilités
Exercice 06 (voir réponses et correction)
Les 1500 employés d'une grande entreprise se divisent en deux catégories : cadres et ouvriers.
On sait que cette entreprise emploie 40% d'hommes et 60% de femmes.
De plus, parmi les hommes 63% sont cadres alors que parmi les femmes 48% sont cadres.
1°) Compléter l'arbre suivant en indiquant dans chacun des cadres le pourcentage correspondant.
L'arbre s'appelle alors un arbre pondéré.
2°) Combien y-a-t-il de femmes dans l'entreprise ? Combien y-a-t-il de femmes cadres dans l'entreprise ? 3°) On choisit au hasard une personne de l'entreprise.
• Quelle est la probabilité p(F) que la personne choisie soit une femme .
• Quelle est la probabilité p(F ∩ C) que la personne choisie soit une femme cadre.
4°) On choisit au hasard une femme de l'entreprise.
Quelle est la probabilité que cette femme soit cadre.
On note cette probabilité p
F(C)
(probabilité que la personne choisie soit cadre sachant que c'est une femme)
Montrer que p(F ∩ C) = p
F(C)
xp(F) . Exprimer p
F(C) en fonction de p(F ∩ C) et p(F)
Définition
Soit Ω un ensemble muni d'une loi de probabilité p et soit A un événement de probabilité non nulle.
Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant que A est réalisé : p A (B) = P(A ∩ B) p(A) . p A (B) est aussi parfois notée p(B / A).
Remarque
On a p(A ∩ B) = p A (B)
xp(A)
La probabilité que
A soit réalisé sachant que A est réalisé est bien entendu nulle : p A (
A ) = P(A ∩
A )
p(A) = p( ∅) p(A) = 0
p(A) = 0 .
Exercice 07 (voir réponses et correction) Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher.
6 jetons sont rouges et portent les numéros : 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 3 4 jetons sont verts et portent les numéros : 1 ; 2 ; 3 ; 4
On tire au hasard un jeton du sac.
1°) Sachant que ce jeton est rouge, quelle est la probabilité qu'il porte le numéro 1.
2°) Sachant que ce jeton porte le numéro 1 quelle est la probabilité qu'il soit vert.
3°) Sachant que ce jeton est vert, quelle est la probabilité qu'il porte le numéro 4.
4°) Sachant que ce jeton porte le numéro 4 quelle est la probabilité qu'il soit vert.
5°) Sachant que ce jeton porte le numéro 4 quelle est la probabilité qu'il soit rouge.
H
F
C
O
O C
40%63%
Exemple
On fait tourner une roue comportant 12 secteurs de même taille numérotés de 1 à 12. Les secteurs portant un numéro pair sont de couleur jaune, les secteurs portant un numéro multiple de trois et impair sont de couleur verte et les autres secteurs sont rouges.
Si la roue s'arrête sur un secteur de couleur verte on tire un billet de loterie dans une urne A. Dans les autres cas, on tire un billet de loterie dans une urne B.
Dans l'urne A un billet sur 4 est gagnant alors que dans l'urne B seulement un billet sur 20 est gagnant.
On s'intéresse à la probabilité d'obtenir un billet gagnant.
On peut représenter la situation par l'arbre de probabilités (ou arbre pondéré) ci-contre :
Sachant que la roue comporte deux secteurs verts et 10 secteurs qui ne sont pas verts, la probabilité qu'elle s'arrête sur un secteur vert et par conséquent que le billet soit tiré dans l'urne A est :
p(A) = 2 12 = 1
6 .
La probabilité que le billet soit tiré dans l'urne B est alors :
p(B) = p(
A ) = 5 6 .
