Calculer le volume de la boule B de centre 0 et de rayon R dans R3

LM256 Examen - janvier 2012 2h, documents et calculatrices interdits. Le soin apport´e `a la r´edaction sera un ´el´ement important de la notation.

Exercice I.

Calculer le volume de la boule B de centre 0 et de rayon R dans R³. On demande ici les d´etails de calcul.

Exercice II.

1. Trouver f tel que V=∇f pour V =

x

x²+y², y x²+y²

. 2. Calculer l’int´egrale curviligneR

ΓV ·dMle long du segment qui va du point (1,0) au point (0,4).

Exercice III. On consid`ere l’ensemble d´efini par D=

(x, y) | 1≤x²+y² ≤4 , x≥0 , y ≥3x 1. Tracer un dessin de D.

2. Calculer

Z Z

D

1 y² dxdy.

2. Calculer le volume de l’ensemble V =

(x, y, z)| (x, y)∈D, 0≤z ≤ 1 y²

.

Exercice IV. Soit D le domaine de R³ limit´e par le cylindre d’´equation x²+y² = 1

le planz = 0 et la surfacez =x²+y²+ 1.

1. Soit S le bord de D. Faire un dessin deS et de D.

2. Calculer le volume de D.

NotonsS le bord de D orient´e suivant le vecteur normal ext´erieur. NotonsS₁ la partie de S contenue dans le cylindre. et S₂ = S\S₁ (le complementaire de S₁ dans S). Soit−→

V le champ de vecteurs de composantes (P, Q, R) = (x, y, z²).

1

3. Calculer le flux de −→

V `a travers S₁. 4. Calculer le flux de −→

V `a travers S en utilisant la formule d’Ostrogradsky.

5. Calculer le flux de −→

V `a travers S₂ 6. Calculer l’aire de S₁ et de S₂. 7. Calculer la circulation de −→

V le long des courbes qui sont les bords de S1, orient´ees dans le sens trigonom´etrique par rapport a l’orientation de S₁ (dont le vecteur normal est vers l’ext´erieur).

Exercice V.Soit D le parall´el´epip`ede d´efinit par les vecteurs (2,0,0),(0,1,0),(1,1,1).

1. D´essiner le domaineD.

2. Calculer l’int´egrale Z Z

S

x²dy∧dz+xz dz∧dx+xz dx∧dy

sur la surfaceS d´efinie comme bord de D. On consid`ere la surface orient´ee avec la normale vers l’exterieur de la surface.

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