2 Forme r´ eduite des isom´ etries.

G´eom´etrie euclidienne.

Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation, ENS de Cachan. Claire Renard . D´ ecembre 2012

1 D´ efinitions et rappels.

D´efinition 1 (Espace affine euclidien). UnR-espace affine E est diteuclidiensi sa direction E est un espace vectoriel euclidien (et donc de dimension finien).

Ainsi, il existe sur E un produit scalaire not´e (·,·) de norme associ´ee k · k. Ce produit scalaire permet de munir l’espace affineE d’une distance d´efinie pard(A, B) =k−−→

ABket de la topologie qui lui est associ´ee.

Remarque 2. PuisqueEest de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes surE. Ainsi, les distances correspondantes surE d´efinies par d(A, B) =k−−→

ABksont uniform´ement ´equivalentes.

L’espaceE est ainsi muni d’une topologie canonique, que toute norme deEpermet de d´efinir. D’o`u l’int´erˆet d’´etudier une norme euclidienne associ´ee `a un produit scalaire, plus facile `a manipuler et riche en applications.

On appelle rep`ere orthonorm´ede E un rep`ere cart´esienR= (O,−→e1, . . . ,−→en) o`u (−→e1, . . . ,−→en) est une base orthorm´ee deE.

But : Etudier les transformations deE qui pr´eservent `a la fois la structure affine (applications affines,cf chapitre pr´ec´edent) et la distance (notion d’isom´etries...).

Lemme 3. Soient (E,(·,·)) et (E⁰,(·,·)⁰) deux espaces vectoriels euclidiens et f : E → E⁰ une application. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

1. f est lin´eaire et pour toutx∈E,kf(x)k⁰=kxk.

2. f est additive et pour tout x∈E,kf(x)k⁰=kxk.

3. f(0) = 0 et pour tousxety∈E,kf(x)−f(y)k⁰=kx−yk.

4. Pour tous xet y∈E,(f(x), f(y))⁰ = (x, y).

D´emonstration du Lemme.

La d´emonstration est assez imm´ediate, notamment en ce qui concerne (1) =⇒ (2) =⇒ (3) =⇒ (4). Il faut se rappeler que si f est additive, f(0) = f(0 + 0) = f(0) +f(0), et donc f(0) = 0.

Rappelons aussi lesformules de polarisation :sixety∈E, (x, y) =¹₂(kx+yk²−kxk²−kyk²), et on a d’autres ´egalit´es en faisant intervenir kx−yk².

Pour d´emontrer (4) =⇒ (1), supposons que f pr´eserve le produit scalaire. Comme alors f conserve automatiquement la norme, il reste `a montrer quef est lin´eaire.

Si xet y ∈E, λ et µ ∈R, pour toutz ∈ E, (f(λx+µy)−λf(x)−µf(y), f(z)) = (f(λx+ µy), f(z))−λ(f(x), f(z))−µ(f(y), f(z)) = (λx+µy, z)−λ(x, z)−µ(y, z) = 0.

Ainsi,u=f(λx+µy)−λf(x)−µf(y) est dans l’orthogonal def(E), donc aussi dans l’orthogonal de Vectf(E). Commeu∈Vectf(E), (u, u) =kuk²= 0 etu= 0.

Proposition et D´efinition 4 (Isom´etries affines). Soient E et F deux espaces affines euclidiens etf : E → F. Alors les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

1. f conserve les distances.

2. f conserve les distances et f est affine.

3. f est affine et −→

f conserve le produit scalaire.

Une telle applicationf est appel´ee uneisom´etrie affine. L’ensemble des isom´etries affines de E dansF est not´eIs(E,F).

Remarque 5. Si f : E → F est une isom´etrie, alors elle est injective (car −→

f l’est). Si E etF ont mˆeme dimension, elle est bijective et son inverse est encore une isom´etrie.

Ainsi, Is(E)est un groupe et pour toute isom´etrief ∈Is(E),−→

f ∈ O(E).

Notons Is⁺(E) = {f ∈ Is(E),−→

f ∈ SO(E)} (respectivement Is⁻(E) = {f ∈ Is(E),−→ f ∈ O⁻(E)}) : ce sont lesd´eplacementsdeE (respectivement lesantid´eplacements).

Bien sˆur, en g´eom´etrie affine euclidienne, le th´eor`eme suivant est toujours valable.

Th´eor`eme 6 (Pythagore). Si les droites (AB) et (BC) sont orthogonales, alors d(A, C)² = d(A, B)²+d(B, C)².

Nous avons vu en g´eom´etrie affine la notion de projection affine. SiF est un sous-espace affine d’un espace affine euclidienE, de directionF, on d´efinit p_F =plaprojection orthogonale sur F comme ´etant le projecteur affine surF selon la directionF^⊥.

Six∈ E,p(x) est ´egal `a l’unique ´el´ementydeFtel qued(x, y) =d(x,F) = min{d(x, z), z∈ F }.

(C’est une cons´equence directe du th´eor`eme de Pythagore.)

ATTENTION : p : E → F n’est pas une isom´etrie, ni p vue comme application affine deE dans lui-mˆeme d`es que F est un sous-espace affine propre. Par contre, un projecteur orthogonal

«raccourcit» les longueurs, dans le sens o`u pour tous pointsAet B deE,p(A)p(B)≤AB.

De mˆeme, on d´efinit la sym´etrie affine orthogonale par rapport `a F, qui elle est un

´el´ement deIs(E). SiF est un hyperplan, on parle der´eflexion hyperplane.

2 Forme r´ eduite des isom´ etries.

2.1 Enonc´ e.

Rappel du cours de G´eom´etrie Affine : Sif ∈ Af f(E),F ix(f) l’ensemble des points fixes def est soit vide, soit un sous-espace affine de direction ker(−→

f −idE). De plus, si ker(−→

f −idE) ={0}, alorsF ix(f) est un singleton.

Lemme 7. (1) Si −→u ∈ E, notons t =t−→u la translation de vecteur −→u. Soit h ∈ Af f(E). Alors t◦h=h◦tsi, et seulement si−→u ∈ker(−→

h −id_E).

(2)Sif ∈Is(E), alorsE= ker(−→

f −idE)⊕^⊥Im (−→

f −idE)(la somme est directe et orthogonale).

D´emonstration du Lemme.

(1) Ecrire t◦h=h◦t ´equivaut `a dire que pour tout point A∈ E, h(A) +−→u =h(A+−→u) = h(A) +−→

h(−→u). Ceci ´equivaut encore `a dire que (−→

h −idE)(−→u) = 0, soit−→u ∈ker(−→

h −idE).

(2) Sif est une isom´etrie, il suffit de voir que ker(−→

f −id_E) et Im (−→

f −id_E) sont orthogonaux, pour des raisons de dimensions ces espaces seront suppl´ementaires.

Si x ∈ ker(−→

f −idE), et z = −→

f(y)−y ∈ Im (−→

f −idE), alors (x, z) = (x,−→

f(y))−(x, y) = (−→

f(x),−→

f(y))−(x, y) = 0 car−→

f ∈ O(E) etx=−→ f(x).

Th´eor`eme 8(Forme r´eduite des isom´etries). SoitE un espace affine euclidien etf une isom´etrie deE. Alors :

1. Il existe un unique couple (t, h)∈Is(E)² o`ut est une translation, hadmet un point fixe, tel quef =t◦h=h◦t.

2. Il existe un unique couple (t, h)∈Is(E)² o`ut est une translation de vecteur−→u ∈ E,hadmet un point fixe, tel que f =t◦het−→u ∈ker(−→

f −id_E).

3. Il existe un unique couple (t, h)∈Is(E)² o`ut est une translation de vecteur−→u ∈ E,hadmet un point fixe, tel que f =h◦t et−→u ∈ker(−→

f −id_E).