G p(A ∩ G) = 1 6
x1
4 = 1 24 A
P p(A ∩ P) = 1 6
x3
4 = 1 8
G p(B ∩ G) = 5 6
x1
20 = 1 24 B
P p(B ∩ P) = 5 6
x19
20 = 19 24 Sachant que la roue s'est arrêtée sur un secteur vert donc que le billet est tiré dans l'urne A,
la probabilité qu'il soit gagnant est alors p A (G) = 1 4 , la probabilité qu'il soit perdant est donc p A (P) = p A (
G ) = 1 - 1 4 = 3
4
Sachant que la roue s'est arrêtée sur un secteur qui n'est pas vert et donc que le billet est tiré dans l'urne B, la probabilité qu'il soit gagnant est alors p B (G) = 1
20 , la probabilité qu'il soit perdant est donc p B (
G ) = 1 - 1
20 = 19 20 .
On peut remarquer que sur chacune des branches de niveau 1 figurent les probabilités de A et de B, et sur chacune des branches de niveau 2 figurent des probabilités conditionnelles (sachant que A est réalisé ou sachant que B est réalisé).
On peut calculer dans chacun des quatre cas les probabilités des intersections en utilisant la définition des probabilités conditionnelles.
La probabilité d'obtenir un billet gagnant est alors : p(G) = p(A ∩ G) + p(B ∩ G) = 1 24 + 1
24 = 1 12 . Celle d'obtenir un billet perdant est : p(P) = p(A ∩ P) + p(B ∩ P) = 1
8 + 19 24 = 22
24 = 11
12 . On a bien p(P) = p(
G ).
Règles d'utilisation des arbres de probabilités
• Les probabilités portées sur les branches de niveau supérieur à 1 sont des probablités conditionnelles.
• La probabilité d'un événement est égale au produit des probabilités figurant sur les différentes branches qui mènent à cet événement.
• La somme des probabilités des différentes branches issues d'un même nœud est égale à 1.
1 4
5 6 1 6
3 4
1 20
19
20
Exercice 08 (voir réponses et correction)
Une situation de probabilités est représentée par l'arbre ci-contre.
Compléter cet arbre et donner les probabilités suivantes : p(B) ; p
A(C) ; p(A ∩ C) ; p(C) ; p(D) ; p
C(A)
Exercice 09 (voir réponses et correction)
A et C sont deux événements correspondant à une même épreuve aléatoire.
On sait que : p(A) = 0,6 ; p(C) = 0,5 ; p(A ∩ C) = 0,18
Déterminer p(
A ) ; p
A(C) ; p
A(
C ) ; p(
A ∩ C) ; p
A(C) ; p
A(
C ) ; p
C(
A ) (On pourra s'aider d'un arbre de probabilités)
Définition
Étant donné un ensemble Ω muni d'une loi de probabilité p, on dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque p(A ∩ B) = p(A)
xp(B)
Propriété
Si A et B sont des événements de probabilité non nulle, les propositions suivantes sont équivalentes :
• A et B sont indépendants
• p A (B) = p(B)
• p B (A) = p(A)
Remarque
Pour des événements de probabilité non nulle, dire que A et B sont indépendants revient à dire que le fait que B soit réalisé n'a pas d'influence sur la probabilité de réalisation de A et inversement.
Exercice 10 (voir réponses et correction) On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
On considère l'événement C : « tirer un cœur » et l'événement A : « tirer un as ».
Les événements A et C sont-ils indépendants ?
Exercice 11 (voir réponses et correction) On jette un dé cubique et on considère les événements : A : «tirer un numéro strictement inférieur à 4»
B : «tirer un numéro strictement supérieur à 4»
I : «tirer un numéro impair»
Les événements A et I sont-ils indépendants ? Les événements B et I sont-ils indépendants ? Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Exercice 12 (voir réponses et correction)
E et F sont deux événements indépendants tels que p(E) = 0,2 et p(F) = 0,4 . Déterminer p(E ∪ F) .
A
B
C
D
D C
0,30,1
0,8
Définition
Soit Ω un ensemble et soient E
1, E
2, ... , E
ndes parties de Ω .
On dit que E
1, E
2, ... , E
nest une partition de Ω si les parties E
1, E
2, ... , E
nsont deux à deux disjointes et si leur réunion est égale à Ω .
