Exercice 1 : (d'après un sujet de brevet 2010)
Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune de ces boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard.
a) Calculer la probabilité pour que cette boule soit rouge. (Donner votre résultat sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum)
Il y a 10 boules rouges sur 20, donc la probabilité est de
b) Calculer la probabilité pour que cette boule soit noire ou jaune. (Donner votre résultat sous la forme d'une fraction simplifiée au maximum)
Il y a 6 boules noires et 4 jaunes, soit 10 boules sur 20, donc la probabilité est de
c) Calculer la somme des deux probabilités trouvées aux deux questions précédentes. Le résultat était-il prévisible ? Explique.
(=100%) Ce résultat était prévisible, car cela correspond à la probabilité d'obtenir une boule rouge ou une noire ou une jaune : c'est un événement certain ! Plus précisément, les deux événements précédents sont contraires (avoir une boule jaune ou noires correspond à ne pas avoir une boule rouge) et donc la somme de leur probabilité est 1.
d) Combien faut-il enlever ou rajouter de boules jaunes dans le sac pour que la probabilité d'obtenir une boule jaunes soit un tiers ?
Attention, lorsque j'ajoute ou j'enlève des boules, cela change le total. Il n'y aura plus 20 boules ! Il faut donc faire des essais…
Avec une boule jaune en plus, on obtient . Avec deux boules jaunes en plus, on obtient . Avec trois boules jaunes en plus, on obtient . Avec quatre boules jaunes en plus, on obtient .
Certains ont pensé à noter le nombre de boules jaunes, et ont résolu l'équation . C'est très bien, mais l'équation n'était pas évidente à trouver ! Ici, les essais étaient bien plus facile.
e) Dans la situation de départ, Lukas rajoute une boule rouge, une boule noire et une boule jaune dans le sac. Il dit que ça ne change pas les probabilités puisqu’il a rajouté une boule de chaque couleur. A-t-il raison ? Tort ? Explique
On pouvait calculer les nouvelles probabilités en rajoutant les boules. On obtient par exemple 11 rouges sur 23 boules au total. Ce n’est plus la moitié, donc les probabilités sont modifiées.
Sinon, on pouvait essayer d’expliquer que Lukas se trompait car il ajoute la même quantité de boules de chaque couleur, mais au départ, la répartition n’était pas équilibré. Pour en rajouter et que ça ne change pas les proportions, il faut en rajouter suivant les même proportions que ce qu’il y avait au départ.
f) A partir de la situation de départ, Lorenzo rajoute 20 nouvelles boules dans le sac. Maïlys lui demande combien il a rajouté de boules jaunes, mais Lorenzo n’a même pas regardé la couleur des boules… ! Maïlys lui dit qu’il ne peut plus déterminer la probabilité de tirer une jaune. Lorenzo lui dit qu’il ne peut pas savoir exactement, mais que c’est entre 10 et 60 %…
Comment sait-il cela ?
On ne connais pas les couleurs des boules rajouter par Lorenzo. Par contre, on sait qu’il en rajoute 20 ! Si parmi ces 20 boules, il y en a aucune jaune, cela en fait toujours 4 sur 40 boules au total. Si parmi ces 20 boules, toutes sont jaunes, cela en ferra 24 sur 40. On va mettre ces deux probabilités en pourcentage.
Boules jaunes 4
Total 40 100
On trouve alors 4×100÷40=10 % au minimum
Boules jaunes 24
Total 40 100
On trouve alors 24×100÷40=60 % au maximum
Exercice 2 :
Un commerçant vend des T-shirts à 12€ la pièce.
a) Calculer le prix de 3 T-shirts. . 3 T-shirts coûtent 36€.
b) Combien de T-shirts a-t-on achetés si on paie 48€ ? . 4 T-shirts coûtent 48€.
c) On nomme la fonction qui, au nombre de T-shirts achetés noté , associe le prix à payer en euros. Donner l'expression de (forme algébrique)
Il suffit d'exprimer le calcul du prix, en fonction de . Exactement comme on l'a fait dans la question a avec 3 T-shirts, mais cette fois avec . On fait donc , donc la fonction est
Quelle est la nature de cette fonction. Justifie.
