ENS Lyon - L3 9 f´evrier 2009 Analyse complexe
TD-3
Exercice 1.
Soit p∈Cet soit γ un lacet dans C\ {p}. On suppose qu’il existe une demi-droite Ld’origine p telle queγ−1(L) soit fini et que γ traverse L en chacun de ces points. On note n+ (resp. n−) le nombre de points o`u γ traverse positivement (resp. n´egativement) L. Montrer queI(γ, p) = n+−n− (o`uI(γ, p) d´esigne l’indice de γ par rapport `a p).
Exercice 2.
Montrer que si f est continue surD(a, r), holomorphe surD(a, r), alors
∀z∈D(a, r), f(z) = 1 2πi
Z
∂D(a,r)
f(w) w−zdw.
Exercice 3.
Soitf,gholomorphes sur un ouvert connexeU ⊂C. On suppose quegn’est pas identiquement nulle, et que fg¯est `a valeurs r´eelles. Montrer qu’il existeλ∈C tel quef =λg.
Exercice 4.
Soit U ⊂Cun ouvert connexe. D´eterminer toutes les fonctionsf holomorphes surU telles que f◦f =f.
Exercice 5.
Soit U ⊂C un ouvert connexe contenant 0, etf holomorphe sur U. Montrer que 1. on ne peut pas avoir f 1n
= 21n pour une infinit´e den∈N; 2. sif n1
= n+11 pour n≥n0, alorsf(z) = z+1z surU; 3. sif n1
=f 2n1
pourn≥n0, alorsf est constante.
Exercice 6.
Soit f une fonction enti`ere telle que|f(z)| −−−−−→
|z|→+∞ +∞.
1. Montrer quef n’a qu’un nombre fini de z´eros not´es z1, . . . , zk.
2. D´eterminer une fonction polynomialeP telle quef /P soit enti`ere et sans z´eros.
3. En ´etudiant P/f, montrer que f est polynomiale.
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