Remarque
Lorsque E
1, E
2, ... , E
nest une partition de Ω , tout élément de Ω appartient à une et à une seule des parties E
1, E
2, ... , E
n.
Exemple
Dans une classe C, on peut faire une partition en considérant les deux parties F et G : F ensemble des filles de la classe et G ensemble des garçons de la classe.
(Les deux ensembles F et G sont disjoints et leur réunion est égale C).
On peut aussi faire une partition de C par les années de naissance, ou par l'initiale du nom etc...
Formule des probabilités totales
Soit E
1, E
2, ... , E
nune partition de Ω pour laquelle E
1, E
2, ... , E
nne sont pas de probabilité nulle.
Pour tout événement A, on a p(A) = p(A ∩ E
1) + p(A ∩ E
2) + ... + p(A ∩ E
n)
c'est-à-dire p(A) = p E
1
(A)
xp(E
1) + p E
2
(A)
xp(E
2) + ... + p E
n
(A)
xp(E
n) Exercice 13 (voir réponses et correction)
Deux événements indépendants A et B sont tels que p(A) = 1
5 et p(B) = 1 4 . Déterminer : p(A ∩ B) ; p
A(B) ; p(
A ∩ B) Exercice 14 (voir réponses et correction) Deux événements A et B sont indépendants.
En utilisant la formule des probabilités totales, démontrer que :
A et B sont indépendants ; A et
B sont indépendants ;
A et
B sont indépendants
Exercice 15 (voir réponses et correction)
Une étude a porté sur les véhicules d'un parc automobile. On a constaté que :
• lorsqu'on choisit au hasard un véhicule du parc automobile la probabilité qu'il présente un défaut de freinage est de 0,67 ;
• lorsqu'on choisit au hasard dans ce parc un véhicule présentant un défaut de freinage, la probabilité qu'il présente aussi un défaut d'éclairage est de 0,48 ;
• lorsqu'on choisit au hasard dans ce parc un véhicule ne présentant pas de défaut de freinage, la probabilité qu'il ne présente pas non plus de défaut d'éclairage est de 0,75.
1°) Déterminer la probabilité pour qu'un véhicule choisi au hasard présente un défaut d'éclairage.
Traduire le résultat en terme de pourcentages.
2°) Déterminer la probabilité pour qu'un véhicule choisi au hasard parmi les véhicules présentant un défaut d'éclairage présente aussi un défaut de freinage. Traduire le résultat en terme de pourcentages.
Exercice 16 (voir réponses et correction)
Lors d'une journée "portes ouvertes" dans un commerce, on remet à chaque visiteur un ticket numéroté qui permet de participer à une loterie. Lorsqu'un visiteur arrive 3 cas peuvent se présenter :
• le visiteur est reconnu comme client habituel et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 0 ;
• le visiteur est reconnu comme client occasionnel et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 1 ;
• le visiteur n'est pas reconnu et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 5 ; La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 0 gagne un cadeau est de 0,5 ; La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 1 gagne un cadeau est de 0,1 ; La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 5 gagne un cadeau est de 0,01.
Parmi les visiteurs 15% sont reconnus comme clients habituels et 20% comme clients occasionnels.
On choisit un visiteur au hasard. Quelle est la probabilité pour qu'il gagne un cadeau ?
Un visiteur a gagné un cadeau. Quelle est la probabilité qu'il ait été reconnu comme client habituel ?
Exercice 17 (voir réponses et correction)
Une pièce de monnaie n'est pas équilibrée. La probabilité d'obtenir pile est égale à 0,55.
On jette successivement deux fois cette pièce.
Traduire la situation par un arbre de probabilités.
A l'issue des deux tirages successifs quelles sont les probabilités :
• d'avoir obtenu deux fois pile
• d'avoir obtenu deux résultats identiques
• d'avoir obtenu deux résultats différents.