C'est un fonction linéaire car de la forme « un nombre » ×
d) Calculer . Interpréter le résultat dans la situation concrète.
. L'interprétation, c'est juste faire une phrase dans la situation : 5 T-shirts coûtent 60€
e) Déterminer un antécédent de 108 par la fonction . Interpréter le résultat dans la situation concrète.
Donc . L'interprétation, c'est juste faire une phrase dans la situation : 9 T-shirts coûtent 108€
f) Tracer la représentation graphique de cette fonction (en justifiant rapidement comment tu l'as obtenue)
Comme la fonction est linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Il suffit donc de placer un autre point pour pouvoir la tracer, par exemple 108€ pour 9 T-shirts.
(Cette explication pour le tracée de la courbe est simple, mais doit être écrit. De plus, on choisira un autre point de manière à ce que notre tracé soit précis. On évitera de prendre (1 ; 12) )
Remarque : les axes du graphique doivent avoir des flèches au bout pour indiquer leur sens et il faut mettre la légende dessus.
Exercice 3 : (d'après un sujet de brevet 2011)
Un centre nautique souhaite effectuer une réparation sur une voile de bateau.
La voile a la forme du triangle PMW ci-contre.
On a effectué une couture le long de [CT] et on a mesurer ensuite MP=4,2m ; CP=3,78m ; MW=3,4m ; PT=1,88m et TW=22cm
La couture est-elle parallèle à (MW) ?
On peut déjà reproduire la figure à main levée, et indiqué les longueurs sur la figure. On doit reconnaître une situation de Thalès, et il faut le dire ! Si on ne connaît plus Thalès, on peut toujours essayer de tracer la figure en vraie grandeur (enfin en prenant 5cm pour 1m par exemple).
On reconnaît une situation de Thalès, car (MC) et (WT) sont sécantes en P et on veut savoir si les droites sont parallèles. On va donc calculer deux rapports pour voir s'ils sont égaux.
D'une part D'autre part
Rédaction brevet : les rapports ne sont pas égaux, donc les droites (CT) et (MW) ne sont pas parallèles.
Rédaction seconde générale : Si les droites (CT) et (MW) étaient parallèles, d'après le théorème de Thalès, les rapports seraient égaux. Je viens de les calculer et ce n'est pas le cas, donc il n'est pas possible que les droites soient parallèles.
Remarque : les rapports sont très proches, donc dans la situation concrète, la couture sera presque parallèle.
Exercice 4 :
Voici une coupe d'une balle de baseball de diamètre égal à 7cm. Le cœur de cette balle est un noyau de liège d'un diamètre de 1,2cm. Il est recouvert d'une couche de caoutchouc d'une épaisseur de 0,6cm.
L'ensemble est entouré de laine compressée puis est recouvert d'une couche de cuir (dont on négligera l'épaisseur)
Dans cet exercice, il faut peut-être commencer par faire un schéma, avec les longueurs indiquées, pour pouvoir trouver les rayons.
a) Calculer le volume exact de liège contenu dans cette balle. Préciser la valeur arrondie au millimètre cube.
Le volume de la boule de liège est 0,6cm, donc
b) Calculer le volume de caoutchouc contenu dans cette balle
Pour calculer le volume de caoutchouc (qui n'a pas la forme d'une boule), je peux calculer le volume du liège et du caoutchouc et ensuite enlever la quantité de liège. Le volume des deux premières boules est
et donc .
c) Calculer le volume de laine compressée contenu dans cette balle.
d) Le cuir recouvrant la surface de cette balle est un cuir de haute qualité, qui coûte 150€ le mètre-carré. Déterminer le prix du cuir nécessaire pour cette balle.
On calcule la surface de la balle . Donc le prix à payer est , soit 2€31
Attention, beaucoup ont fait des erreurs de conversion : 100cm=1m, mais 10000cm2=1m2 (et 1000000cm3=1m3)