D´emonstration.

En remarquant que −→ f =−→

h, le premier point du Lemme montre que les trois assertions sont en r´ealit´e ´equivalentes. Il faut donc montrer l’existence et l’unicit´e detethv´erifiant les propri´et´es du th´eor`eme.

Analyse : Si A ∈ E est un point fixe de h, alors f(A) = h(A) +−→u = A+−→u si bien que

−

→u =−−−−→

Af(A).

De plus, s’il existe un point A ∈ E tel que →−u = −−−−→

Af(A) ∈ ker(−→

f −idE), alors en posant h=t₋₋^→_u ◦f,hest une isom´etrie eth(A) =f(A)−−−−−→

Af(A) =A doncA est un point fixe deh.

Ainsi, si l’on pose Γ = {A∈ E,−−−−→

Af(A) ∈ker(−→

f −id_E)}, alors l’existence de het t revient `a montrer que Γ est non vide.

De plus, le vecteur de la translation−→u est ´egal `a−−−−→

Af(A) pour un pointA∈Γ. Montrer l’unicit´e revient alors `a montrer que pour tous pointsAet B de Γ,−−−−→

Af(A) =−−−−→

Bf(B).

Synth`ese : Si A et B ∈ Γ, −−−−→

Af(A)−−−−−→

Bf(B) ∈ ker(−→

f −idE) d’apr`es la d´efinition de Γ. Mais

−−−−→

Af(A)−−−−−→

Bf(B) =−−→

AB−−−−−−−→

f(A)f(B)∈Im (−→

f −idE). Comme d’apr`es le point (2) du Lemme, ces deux espaces sont orthogonaux, en fait−−−−→

Af(A)−−−−−→

Bf(B) = 0, ce qui montre l’unicit´e.

Pour l’existence, prenons un point M ∈ E. Si A est un autre point de E, par la relation de Chasles,−−−−→

Af(A) =−−→

AM+−−−−−→

M f(M) +−−−−−−−→

f(M)f(A) =−−−−−→

M f(M) + (−→

f −idE)(−−→

M A) Comme on a une somme directe, on d´ecompose −−−−−→

M f(M) = −→u +−→v o`u −→u ∈ ker(−→ f −id_E) et −→v = (→−

f −id_E)(−→w) ∈ Im (−→

f −id_E). Ainsi, en prenant pour point A = M − −→w, −−−−→

Af(A) =

−−−−−→

M f(M) + (−→

f −id_E)(−−→

M A) =−→u + (−→

f −id_E)(−→w) + (−→

f −id_E)(−−→w) =−→u ∈ker(−→

f −id_E), et donc A∈Γ6=∅.

Corollaire 9. Si f =h◦t est la forme r´eduite de f ∈Is(E), alors f admet un point fixe si, et seulement sit=id_E.

Ce corollaire d´ecoule directement de l’unicit´e de la forme r´eduite def.

2.2 Application : classification des isom´ etries en dimension 2 et 3.

2.2.1 En dimension 2.

• D´eplacements.

Si f ∈ Is⁺(E²), alors −→

f est un ´el´ement de SO₂. Si −→

f = id_E, f est soit l’identit´e, soit une translation.

Sinon, −→

f est une rotation vectorielle d’angle θ ∈]0,2π[ et ker(−→

f −idE) ={0}. Ainsi f a un unique point fixeA. On obtient alors la rotation de centreAet d’angleθ.

Isom´etrie ker(−→

f −idE) Points fixes

id_E E E

translation E aucun

rotation {0} un point, le centre

• Antid´eplacements.

Sif ∈Is⁻(E²) alors−→

f ∈ O⁻est une r´eflexion par rapport `a la droite vectorielle ker(−→ f −idE).

Ainsi, sif =t◦hest la forme r´eduite def, soitt=idE et alorsf est unesym´etrie axialed’axe la droite des points fixes def, soitf n’a aucun point fixe et est la compos´ee d’une sym´etrie axiale d’axeDdirig´e par ker(−→

f −idE) et d’une translation de vecteur−→u parall`ele `aD. On dit alors que f est une sym´etrie gliss´ee. La droite D est laiss´ee globalement invariante par f, et est appel´ee l’axede la sym´etrie gliss´ee.

D

−

→u

×

× ×

M

f(M) Isom´etrie ker(−→

f −id_E) Points fixes

sym´etrie axiale une droite vectorielle une droite affineD, l’axe sym´etrie gliss´ee une droite vectorielle dirigeant l’axe aucun

2.2.2 En dimension 3.

• D´eplacements.

De mˆeme, si f ∈Is⁺(E³),−→

f ∈SO3 est soit l’identit´e, soit une rotation vectorielle dont l’axe est la droite ker(−→

f −id_E).

Dans le premier cas, on retrouve l’identit´e et les translations. Dans le second cas, si la partie translation est triviale, il s’agit d’unerotation autour de la droite des points fixes de f, appel´ee l’axedef. Si l’angle de la rotation estπ, c’est unretournement :f est une sym´etrie orthogonale par rapport `a un sous-espace affine de codimension 2 (donc une droite ici !).

Lorsque la partie translation est non triviale,f est appel´ee vissage. C’est la compos´ee d’une rotation d’axe une droite affineDet d’une translation dont le vecteur est parall`ele `a D. La droite D est alors globalement invariante parf On l’appelle encore l’axedu vissage.

D

× ×

×

−

→u

M

f(M)

θ θ

Isom´etrie ker(−→

f −id_E) Points fixes

identit´e E E

translation E aucun

rotation une droite vectorielle une droite affine, l’axe vissage une droite vectorielle dirigeant l’axe aucun

• Antid´eplacements.

Comme−→

f est un ´el´ement deO⁻₃, il existe une base orthonorm´ee dans laquelle la matrice de−→ f est soit





−1 0 0

0 1 0

0 0 1



, soit





−1 0 0

0 cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)



.

Dans le premier cas, f est soit uner´eflexion planeet admet un plan affine de points fixes, soit la compos´ee d’une r´eflexion plane et d’une translation de vecteur parall`ele `a ce plan.

Dans le second cas, 1 n’est pas valeur propre de−→

f et doncf admet un unique point fixe. Ainsi, il existe un plan affine Htel que f =r◦σ_H o`u σ<sub>H</sub> est la r´eflexion de plan H et r une rotation d’angle θ et d’axeD, une droite affine orthogonale `a H. Le pointO d’intersection deHet D est l’unique point fixe def.

Dans le cas o`uθ=π,−→

f =−idE et f est unesym´etrie centrale, de centreO l’unique point fixe def.

H

×M

×

σ_H(M) ×

f(M)

−

→u

D

×

× ×

M

σ_H(M) θ f(M)

H × ×O

Isom´etrie ker(−→

f −idE) Points fixes

r´eflexion plane un plan vectoriel un plan affine

compos´ee d’une r´eflexion et d’une translation un plan vectoriel aucun

compos´ee d’une r´eflexion plane et d’une {0} un point unique sym´etrie d’angle θ6=π

sym´etrie centrale {0} un point unique, le centre

3 « Construction » d’isom´ etries.

Si A₀, . . . , A_k sont des points distincts d’un espace affine euclidien E et f ∈Is(E), alors pour tous indices 0≤i < j ≤k, d(f(A_i), f(A_j)) =d(A_i, Aj). Ainsi, si B₀, . . . , B_k sont d’autres points de E, une condition n´ecessaire pour qu’il existe f une isom´etrie de E telle que f(A_i) = B_i pour tout iest que pour tous indices 0≤i < j ≤k,d(B_i, B_j) =d(A_i, Aj). En r´ealit´e, cette condition est ´egalement suffisante, et c’est l’objet de ce paragraphe.