Exercice 18 (voir réponses et correction) On jette trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
A l'aide d'un arbre de probabilités, déterminer la probabilité d'obtenir «trois fois "face"», «trois fois "pile"»,
«exactement deux fois "pile"», «au moins deux fois "pile"».
Que deviennent les résultats si la pièce n'est pas équilibrée et si "pile" a une probabilité de 0,6 ?
Exercice 19 (voir réponses et correction) On considère le jeu suivant :
On jette un première fois une pièce de monnaie ;
• si on obtient face, on gagne 4 euros et le jeu s'arrête ;
• si on obtient pile, on gagne 1 euro et le jeu se poursuit ; on jette alors une deuxième fois la pièce ;
• si on obtient face on gagne 2 euros et le jeu s'arrête ;
• si on obtient pile on gagne 1 euro et le jeu se poursuit ; on jette alors une troisième et dernière fois la pièce ;
• si on obtient face, on gagne 2 euros ;
• si on obtient pile, on gagne 1 euro ; Représenter le jeu par un arbre de probabilités.
Quelle est la probabilité d'avoir obtenu 4 euros à la fin du jeu ?
Exercice 20 (voir réponses et correction)
On soumet, à la naissance, une population d'enfants à un test pour dépister la présence d'un caractère génétique A.
La probabilité qu'un enfant ayant le caractère A ait un test positif est 0,99.
La probabilité qu'un enfant n'ayant pas le caractère A ait un test négatif est 0,98.
1°) On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur 1000 était porteur du caractère A. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
Déterminer la probabilité qu'un enfant pris au hasard dans la population étudiée ait un test positif.
Déterminer la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A.
Donner une valeur approchée de ce résultat en pourcentage avec une décimale.
2°) On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant sur 100 était porteur du caractère A.
Déterminer la probabilité qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A.
Donner ce résultat en pourcentage avec une décimale.
3°) On utilise le test avec une population pour laquelle des études statistiques ont montré qu'un enfant avait une probabilité p d'être porteur du caractère A.
Déterminer, en fonction de p, la probabilité V(p) qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractère A. (V(p) est la valeur prédictive du test).
Représenter V(p) en fonction de p et commenter.
Exercice 21 (voir réponses et correction)
Mademoiselle Y habite une localité desservie par une voie de chemin de fer.
Les trains peuvent aller dans deux directions : l'Est ou l'Ouest.
Les trains qui vont vers l'Est et les trains qui vont vers l'Ouest n'ont pas les mêmes horaires, mais il se présentent à la même fréquence de un toutes les dix minutes.
Mademoiselle Y est partagée entre deux amours : John qui habite à l'Ouest et Vladimir qui habite à l'Est.
Ne voulant pas choisir, elle décide de s'en remettre au hasard.
Tous les soirs, quelque soit son heure de sortie, elle va à la gare et prend le premier train qui s'arrête.
Au bout de quelque temps, John proteste car elle ne vient le voir qu'un jour sur dix...
Expliquer.
III Espérance et variance d'une loi numérique
Dans tout le paragraphe on considère une expérience aléatoire donnant un résultat numérique et la loi de probabilité associée.
Définition
On considère la loi de probabilité donnée par
x 1 x 2 x 3 x
np 1 p 2 p 3 p
nOn appelle espérance mathématique de la loi de probabilité le nombre : E =
i=
1
i∑
=nx
ixp
i= x 1
xp 1 + x 2
xp 2 + ... + x
nxp
nOn appelle variance de la loi de probabilité le nombre : V =
i=
1
i∑
=n(x
i- E) 2
xp
i= (x 1 - E) 2
xp 1 + (x 2 - E) 2
xp 2 + ... + (x
n- E) 2
xp
nRemarque
• On a aussi V =
i=1
i∑
=n(x
i) 2
xp
i- E 2
• L'écart-type de la loi de probabilité est σ = V .
• Le calcul est identique à celui fait pour une série statistique en utilisant les fréquences.
