La premi`ere forme fondamentale Soit S une surface r´eguli`ere dans R3

R ´ESUM ´E 4

PROPRIETES METRIQUES DES SURFACES

1. La premi`ere forme fondamentale

Soit S une surface r´eguli`ere dans R<sup>3</sup>. Pour tout p ∈ S, le plan vectoriel tangent TpS h´erite du produit scalaire de R<sup>3</sup>. On le note gp : pour X, Y ∈ TpS, g<sub>p</sub>(X, Y) =< X, Y >. Muni de g<sub>p</sub>, T<sub>p</sub>S est un espace vectoriel euclidien. La premi`ere forme fondamentale de S est le champ de produits scalaires p 7→ gp. Soit (ϕ, U) une carte de S. On note (u¹, u²) = (u, v) les coordonn´ees locales. Soit (u, v) ∈ U et p = ϕ(u, v). On sait que {e₁ = ∂ϕ

∂u¹(u, v),e₂ = ∂ϕ

∂u²(u, v)} est une base de TpS. On note gi,j(u, v) = gp(ei,ej) les coefficients de g_ϕ(u,v) dans cette base. On note [G] = [g_i,j] la matrice des coefficients. Soit (ϕ, U) une nouvelle carte. On note h le changement de cartes telle que ϕ = ϕ◦h et (u, v) = h(u, v).

La matrice [G] des coefficients deg_p dans la nouvelle carte se d´eduit de [G] par la formule [G] = ^t[J][G][J], o`u [J] est la matrice jacobienne deh en (u, v).

2. Longueur des courbes

SoitS une surface r´eguli`ere dansR<sup>3</sup> etγ :I →S une courbe param´etr´ee de classeC<sup>1</sup>. Etant donn´esa < bdansI, la longueur de l’arc de courbe correspondant s’exprime `a l’aide de la premi`ere forme fondamentale :

l(γ;a, b) = Z b

a

(g_γ(t)(γ⁰(t), γ⁰(t)))^1/2dt.

Si γ([a, b]) ⊂ ϕ(U), o`u (ϕ, U) une carte de S et si on ´ecrit γ(t) =ϕ(u¹(t), u²(t)), cela devient

l(γ;a, b) = Z b

a

Xg_i,jduⁱ dt

du^j dt

1/2

dt.

3. Aire d’une surface

Soit (ϕ, U) une carte d’une surface r´eguli`ere S dans R³ et A une partie mesurable deU. On d´efinit l’aire de B =ϕ(A) par

aire(B) = Z Z

A

k∂ϕ

∂u ∧ ∂ϕ

∂vkdudv On a l’´egalit´e

k∂ϕ

∂u ∧ ∂ϕ

∂vk= (det[G])^1/2 Cette d´efinition ne d´epend pas de la carte choisie.

4. La deuxi`eme forme fondamentale

Soit S une surface r´eguli`ere orient´ee dans R<sup>3</sup>. On note n(p) son vecteur normal en p ∈ S. L’application de Gauss est l’application p 7→n(p) de S dans la sph`ere unit´e. L’application lin´eaire tangente enp, not´eeTpnest un endomorphisme de l’espace vectoriel euclidien TpS, appel´e endomorphisme de Weingarten. Il est sym´etrique. On note L_p la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee `a T_pn : pour X, Y ∈TpS,

L_p(X, Y) =g_p(X, T_pnY).

La deuxi`eme forme fondamentale de S est le champ de formes bilin´eaires sym´etriques p 7→ Lp. Consid´erons la base {∂ϕ

∂u(u, v),∂ϕ

∂v(u, v)} de TpS (o`u p= ϕ(u, v)) associ´ee `a une carte directe (ϕ, U)). La relation ci-dessus s’´ecrit ma- triciellement

[L] = [G][Tpn],

o`u on a introduit les matrices dans cette base. Les coefficients de L sont donn´es par

L_i,j(u, v) =−<n(ϕ(u, v)), ∂²ϕ

∂uⁱ∂uⁱ(u, v)> . Ces relations permettent de calculer [T_pn].