Th´eor`eme 10. Soient(Ai, i∈I)et (Bi, i∈I)deux familles de points distincts de E un espace affine euclidien de dimensionn. Alors il existe f ∈Is(E) telle que pour touti,f(Ai) = Bi si, et seulement si pour tous indicesiet j,d(Ai, Aj) =d(Bi, Bj).

Corollaire 11(Cas d’´egalit´e du triangle). Deux triangles sont isom´etriques si, et seulement si les longueurs de leurs cˆot´es sont deux `a deux ´egales.

Lemme 12. Soient E et F deux espaces affines euclidiens, (A0, . . . , An)un rep`ere affine de E et (B0, . . . , Bn)∈ Fⁿ⁺¹ tels que pour tous ietj avec0≤i < j≤n,d(Ai, Aj) =d(Bi, Bj).

Alors il existe une unique isom´etrie f telle que pour tout i, f(A_i) = B_i. De plus, les points B₀, . . . , B_n)sont affinement ind´ependants etdim(F)≥dim(E).

D´emonstration.

Unicit´e :Si une telle isom´etriefexiste, c’est une application affine, donc uniquement d´etermin´ee par son image sur un rep`ere affine, d’o`u l’unicit´e.

Existence : Il existe une applicationf ∈ Af f(E,F) telle que pour tout indice i,f(Ai) =Bi. Il reste donc `a montrer quef est une isom´etrie.

Si i, j et k sont trois indices, −−−→

AiAk = −−−→

AiAj+−−−−→

Aj, Ak et par polarisation, 2(−−−→

AiAj,−−−→

AkAj) = d(Ai, Aj)²+d(Aj, Ak)²−d(Ai, Ak)²=d(Bi, Bj)²+d(Bj, Bk)²−d(Bi, Bk)²= 2(−−−→

BiBj,−−−→

BkBj).

Si P et Qsont deux points deE, il existe (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ tel que−−→ P Q=Pn

i=1x_i−−−→

A₀A_i. Alors−−−−−−→

f(P)f(Q) =Pn

i=1x_i−−−→

B₀B_ipuisque f est affine, et k−−→

P Qk²=k

n

X

i=1

xi

−−−→A0Aik²=

n

X

i,j=0

xixj(−−−→

A0Ai,−−−→

A0Aj) =

n

X

i,j=0

xixj(−−−→

B0Bi,−−−→

B0Bj) =k−−−−−−→

f(P)f(Q)k². Ainsi,f est une isom´etrie. en particulier,fest injective et les points (B0, . . . , Bn) sont affinement libres.

Corollaire 13. Soient E etF deux espaces affine euclidiens avec dim(F)≥dim(E) = net pun entier tel que0≤p≤n−1.

Si (A0, . . . , Ap)∈ E^p+1 sont affinement ind´ependants et (B0, . . . , Bp)∈ F^p+1 avec pour tous i etj,d(Ai, Aj) =d(Bi, Bj), alors il existe une isom´etrief telle que Bi=f(Ai)pour touti, et de plus les points(B0, . . . , Bp)sont affinement libres.

Lorsque F = E, de plus on peut choisir f ∈ Is⁺(E) ou Is⁻(E), et si p=n−1, ce choix est unique.

D´emonstration.

Soit A = Af f(A₀, . . . , A_p) la sous-vari´et´e affine de dimension p engendr´ee par les points (A₀, . . . , A_p). Soit A sa direction et (e_p+1, . . . , e_n) une base orthonorm´ee de A^⊥. En notant pour touti∈[[p+ 1, n]]A_i=A₀+e_i, on obtient un rep`ere affine (A₀, . . . , A_n) deE.

De mˆeme, siB =Af f(B0, . . . , Bp), c’est un sous-espace affine de F de dimension au plus p.

Si B est sa direction, il existe donc (fp+1, . . . , fn) une famille orthonormale deB^⊥ et on pose de mˆemeBi=B0+fi pour touti∈[[p+ 1, n]].

V´erifions que pour tous indicesi etj avec 0≤i < j≤n,d(Ai, Aj) =d(Bi, Bj).

Si 0≤i < j≤p, l’´egalit´e est vraie par hypoth`ese.

Sii≤petj > p, par le th´eor`eme de Pythagore,d(Ai, Aj)²=d(A0, Ai)²+kejk²=d(B0, Bi)²+ 1 =d(Bi, Bj)².

Si p < i < j≤n,d(Ai, Aj)²=kej−eik²= 2 =d(Bi, Bj)².

On applique alors le lemme pr´ec´edent : il existe une isom´etrief telle que pour touti,f(Ai) =Bi. De plus, comme alors (B0, . . . , Bn) est affinement libre, (B0, . . . , Bp) l’est aussi.

A pr´esent, si E = F, soit H l’hyperplan engendr´e par (B₀, . . . , B_n−1). Si s est la r´eflexion orthogonale d’hyperplanH,s◦f est encore une isom´etrie et pour touti∈[[0, n−1]],s◦f(A_i) = s(B_i) = B_i puisque B_i ∈ H. Ainsi `a la fois f et s◦f conviennent : on peut choisir l’isom´etrie directe ou indirecte.

Sip=n−1 et quef etgsont deux isom´etries convenant, pour touti∈[[0, n−1]],f◦g⁻¹(B_i) = Bi. CommeHest engendr´e par (B0, . . . , B_n−1),f ◦g⁻¹|_H =id_H.

Si H est la direction deH, H^⊥ est une droite, donc−−−−→

f ◦g⁻¹|_H⊥ est ´egale `a +id_H⊥ ou−id_H⊥

etf◦g⁻¹=id_E ouf◦g⁻¹=s, d’o`u l’unicit´e.

Nous avons `a pr´esent tous les outils pour d´emontrer le Th´eor`eme ´enonc´e au d´epart.

D´emonstration du Th´eor`eme.

Soient (Ai, i∈I) et (Bi, i∈I) deux familles de points distincts deE un espace affine euclidien de dimensionn, tels que pour tous indicesiet j,d(Ai, Aj) =d(Bi, Bj).

SoitA=Af f(Ai, i∈I). On extrait de la famille (A_i, i∈I) un rep`ere affine de A, not´e pour plus de commodit´e (A₀, . . . , A_r).

Il existe d’apr`es le Corollaire une isom´etrief : E → E telle que pour touti∈[[0, r]],f(A_i) =B_i. Ainsi, (B₀, . . . , B_r) est une famille affinement libre deB=Af f(B_i, i∈I). En particulier, dimB ≥ dimA.

Comme les pointsA_i etB_i jouent des rˆoles sym´etriques, si extrait de la famille des (B_i, i∈I) une famille qui soit un rep`ere affine deB, on trouve une isom´etrie deE qui envoie ce rep`ere sur les pointsA_i correspondants, et on en conclut que dimA ≥dimB. D’o`u finalement dimA= dimBet la famille (B0, . . . , Br) est un rep`ere affine deB.

Il reste `a montrer que pour tout indicej ∈I\[[0, r]],f(Aj) =Bj. Supposons par l’absurde qu’il existe un tel indicej avecf(Aj)6=Bj. Remarquons que fA) =Bd’apr`es ce qui pr´ec`ede : ainsi, f(Aj)∈ B. De plus, pour touti∈[[0, r]],d(Bi, f(Aj)) =d(f(Ai), f(Aj)) =d(Ai, Aj) =d(Bi, Bj).

Ainsi, les points (B0, . . . , Br) sont sur l’hyperplan m´ediateur deBj et f(Aj) dansB. Mais comme (B0, . . . , Br) est un rep`ere affine deB, il ne peut pas ˆetre contenu dans un sous-espace affine strict deB, d’o`u la contradiction.