(Les probabilités sont très proches des fréquences obtenues lors d'un grand nombre d'expériences)
• Les calculs peuvent être faits avec une calculatrice.
Exercice 22 (voir réponses et correction)
Une urne contient douze boules. Six boules sont vertes, cinq sont rouges et une est blanche.
On tire au hasard une boule de l'urne. A ce tirage on associe un gain ou une perte.
• Si la boule tirée est verte, on perd 3 euros
• Si la boule tirée est rouge, on gagne 1 euro
• Si la boule tirée est blanche, on gagne 10 euros
Donner la loi de probabilité associé au gain du jeu lors d'un tirage (la perte sera considérée comme un gain négatif), calculer l'espérance mathématique de cette loi.
Exercice 23 (voir réponses et correction) On jette trois fois de suite une pièce de monnaie.
Si on tire trois fois "pile" ou trois fois "face" on gagne 10 euros.
Sinon on perd 1 euro.
Déterminer l'espérance mathématique associée à ce jeu.
Exercice 24 (voir réponses et correction) On jette simultanément un dé bleu et un dé rouge.
Le dé bleu a des faces numérotées 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 5 ; 6 Le dé rouge a des faces numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
1°) Donner la loi de probabilité associée à la somme S des deux numéros tirés.
2°) Calculer l'espérance mathématique de cette loi.
3°) a) Quelle est la probabilité de l'événement : « S est égale à 7 et le dé bleu a donné le numéro 2 » b) Sachant que S est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé bleu ait donné le numéro 2 ?
c) Démontrer que les événements « S est égale 7 » et « le dé bleu a donné le numéro 2 » sont indépendants.
4°) a) Quelle est la probabilité de l'événement : « S est égale à 5 et le dé bleu a donné le numéro 1 »
b) Les événements « S est égale 5 » et « le dé bleu a donné le numéro 1 » sont-ils indépendants ?
IV Loi binomiale
Définition
On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités : une éventualité S (succès) et une éventualité
S (échec).
La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l'éventualité S la probabilité p et à l'éventualité
S la probabilité 1 - p .
Exemple
On considère une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont S : "Succès" et E =
S : "Échec".
Notons p(S) = p et p(E) = 1 - p.
On répète trois fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s'intéresse au nombre de Succès que l'on obtient sur les trois essais. On peut traduire la situation par un arbre de probabilités :
S 3 Succès
S
E 2 Succès
S
S 2 Succès
E
E 1 Succès
S 2 Succès
S
E 1 Succès
E
S 1 Succès
E
E 0 Succès
D'après l'arbre la probabilité d'obtenir la suite (S ; S ; E) est : p
xp
x(1 - p) = p 2 (1 - p)
De même la probabilité de (S ; E ; S) est p 2 (1 - p) et la probabilité de (E ; S ; S) est aussi p 2 (1 - p) La probabilité d'obtenir exactement deux Succès sur les trois essais est la probabilité de l'événement : {(S ; S ; E) ;(S ; E ; S) ; (E ; S ; S)}. Elle est donc égale à 3
xp 2 (1 - p) .
En notant x
ile nombre de Succès obtenus sur les trois essais, on peut justifier que l'obtient la loi de probabilité ci-dessous :
x
i0 1 2 3
p
i(1 - p) 3 3 p 1 (1 - p) 2 3 p 2 (1 - p) 1 p 3
Exercice 25 (voir réponses et correction)
1°) On répète trois fois, de façon indépendante, le jet d'une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
On s'intéresse au nombre de "Pile" obtenus sur les trois lancers.
Donner la loi de probabilité correspondante. Justifier que E = 3
2 et V = 3 4
2°) On suppose maintenant que la pièce n'est pas nécessairement équilibrée. La probabilité de "Pile" est p.
Donner la loi de probabilité correspondante. Justifier que E = 3p et V = 3p(1 - p)
p1-p
p
1
-pp
1
-pp
1-p
p
1-p
p
1-p
p