Les valeurs propres κ₁ etκ₂ de T_pn s’appellent lescourbures principales de S en p; les directions propres associ´ees s’appellent les directions principales. La courbure de Gauss K et la courbure moyenne H de S en p sont d´efinies par

K =κ1κ2 = detTpn et H = 1

2(κ1+κ2) = 1

2TraceTpn.

5. Le Th´eor`eme de Gauss

Th´eor`eme (theorema egregium). La courbure de Gauss K d’une surface r´eguli`ereS dans R³ ne d´epend que de la premi`ere fondamentale.

Explicitement,K =R^{2 1}₁₂ , o`u R^l_ijk = ∂Γ^ljk

∂uⁱ − ∂Γ^lik

∂u^j + Γ^m_jkΓ^l_im−Γ^m_ikΓ^l_jm Γ^k_ij = g^kl

2

∂gjl

∂uⁱ + ∂gli

∂u^j − ∂gij

∂u^l

2

6. Isom´etries locales et applications conformes

Soient S et S deux surfaces r´eguli`eres. On dit qu’une application dif- f´erentiable f deS dansS est une isom´etrie locale si pour toutp∈S, l’application lin´eaire tangente T_pf est une isom´etrie de T_pS sur T_f(p)S. Si, de plus, f est une bijection deS surS, on dit quef est uneisom´etrie. On dit que deux surfacesS et S sont isom´etriques si il existe une isom´etrie de l’une sur l’autre. On dit qu’elles sont localement isom´etriques si tout point p deS admet un voisinage isom´etrique

`

a un sous-ensemble de S et tout point p de S admet un voisinage isom´etrique `a un sous-ensemble de S.

Th´eor`eme (Gauss). Soit f :S →S une isom´etrie locale. Alors, la courbure de Gauss de S en p est ´egale `a la courbure de Gauss de S en f(p).

On rappelle qu’on appellesimilitude d’un espace vectoriel euclidien E dans un autreE une application lin´eaire inversible deE dansE qui conserve les angles.

On dit qu’une application diff´erentiable f de S dans S est conforme si pour tout p∈S, l’application lin´eaire tangente Tpf est une similitude deTpS sur T_f(p)S.

Th´eor`eme (admis). Toute surface r´eguli`ere admet un atlas constitu´e de cartes conformes.

7. Transport parall`ele et g´eod´esiques

Soit S une surface r´eguli`ere dans R³. Pour tout p ∈ S, on note Pp la projection orthogonale de R³ sur TpS. Etant donn´es une courbe param´etr´ee γ : I → S et un champ de vecteurs tangents X d´efini sur γ(I), on d´efinit la d´eriv´ee covariante de X le long de γ par

D

dtX(t) =P_γ(t) d dtX(t).

Proposition. Etant donn´es S, γ comme ci-dessus , t0 ∈ I et X0 ∈ T_γ(t0)S, le probl`eme de Cauchy

DX/dt = 0 X(0) = X0

admet une solution et une seule X :t ∈I 7→X(t)∈T_γ(t)S.

On d´efinit alors le transport parall`ele d’un vecteur tangent le long de γ par H(t, t₀)X₀ =X(t).

Proposition. Le transport parall`ele H(t, t₀) :T_γ(t0)S →T_γ(t)S est isom´etrique.

On dit qu’une courbe param´etr´ee γ : I → S de classe C² est g´eod´esique si son vecteur d´eriv´ee est parall`ele le long deγ, c’est-`a-dire si elle v´erifieDγ⁰/dt= 0.

Cela est ´equivalent `a dire que pour tout t ∈ I, γ<sup>00</sup>(t) est normal `a la surface en γ(t).

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Proposition. Etant donn´esp∈S etX ∈T_pS, il existe une courbe param´etrique g´eod´esique maximale et une seule γ :I →S telle γ(0) =p et γ⁰(0) =X.

Dans une carte, l’´equation du transport parall`ele est dY^k

dt + Γ^k_ijduⁱ

dt Y^j = 0 et l’´equation des g´eod´esiques est

d²uⁱ

dt² + Γⁱ_jkdu^j dt

du^k dt = 0

Th´eor`eme. Si une courbe p.p.a.c. γ : [a.b]→S de classe C² r´ealise le minimum de la longueur des chemins entre γ(a) et γ(b), alors γ est g´eod´esique.

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