4 Etude du groupe des isom´ etries.

Comme pour l’´etude du groupe affine, on a la suite exacte scind´ee : {1} //E //Is(E) //O(E) //{1}

L’applicationE→Is(E) est−→u 7→t−→u et l’applicationIs(E)→ O(E) estf 7→−→

f. Comme pour le groupe affine, si on choisit un pointAdeE, il fournit une sections_A : v7→(f : M 7→A+v(−−→

AM)).

Autrement dit, `avune isom´etrie vectorielle,s_Aassocie l’unique isom´etrie affine ayantApour point fixe et de directionv.

Si l’on consid`ere le sous-groupe des d´eplacements, cela fournit deux suites exactes ´egalement scind´ees, la premi`ere ´etant

{1} //Is⁺(E) //Is(E) ^det //{±1} //{1}. si r est une r´eflexion hyperplane ou un

´el´ement quelconque deIs⁻(E), une section est donn´ee par l’application qui `a−1 associer.

L’autre suite exacte scind´e est la restriction `aIs<sup>+</sup>(E) de la premi`ere suite :

{1} //E //Is⁺(E) //SO(E) //{1}, et une sectionsA est obtenue de la mˆeme mani`ere pour tout choix d’un pointA∈ E.

• Centre.

Si f ∈ Z(Is(E)), alors comme l’application Is(E) → O(E) est surjective, −→

f ∈ Z(O(E)) = {±id_E}.

Si−→

f =−id_E,f est une sym´etrie centrale, de centreA∈ E. En particulier,f²=id_E etf⁻¹=f.

Mais pour tout vecteur −→u ∈ E, si t =t−→u, t⁻¹◦f ◦t est la sym´etrie centrale de centre A+−→u. Ainsi, sit6=id_E,t⁻¹◦f◦t6=f etf n’est pas dans le centre de Is(E).

De mˆeme, si−→

f =id_E, f est une translation de vecteur −→u ∈ E. De mˆeme, si −→u 6=−→ 0 , f ne commute pas avec les sym´etries centrales, et n’est donc pas dans le centre.

On obtient ainsi queZ(Is(E)) ={id_E}.

• Composantes connexes.

Le groupe des isom´etries de E se d´ecompose en produit semi-directEoO(E). Ainsi, Is(E) a deux composantes connexes, Is⁺(E) = det⁻¹({1}) et Is⁻(E) = det⁻¹({−1}). Le sous-groupe des d´eplacements Is⁺(E)'EoSO(E) est connexe par arcs. Si r∈ Is⁻(E), l’applicationf 7→ r◦f est un hom´eomorphisme entreIs⁻(E) etIs⁺(E).

•G´en´erateurs du groupe des isom´etries et du groupe des d´eplacements.([T] et [RDO]) Proposition 14. Soit v ∈ O(E) et σ= codim ker(v−idE). Alors v est produit de σ r´eflexions hyperplanes, et ce nombre est minimal.

D´emonstration.

Cette proposition est un r´esultat d’alg`ebre lin´eaire. On sait qu’il existe une base orthonor-

m´ee de E dans laquelle la matrice de v s’´ecrit M =















Ip 0 0 0 0

0 −Iq 0 0 0

0 0 Rθ₁ 0 0

0 0 0 . .. 0

0 0 0 0 Rθ_r















o`u Rθ =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

, etp+q+ 2r=nla dimension deE.

Avec ces notations,σ= codim ker(v−IdE) =q+ 2r.

Si pouri∈[[1, q]],siest la r´eflexion d’hyperplan (ep+i)^⊥, sa matrice s’´ecrit dans la base consid´e-

r´ee













I_p 0 0 0 0

0 I_i−1 0 0 0

0 0 −1 0 0

0 0 0 I_q−i 0

0 0 0 0 I2r













. De mˆeme, sij∈[[1, r]], soitr_jla rotation d’angleθ_jdans le plan

engendr´e par e_p+q+2j−1 ete_p+q+2j, i.e. dont la matrice s’´ecrit













I_p 0 0 0 0

0 I_q 0 0 0

0 0 I_2j−2 0 0

0 0 0 R_θj 0

0 0 0 0 I_2r−2j











 .

Cette rotationr_j est la compos´ee de deux r´eflexions hyperplaness⁰_j et s⁰⁰_j.

Ainsi,v=s₁◦. . .◦s_q◦s⁰₁◦s⁰⁰₁◦. . .◦s⁰_r◦s⁰⁰_r est la compos´ee deq+ 2r=σr´eflexions hyperplanes.

Autre d´emonstration : par r´ecurrence surσ.

Si σ = 0, v = idE est produit de 0 r´eflexions hyperplanes et ce nombre est bien entendu minimal !

Si σ > 0, il existe x∈E tel que kxk = 1 etv(x)6=x. Puisque v est une isom´etrie, v(x)−x et v(x) +xsont orthogonaux. (En effet, (v(x)−x, v(x) +x) = kv(x)k²− kxk² = 0.) Soit donc s la r´eflexion par rapport `a (v(x)−x)^⊥.s(v(x)−x) =x−v(x) et puisquev(x) +x∈(v(x)−x)^⊥, s(v(x) +x) =v(x) +x. Doncs(v(x)) =x.

(v(x)−x)^⊥

×

× x

v(x) s

Ainsi, codim ker(s◦v−id_E) = codim ker(v−id_E)−1 =σ−1. Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existes1, . . . , s_σ−1r´eflexions hyperplanes telles ques◦v=s1◦. . .◦s_σ−1, et doncv=s◦s1◦. . .◦s_σ−1 est produit deσr´eflexions hyperplanes.

Ce nombre est minimal : siv =s1◦. . .◦sk est la compos´ee dek r´eflexions hyperplanes, pour touti, soitHi l’hyperplan de si. Alors ker(v−idE)⊇Tk

i=1Hi et doncσ= codim ker(v−idE)≤ codimTk

i=1Hi≤k.

Th´eor`eme 15. Soit f ∈Is(E). Notons F ix={M ∈ E, f(M) =M} l’ensemble des points fixes def etσ= codim ker(−→

f −idE).

• Si F ix6=∅, alorsf est le produit de σr´eflexions hyperplanes affines, dont l’intersection des hyperplans estF ix. De plus, ce nombre est minimal.

• SiF ix=∅, alors f est produit de σ+ 2 r´eflexions hyperplanes.

Dans tous les cas,f est produit d’au plusdimE+1r´eflexions hyperplanes, et c’est optimal (dans le sens o`u il existe des isom´etries qui ne sont pas le produit de moins de dimE+ 1 r´eflexions).

D´emonstration.

• Si F ix6=∅, on applique le r´esultat obtenu dans le cas vectoriel. SiA ∈F ix, nous avons vu queO(E) est en bijection avecIsA(E), l’ensemble des isom´etries deE fixant le pointA.

• Si F ix=∅, d’apr`es la d´ecomposition en forme r´eduite, il existe une translationt =t→−u non triviale et une isom´etrieh∈Is_A(E) fixant un pointA deE avecf =t◦h.

Comme −→ f = −→

h, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, il existe s₁, . . . , s_σ r´eflexions hyperplanes telles que h=s₁◦. . .◦s_σ (et ce nombre est minimal pourh).

Une translation est le produit de deux r´eflexions hyperplanes. En effet, siHest un hyperplan affine orthogonal `a −→u etH⁰ =H+¹₂−→u, sisest la r´eflexion d’hyperplanHet s⁰ celle d’hyperplan H⁰,t^−→_u =s⁰◦s.

Ainsi,f =s⁰◦s◦s1◦. . .◦sσ est produit deσ+ 2 r´eflexions hyperplanes.

