Examen, 13 d´ecembre 2007 Int´egration et th´eorie de la mesure LM363
Dur´ee 3 heures. Tous documents interdits.
Toute application d’un r´esultat prouv´e ou ´enonc´e pendant le cours doit ˆetre signal´ee et justifi´ee avec pr´ecision.
Exercice 1 SoitR+= [0,+∞[ et pour toutn ≥1 la fonctionfn :R×R+×R+7→C fn(t, x, y) :=e−(n+x)y¡
eiyt−1¢ . 1. Prouver que pour tout (t, x, y)∈R×R+×R+
X
n≥1
|fn(t, x, y)| ≤ |t| y e−y 1−e−y
et
f(t, x, y) := X
n≥1
fn(t, x, y) = e−xy ey −1
¡eiyt−1¢ .
2. Montrer que pour tout (t, x)∈R×R+ on a y7→f(t, x, y)∈L1(R+, λ) et Z +∞
0
f(t, x, y)dy=X
n≥1
it
(n+x−it)(n+x).
3. Soit pour tout (t, x, y)∈R×R+×R+
u(t, x, y) := e−xy
ey−1 sin(yt).
Prouver que pour tout (t, x)∈R×R+ on a y7→u(t, x, y)∈L1(R+, λ) et Z +∞
0
e−xy
ey−1 sin(yt)dy =X
n≥1
t
(n+x)2+t2.
4. Prouver que la fonction g :R×R+ 7→R
g(t, x) :=
Z +∞
0
e−xy
ey−1 sin(yt)dy
est de classe C2 surR×R+ et satisfait sur R×R+ l’´equation
∂2g
∂t2 + ∂2g
∂x2 = 0.
1
Exercice 2 Soit (X,A, µ) un espace mesur´e etp∈[1,+∞[. Soitf dansLp(X,R+), o`u R+= [0,+∞[.
1. Soit ϕ: R+ 7→[0,+∞] d´efinie par ϕ(t) :=µ(f > t). Montrer que ϕ(t)<+∞
pour tout t >0 `a l’aide de l’in´egalit´efp ≥tp·1{f >t}.
2. Montrer queϕest d´ecroissante, continue `a droite surR+ avec limt→+∞ϕ(t) = 0.
3. Pour tout k ∈ Z soit Ak :={t ∈R+ :µ(f > t)≤2k}. Montrer que pour tout k ∈Z on a Ak6=∅. Soit tk := infAk. Montrer que tk∈Ak.
4. Montrer que pour tout k∈Z on a Ak ⊆Ak+1 ettk≥tk+1.
5. Montrer que ]0,∞[⊆ ∪k∈ZAk et en d´eduire que tk →0 si k →+∞.
6. Montrer que la fonctionF :X×R+ 7→R+ d´efinie par F(x, t) := p tp−11{f(x)>t}
est A ⊗ B(R+) mesurable.
7. Montrer `a l’aide du Th´eor`eme de Fubini que Z
X×R+
F d(µ⊗λ1) =kfkpLp =p Z ∞
0
tp−1µ(f > t)dt.
8. Pour k ∈Z, on d´efinit ck := 2k/ptk. Montrer `a l’aide du Th´eor`eme de Fubini que
p Z ∞
0
tp−1
à X
k∈Z:tk>t
2k
!
dt =X
k∈Z
cpk.
9. Pour tout t > 0 soit k(t) := sup{k ∈ Z : tk > t} < +∞, avec sup∅ :=−∞.
Prouver que pour tout t >0
2k(t) ≤µ(f > t)≤2k(t)+1
et X
k∈Z:tk>t
2k= 2k(t)+1,
o`u par convention 2−∞ := 0.
10. En d´eduire que pour tout t >0 1
2 X
k∈Z:tk>t
2k ≤µ(f > t)≤ X
k∈Z:tk>t
2k
et que
kfkpLp ≤X
k∈Z
cpk ≤2kfkpLp.
2