Puisque si ker(−→

f −id_E) = {0}, f admet un unique point fixe, si F ix = ∅, n´ecessairement σ < n= dimE etf est le produit d’au plus n+ 1 r´eflexions hyperplanes.

Par exemple en dimension 2, une sym´etrie gliss´ee n’est pas le produit de moins de 3 r´eflexions (si elle pouvait s’´ecrire comme un produit de moins de trois r´eflexions, comme c’est un antid´eplacement, elle serait n´ecessairement ´egale `a une r´eflexion. Mais une sym´etrie gliss´ee n’a pas de points fixes alors qu’une r´eflexion admet toute une droite de points fixes, c’est donc absurde). De mˆeme, un vissage en dimension 3 n’est pas le produit de moins de 4 r´eflexions : dimE+ 1 est optimal.

Corollaire 16. Les r´eflexions hyperplanes engendrent Is(E) le groupe des isom´etries de E.

Question : Qu’en est-il du groupe des d´eplacements ? Les r´eflexions hyperplanes ´etant des antid´eplacements, il faut les remplacer par des d´eplacements. C’est la notion de retournement.

D´efinition 17(Retournements).Unretournementest une r´eflexion par rapport `a un sous-espace affine de codimension 2 de E. En particulier, c’est un d´eplacement.

En dimension 2, un retournement est une sym´etrie centrale. Comme la compos´ee de deux sym´etries centrales est une translation, le sous-groupe engendr´e par les retournements en dimension 2 ne contient pas les rotations.

En dimension 3, un retournement est une sym´etrie par rapport `a une droite, ou sym´etrie axiale.

Une rotation peut s’´ecrire comme le produit de deux sym´etries axiales, ainsi qu’une translation (les axes sont alors parall`eles). Un vissage s’obtient alors imm´ediatement comme produit de 4 sym´etries axiales.

Proposition 18. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 3. Soit v ∈ SO(E).

Notons σ = codim ker(v−idE). Si ker(v−idE) 6= {0}, v est le produit de σ retournements, et c’est minimal. Siker(v−idE) ={0},v est produit d’au plusn−1 retournements.

Dans tous les cas, v est produit d’au plusn−1 retournements.

Lemme 19. Soient H1 et H2 deux hyperplans de E tels que H₁^⊥ ⊥ H₂^⊥. Alors sH₁ ◦ sH₂ = sH₂◦sH₁ =sH₁∩H₂.

D´emonstration du Lemme.

La condition d’orthogonalit´e implique que pour i 6= j, H_i^⊥ ⊆ H_j. Ainsi, il existe une base (e₁, . . . , e_n) de E avec H₁ =V ect(e₁, . . . , e_n−1), H₂ = V ect(e₂, . . . , e_n), e₁ ∈ H₁∩H₂^⊥ et e_n ∈

H₂∩H₁^⊥. Dans cette base, la matrice des_H1 s’´ecrit













1 0 . . . 0 0 . .. . .. ... ... . .. 1 0 0 . . . 0 −1













et celle de s_H2 s’´ecrit













−1 0 . . . 0 0 1 . .. ... ... . .. . .. 0 0 . . . 0 1













, ce qui d´emontre le r´esultat par calcul matriciel.

D´emonstration de la Proposition.

• Cas o`u ker(v−idE)6={0}.

Il existe donc une droite vectorielleD⊆ker(v−id_E). Soitsla sym´etrie hyperplane d’hyperplan D^⊥.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, il existes₁, . . . , s<sub>2`</sub>des r´eflexions hyperplanes, o`u 2`=σ= codim ker(v−

idE) telles quev=s1◦. . .◦s2`.

Pour touti,siest une r´eflexion d’hyperplanD_i^⊥o`uDiest une droite vectorielle.D<sup>⊥</sup><sub>i</sub> ⊇ker(v− idE)⊇Ddonc les droitesDetDisont orthogonales. D’apr`es le lemme,s◦si=si◦s=s_(D+Di)⊥ = ri est un retournement.

Il vientv= (s1◦s)◦(s◦s2)◦. . .◦(s<sub>2`−1</sub>◦s)◦(s◦s`) =r1◦r2◦. . .◦r2`est une d´ecomposition deven produit de 2`=σretournements.

• Cas o`u ker(v−idE)6={0}.

Cela implique n´ecessairement que n= dimE est pair.

Soitx∈Eunitaire. Par hypoth`ese,v(x)6=x. Commen≥3, il existe un hyperplanH contenant

`

a la foisxet v(x). SoitV l’orthogonal de la droite dirig´ee par (v(x)−x) dans H. Comme V est un sous-espace de codimension 2 de E, r = sV est un retournement et comme pr´ec´edemment, r(v(x)) =x.

En posant v⁰ =r◦v, v⁰ ∈SO(E) etv⁰(x) =x, donc codim ker(v⁰−idE)≤n−2. Montrons qu’on a exactement codim ker(v⁰−idE) =n−2.

Sinon, dim ker(v⁰−idE) ≥3 et donc commeV est de codimension 2 dans E, il existe y 6= 0 tel quey ∈V ∩ker(v⁰−idE). Mais c’est absurde car alors r◦v(y) = y et commey ∈V, v(y) = r²◦v(y) =r(y) =ydoncy∈ker(v−id_E)6={0}.

Ainsi, codim ker(v⁰−id_E) =n−2 etv⁰=r₁◦. . .◦r_n−2 o`u lesr_i sont des retournements. On a bien alorsv=r◦r₁◦. . .◦r_n−2 :v est le produit den−1 retournements.

Th´eor`eme 20. SoitE un espace affine euclidien de dimension n≥3.

Si f ∈Is⁺(E) est un d´eplacement autre qu’une translation, alors f est le produit de ρretour- nements, avecρ≤min(σ, n−1), o`uσ= codim ker(−→

f −id_E).

D`es quen≥3, le groupe des d´eplacements deE est engendr´e par les retournements.

D´emonstration du Th´eor`eme.

SoitF ixl’ensemble des points fixes def.

• Si F ix6=∅, alors on se ram`ene comme pr´ec´edemment au cas vectoriel etf est le produit de ρ= min(σ, n−1) retournements.

• Si F ix = ∅, on ´ecrit f = t^−→_u ◦h sous forme r´eduite. En d´ecomposant t et h en produit de r´eflexions hyperplanes, on obtient f = (s_H⁰

1 ◦s_H⁰

2)◦ (sH₁ ◦sH₂ ◦. . .◦ sH_σ). Comme −→u ∈ ker(−→

f −idE) = ker(−→

h −idE), si l’on consid`ere les directions, H<sub>1</sub><sup>0⊥</sup>et H<sub>2</sub><sup>0⊥</sup>sont orthogonaux `aH₁^⊥ et H₂^⊥. Ainsi, f = (s_H⁰

1◦s_H1)◦(s_H⁰

2 ◦s_H2)◦(s_H3. . .◦s_Hσ) = r1◦r2◦g, avec r1 =s_H⁰

1◦s_H1 et r2 =s_H⁰

2◦sH₂ des retournements (car pour i= 1 et 2, Hi+H_i⁰ =E et donc Hi∩ H⁰_i est un sous-espace affine de codimension 2) etg=sH₃. . .◦sH_σ. Comme ker(−→g −idE)⊇H3∩. . .∩Hσ, codim ker(−→g −idE)≤σ−2. De plus,hadmet un point fixeA∈ H1∩. . .∩ Hσ⊆ H3∩. . .∩ Hσ

et doncg admet aussi des points fixes. D’apr`es le premier cas,gest alors produit d’au plus σ−2 retournements, ce qui permet de conclure.

Comme une translation est le produit de deux retournements, cela ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.

5 Angles en g´ eom´ etrie.

Les r´ef´erences pour ce paragraphe sont [F] et [B].

5.1 Comment d´ efinir un angle ?

Les angles sont utilis´es en g´eom´etrie affine euclidienne, mais concernent en r´ealit´e les directions des sous-espaces affines consid´er´es. Aussi nous pla¸cons-nous dans le cadre vectoriel.

SoitEun espace vectoriel euclidien de dimension finien≥2. On d´efinit undemi-sous espace vectoriel de E comme l’intersection d’un sous-espace vectoriel avec un ensemble de la forme {x∈E, ϕ(x)≥0}, o`uϕest une forme lin´eaire deE^∗.

SoitFl’ensemble des sous-espaces vectoriels et des demi-sous espaces vectoriels deE. Le groupe lin´eaireGL(E) agit surFvia l’action naturellement d´efinie parg.F =g(F) sig∈GL(E) etF ∈ F.

Les orbites sont uniquement d´etermin´ees par la dimension du sous-espace et par le fait qu’il soit ou non un demi-espace (c’est le th´eor`eme de la base incompl`ete !).

En appliquant le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, l’action deO(E) et deSO(E) par restriction de celle deGL(E) surF d´eterminent les mˆemes orbites.

Que se passe-t-il `a pr´esent si l’on ´etudie les orbites de ces actions sur les couples d’´el´ements deF? Comme on est en g´eom´etrie, on ne conservera que des couples dont les bords s’intersectent de mani`ere «raisonnable »s’ils sont des demi-espaces. C’est la d´efinition d’une figure. Un couple (F, G) ∈ F² est une figure si le bord de l’un est contenu dans l’autre (avec la convention que le bord d’un sous-espace vectoriel est vide). Ainsi,F ig ={(F, G) ∈ F², ∂F ⊆∂Gou∂G⊆∂F}.

En pratique, on regarde les figures constitu´ees par deux sous-espaces vectoriels ou deux demi-sous espaces vectoriels (par exemple pour consid´erer des angles de demi-droites).

Le groupe GL(E) agit sur F ig par g.(F, G) = (g(F), g(G)). Les orbites de cette action pour les sous-espaces vectoriels sont caract´eris´ees par (dimF,dimG,dimF ∩G). Par restriction, les sous-groupesO(E) etSO(E) agissent encore sur F ig. Quelles sont les orbites ?

D´efinition 21(Angles). Soit(F, G)∈F ig. L’angle non orient´ede(F, G)est l’orbite de(F, G) sous l’action de O(E).

L’angle orient´e de(F, G)est l’orbite de(F, G)sous l’action de SO(E).

But :Caract´eriser les angles par des fonctions (`a valeurs r´eelles ? Continues ?) injectives sur une orbite... Recherche d’invariants.

5.2 Le cas de la dimension au moins ´ egale ` a 3.

Soient (D, D⁰) deux droites de E et (∆,∆⁰) deux demi-droites deE. Ce sont des ´el´ements de F ig.

On d´efinit (D, D⁰) = arccos_kxk·kx^|(x,x0)|0k ∈[0,^π₂] pourxun vecteur directeur deD et x⁰ deD⁰ (le r´esultat est ind´ependant du choix de ces vecteurs).

De mˆeme, sixetx⁰sont des vecteurs directeurs de ∆ et ∆⁰, on d´efinit (D, D⁰) = arccos_kxk·kx^(x,x0)0k ∈ [0, π]

Proposition 22. SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionn. Soient(D, D⁰)et(D₁, D⁰₁) quatre droites deE (respectivement(∆,∆⁰)et(∆₁,∆⁰₁)quatre demi-droites deE).

•Angles non orient´es :les angles non orient´es(D, D⁰)et(D1, D⁰₁)co¨ıncident si, et seulement si(D, D⁰) = (D1, D⁰₁). De mˆeme pour les demi-droites : les angles non orient´es(∆,∆⁰)et(∆1,∆⁰₁) co¨ıncident si, et seulement si(∆,∆⁰) = (∆₁,∆⁰₁).

• Angles orient´es : ATTENTION si n ≥ 3, alors les angles orient´es (D, D⁰) et (D1, D⁰₁) co¨ıncident si, et seulement si (D, D⁰) = (D1, D⁰₁). De mˆeme pour les demi-droites : les angles orient´es(∆,∆⁰) et(∆₁,∆⁰₁) co¨ıncident si, et seulement si(∆,∆⁰) = (∆₁,∆⁰₁).

ATTENTION : le r´esultat est faux en dimension 2 pour les angles orient´es.

D´emonstration.

La d´emonstration est faite dans le cas des droites, mais n’est pas tr`es diff´erente pour des demi- droites (cf [B]).

• Cas des angles non orient´es.

Tout d’abord, remarquons que le r´eel (D, D⁰) est constant sur les orbites sous l’action deO(E).

En effet, sig∈ O(E), commegpr´eserve le produit scalaire, (g(D), g(D⁰)) = (D, D⁰).

Soient xet x⁰ des vecteurs directeurs unitaires deD et D⁰, etx1 et x⁰₁ des vecteurs directeurs unitaires pour D1 et D⁰₁. Par le proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt, il existe y et y1 unitaires tels que (x, y) soit une base orthonorm´ee de V ect(D, D⁰) et (x1, y1) soit une base orthonorm´ee deV ect(D1, D⁰₁). Il existe alors un ´el´ementg∈ O(E) envoyant (x1, y1) sur (x, y).

On peut donc se ramener au cas o`uV ect(D1, D⁰₁) =V ect(D, D⁰) etD1=D.

Ainsi,x₁ =x,x⁰ = (x⁰, x)x+ (x⁰, y)y et x⁰₁= (x⁰₁, x)x+ (x⁰₁, y)y. Or (D, D⁰) = (D, D⁰₁), donc

|(x⁰, x)|=|(x₁, x)|et|(x⁰, y)|=|(x₁, y)|puisque (x⁰, y)²= 1−(x⁰, x)². Il existe donc (_x, _y)∈ {±1}

avec (x⁰₁, x) =_x(x⁰, x) et (x⁰₁, y) =_y(x⁰, y). Il y a donc quatre cas `a distinguer.

♦Si (x, y)∈ {(1,1),(−1,−1)},x⁰₁=x⁰ oux⁰₁=−x⁰. Dans ces deux cas,D₁⁰ =D⁰ et les deux couples de droite sont bien dans la mˆeme orbite sous l’action deO(E).

♦Six= 1 ety=−1, soitsla sym´etrie orthogonale par rapport `a la droiteD. Alorsx⁰₁=s(x⁰) etD⁰₁=s(D⁰),D=s(D). Ainsi, les deux couples de droites sont dans la mˆeme orbite.

D D⁰

D⁰₁ x

y x⁰

x⁰₁

♦ Si _x = −1 et _y = 1, le raisonnement est identique avec s⁰ la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite dirig´ee pary.

D D⁰

D⁰₁ x

y x⁰ x⁰₁

Ainsi, dans tous les cas, les couples (D, D⁰) et (D1, D⁰₁) sont dans la mˆeme orbite sous l’action deO(E), ce qui montre le r´esultat pour les angles non orient´es.

• Cas des angles orient´es lorsque dimE≥3.

En reprenant le raisonnement pr´ec´edent, on peut de plus choisirg∈SO(E) tel queg(x₁) =x et g(V et(D₁, D⁰₁)) = V ect(D, D⁰). donc on peut supposer quex₁ =x. Si de plusx⁰₁ =±x⁰, alors D₁⁰ =D⁰ et il n’y a rien `a prouver.

Sinon, puisque dimE ≥3, si l’on consid`ere la sym´etrie orthogonale dans le plan engendr´e par D etD⁰ qui envoieD⁰₁ surD⁰, on peut la prolonger en un retournement de E et donc les couples de droites (D, D⁰) et (D1, D⁰₁) sont bien dans la mˆeme orbite sous l’action deSO(E). Ceci devient donc faux lorsque dimE= 2 puisque l’on ne peut pas prolonger la r´eflexion en retournement.

L’ensemble des demi-droites deE s’identifie naturellement `a l’ensemble des vecteurs unitaires deE, soitS(E) ={x∈E,kxk= 1}. D`es que dimE ≥3, l’angle orient´e entre deux vecteursxet x⁰ est caract´eris´e par arccos(x, x⁰).

Ainsi, si (x, x⁰) et (y, y⁰) ∈ S(E)², il existe g ∈ SO(E) tel que g(x) = y et g(x⁰) = y⁰ si, et seulement si (x, x⁰) = (y, y⁰), ce qui ´equivaut encore `akx−x⁰k=ky−y⁰kpuisque tous les vecteurs sont de norme 1. Cette propri´et´e est utilis´ee par D. Perrin lors de la d´emonstration de la simplicit´e deSO3 [P, p. 149].

Remarque 23. Les angles entre droites permettent aussi de caract´eriser les angles entre hyperplans deE:(D, D⁰)et(D₁, D₁⁰)sont dans la mˆeme orbite sous l’action deO(E)(respectivementSO(E)) si, et seulement si(D^⊥, D^0⊥)et(D^⊥₁, D^0⊥₁ )le sont. Ainsi on peut caract´eriser les angles non orient´es et les angles orient´es d’hyperplans par leur mesure dans[0,^π₂]. En particulier, cela permet de d´efinir les angles entre plans de l’espace euclidien.

5.3 Angles du plan.

5.3.1 Cas des demi-droites.

On sait que l’ensemble X des demi-droites de R² s’identifie au cercle unit´e S¹ de R², et le groupe G=SO₂ agit surX de fa¸con simple et transitive. (La transitivit´e est imm´ediate, pour la simplicit´e, sig∈SO₂ est telle qu’il existev∈S¹avecg(v) =v, alors +1 est valeur propre deget doncg=id.)

Cette action d´etermine deux relations d’´equivalence.

• La premi`ere est associ´ee `a Φ : X×X →G qui `a un couple (d, d<sup>0</sup>) de demi-droites associe l’unique rotation g ∈ G telle que g(d) = d<sup>0</sup>. Soit R1 la relation d’´equivalence associ´ee `a Φ. Par d´efinition, (d, d⁰)R1(d₁, d⁰₁) si, et seulement s’il existe une rotationg∈SO₂ telle que d₁=g(d) et d⁰₁=g(d⁰).

Comme dans le chapitre de g´eom´etrie affine, Φ permet de munir l’ensemble X×X/_R1 d’une structure de groupe isomorphe `aGpar transfert de structure.

• D’autre part, l’action deGsurX fournit une action deGsurX×X d´efinie parg·(d, d⁰) = (g(d), g(d⁰)). SoitR2 la relation d’´equivalence associ´ee. Par d´efinition, (d, d⁰) et (d1, d⁰₁) sont dans la mˆeme orbite si, et seulement si ces couples de demi-droites forment le mˆeme angle orient´e.

D´efinition 24. SiR₁ etR₂ sont deux relations d’´equivalence sur un ensemble Y, on dit queR₁ estplus finequeR₂ si pour tousxety∈Y tels quexR₁y, alorsxR₂y. On le noteR₁ =⇒ R₂. Ceci ´equivaut `a dire que le graphe deR1 peut se plonger comme un sous-graphe du graphe de R2, ou encore que si pouri= 1 et 2,πi : Y →Y /_Ri,π2 se factorise parπ1. Cette relation sur les relations d’´equivalence deY est une relation d’ordre.

Lemme 25. SoitG un groupe agissant simplement et transitivement sur un ensemble X,R1 et R2 les deux relations d’´equivalence sur X ×X d´efinies plus haut. Les propri´et´es suivantes sont

´equivalentes.

(i)R2 =⇒ R1. (ii)R1 =⇒ R2. (iii) R1=R2.

(iv)Le groupeGest commutatif.

D´emonstration du Lemme.

(ii) =⇒ (iv). Soientget h∈G,x∈X.

On a (x, g(x))R₁(h(x), gh(x)), donc par hypoth`ese aussi (x, g(x))R₂(h(x), gh(x)). Il existe donc k∈Gtel queh(x) =k(x) etgh(x) =kg(x). Comme l’action est simple,k=hetgh=hg, montrant queGest ab´elien.

(iv) =⇒ (ii). Supposons G ab´elien. Si (x, y)R1(x⁰, y⁰), il existeg ∈ G tel que y = g(x) et y⁰ =g(x⁰). Comme l’action est transitive, il existe en outreh∈G tel quex⁰ =h(x). Ainsi, y⁰ = g(x⁰) =gh(x) =hg(x) =h(y) puisque le groupe est ab´elien. Ceci montre bien que (x, y)R2(x⁰, y⁰).

Pour (i) =⇒ (iv) et (iv) =⇒ (i), on applique les mˆemes id´ees. Enfin, comme la relation«ˆetre plus fine» est une relation d’ordre, (i) et (ii) impliquent (iii).

d d⁰ d₁

d⁰₁ g g d⁰₁

d₁ d⁰

d h

h

R1 R2

Comme dans le cadre des angles, le groupe ´etudi´e estSO₂, commutatif, les propri´et´es du Lemme sont v´erifi´ees. Ainsi, siAest l’ensemble des angles orient´es de demi-droites du plan, par d´efinition A=X×X/_R2'X×X/_R1 'SO2.

La bijectionA →SO₂ est de fa¸con explicite l’application qui au couple (d, d⁰) de demi-droites du plan associe l’unique rotationg∈SO₂ telle qued⁰=g(d), not´ee(d, d\⁰).

Comme une rotationg∈SO2 est uniquement caract´eris´ee par un angleθd´efini modulo 2πtel que la matrice deg dans une base orthonorm´ee directe estR_θ =

cosθ −sinθ sinθ cosθ

, on identifie souvent g=(d, d\⁰) et l’angleθ d´efini modulo 2π. Ainsi, il n’y a pas besoin d’orienter l’espace R² pour parler d’angles orient´es de demi-droites, par contre pour les mesurer dansR/_2πZil faut choisir une orientation de l’espaceR²pour consid´erer la matrice deg dans une base orthonorm´ee directe.

Par exemple, le plan complexe est isomorphe au corps de ruptureR[X]/_(X2+1). Cette ´ecriture ne permet pas de distinguer les deux racines du polynˆome X²+ 1. Choisir laquelle serai revient `a choisir une orientation du plan complexe.

La loi de groupe sur A h´erit´ee de celle de SO₂ est souvent not´ee +, et est commutative. La structure de groupe ab´elien surAconduit `a un certain nombre de propri´et´es utiles.

(i) Relation de Chasles :(d\₁, d₂) +(d\₂, d₃) =(d\₁, d₃).

(ii) L’angle (d, d\⁰) est nul si, et seulement sid=d⁰. (iii)(d\⁰, d) =−(d, d\⁰).

(iv) R`egle du parall´elogramme : (d, d\⁰) = (d\1, d⁰₁) si, et seulement si (d, d\1) = (d\⁰, d⁰₁). Ceci

´equivaut encore `a dire qu’il existe une demi-droite δtelle que (δ, d) +[ (δ, d\<sup>0</sup>) =(δ, d\1) +(δ, d\<sup>0</sup><sub>1</sub>), ou encore que cette derni`ere propri´et´e est vraie pour toute demi-droiteδ.

(v) Siσ∈ O₂⁻,(σ(d), σ(d\ ⁰)) =−(d, d\⁰).

(v) est la seule propri´et´e qui non imm´ediate. Soit r ∈SO₂ la rotation telle que r(d) =d⁰. La rotation qui envoieσ(d) surσ(d⁰) estσ◦r◦σ⁻¹ =σ◦r◦σpuisque commeσ∈ O⁻₂, σ²=id. Or

´egalement,σ◦r∈ O₂⁻. Ainsi, (σ◦r)²=σ◦r◦σ◦r=idet doncσ◦r◦σ=r⁻¹. Cela signifie bien que(σ(d), σ(d\ ⁰)) =−(d, d\⁰).

D´efinition 26. Sidetd⁰ sont deux demi-droites, unebissectrice de(d, d\⁰)est une demi-droiteδ telle que(d, δ) =[ (δ, d\⁰).

Remarque 27. Dire que δ est la bissectrice de (d, d\⁰) ´equivaut `a dire que δ v´erifie l’´equation (d, d\⁰) = 2(d, δ), ou encore que si[ sδ est la r´eflexion orthogonale d’axe contenantδ,sδ(d) =d⁰.

δ⁰ δ

d⁰

d ω

d⁰ y

d x

x+y

En effet, (d, s\_δ(d)) =(d, δ) +[ (δ, s\_δ(d)) =(d, δ) +[ (s_δ(δ), s\_δ(d)) =(d, δ)[ −(δ, d) = 2[ (d, δ).[ Ainsi, chercher une bissectrice, c’est r´esoudre dansA l’´equation 2x=α, ou encore l’´equation h²=g dansSO₂.

Comme ces deux groupes sont ab´eliens, s’il existe une solution x₀, les autres solutions sont toutes de la formex0+y o`u y parcourt l’ensemble des solutions de l’´equation 2y= 0. DansSO2, cette ´equation se r´e´ecrith²=id, donchest une r´eflexion orthogonale, et commeh∈SO2,h=±id.

La solution dans Aassoci´ee `a h=−id dansSO2 est not´eeω et appel´ee l’angle plat. Ainsi, s’il existe une bissectriceδ de(d, d\<sup>0</sup>), l’autre est−δet l’angle(δ,\−δ) est ´egal `a ω.

Pour montrer l’existence, il suffit de trouver une r´eflexion orthogonalestelle ques(d) =d⁰. Or, sid=R+xetd⁰=R+yavecxetyunitaires, la r´eflexionspar rapport `a la droite dirig´ee parx+y v´erifie biens(x) =yet donc s(d) =d⁰.

5.3.2 Cas des droites.

L’ensemble des droites deR² s’identifie `aRP¹, la droite projective r´eelle. On peut aussi d´ecrire RP¹=S¹/_x∼−x, le cercle quotient´e par la relation d’antipodie. L’action reste transitive, mais n’est plus simple car−idagit aussi trivialement sur RP¹.

Siϕ : SO2→S_RP1 est le morphisme d´efinissant l’action deSO2, son noyau est l’ensemble des

´el´ementsg∈SO2tels que pour toutx∈RP¹,g(x) =x. Comme un endomorphisme laissant toute droite globalement invariante est une homoth´etie, on en d´eduit que kerϕ={±id}. De plus, comme SO₂ est ab´elien, pour tout pointx∈RP¹, le stabilisateur dexest ´egalement{±id}.

En posant P SO₂ =SO₂/_{±id}, ce groupe est encore ab´elien et agit sur RP¹ de fa¸con simple et transitive. Ainsi, le mˆeme raisonnement montre que siAeest l’ensemble des angles orient´es des droites du plan, Aeest en bijection avec P SO2. Pour tout couple de droites (D, D⁰) du plan, il existe un unique ´el´ementg∈P SO2 tel queg(D) =D⁰.

Ainsi, les raisonnements et r´esultats pour les angles orient´es de demi-droites s’adaptent dans le cas des angles orient´es de droites. Notamment, on a existence de deux bissectrices, orthogonales.

5.4 Les similitudes.

Une similitudes conserve les angles (non orient´es lorsque la dimension de l’espace est 2), mais dilate les longueurs. Cela paraˆıt naturel de consid´erer ces transformations car dans notre espace physique il n’y a pas de longueur unit´e bien d´efinie et qu’il faudrait pr´eserver. Plutˆot que de conserver les longueurs, il paraˆıt plus naturel de conserver seulement les rapports entre les longueurs.

D´efinition 28 (Similitudes vectorielles). Soitv ∈ GL(E) o`u E est un espace vectoriel euclidien de dimension n. L’application v est appel´ee similitude de rapport µ > 0 si pour tout x ∈ E, kv(x)k=µkxk.

Le groupe des similitudes est not´eGO(E), c’est un sous-groupe deGL(E). On noteGO⁺(E) = GO(E)∩GL⁺(E)le groupe dessimilitudes directesetGO⁻(E) =GO(E)∩GL⁻(E)l’ensemble dessimilitudes indirectes.

Une homoth´etie de rapportλ∈R^∗est une similitude de rapport|λ|. D’autre part, siv∈GO(E) est de rapport µ, alors en posant g = µ⁻¹v, g ∈ O(E) est une isom´etrie etv = g◦(µ·idE) = (µ·idE)◦g. Ainsi le groupeGO(E) est isomorphe au produit directO(E)×R^∗+.

Proposition 29. (i) Les similitudes conservent les angles non orient´es de droites et de demi- droites, ainsi que les angles orient´es lorsquen= dim(E)≥3.

(ii)Lorsque dim(E) = 2, les similitudes directes conservent les angles orient´es de droites et de demi-droites, les similitudes indirectes les renversent.

(iii) Les similitudes conservent l’orthogonalit´e : si v ∈ GO(E) et D et D⁰ sont deux droites orthogonales, alorsv(D)etv(D⁰) sont orthogonales.

(iv) R´eciproquement, si n = dim(E) ≥ 2 et v ∈ GL(E) conserve l’orthogonalit´e des droites, alors v est une similitude.

D´emonstration.

Seul le point (iv) n’est pas une cons´equence imm´ediate de la d´ecomposition en produit direct GO(E)'O(E)×R^∗+.

Soit doncv∈GL(E) conservant l’orthogonalit´e. Cela signifie que pour tousxety∈Etels que (x, y) = 0, (v(x), v(y)) = 0.

Soit x ∈ E\ {0} fix´e. La forme lin´eaire ϕ_x : y 7→ (v(x), v(y)) s’annule sur l’hyperplan x^⊥. Par dualit´e, cela implique qu’il existeλ_x∈R^∗ tel queϕ_x=λ_xx^∗ o`u x<sup>∗</sup> : y 7→(x, y). (En effet, si (e1, . . . , e<sub>n−1</sub>) est une base deH=x<sup>⊥</sup>, (e1, . . . , e<sub>n−1</sub>, x) est une base deEet donc (e<sup>∗</sup><sub>1</sub>, . . . , e<sup>∗</sup><sub>n−1</sub>, x<sup>∗</sup>) est une base deE<sup>∗</sup> et les (n−1) premi`eres coordonn´ees deϕxsont nulles sur cette base.)

Ainsi, pour tout x ∈ E \ {0}, il existe λx ∈ R^∗ tel que ϕx = λxx^∗. Montrons ce r´eel est ind´ependant dex.

Sixetx⁰ ∈Esont lin´eairement ind´ependants, (v(x+x⁰), v(y)) =λx+x⁰(x+x⁰, y) = (v(x), v(y))+

(v(x⁰), v(y)) = λx(x, y) +λx⁰(x⁰, y), et donc (λx+x⁰ −λx)x^∗+ (λx+x⁰ −λx⁰)x^0∗ = 0. Comme les