Soit f :R+ →R, λ-int´egrable sur R+

Texte intégral

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Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees

Licence de Math´ematiques

IP1-Math304 Ann´ee 04-05

Fiche no5

Ex 1. Calculer limn→+∞

R

]0,1[f(xn) dλ(x) lorsque a) f :]0,1[→R+ est d´ecroissante ;

b) f ∈L1R(λ) est positive et croissante.

Ex 2. Soit f :R+ →R, λ-int´egrable sur R+. Calculer

n→+∞lim Z

[0,+∞[

f(x)

1 +nsin2xdλ(x).

Ex 3. Etudier´

n→+∞lim 1 lnn

Z +∞

0

ln(n+x) cos(nx) 1 +x2 dx.

Ex 4. Etudier´

α→0lim Z 1

0

sinπ

x

α

dx, α >0.

Ex 5. Etudier´

n→+∞lim Z n

0

1− x

n n

ex/2dx et lim

n→+∞

Z n

0

1 + x

n n

e−2xdx.

Ex 6. Calculer Z 1

0

dy

1 +y2· En d´eduire la valeur de

+∞

X

k=0

(−1)k 2k+ 1. Ex 7. Int´egrale fonction de sa borne sup´erieure

Soitf une application Lebesgue-int´egrable sur un intervalle [a, b]. On pose, pour tout x∈[a, b], F(x) =R

[a,x]f(t) dλ(t). Montrer que F est continue et que F est d´erivable en tout point o`u f est continue.

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Ex 8. On pose

f(x) :=

Z +∞

0

sint t

2

e−xtdt.

1) V´erifier que l’on d´efinit ainsi la fonction f sur R+.

2) Montrer que f est continue sur R+ et deux fois d´erivable sur R+.

3) Calculer f00 et les limites en +∞ de f et f0. En d´eduire une expression simple def.

Ex 9. Fonction Gamma On pose pour tout x >0,

Γ(x) :=

Z +∞

0

tx−1e−tdt.

1) Montrer que la fonction Γ est continue, de classe C sur ]0,+∞[. Calculer les d´eriv´ees successives Γ(n) de Γ.

2) Montrer que

Γ(x) = lim

n→+∞

Z n

0

1− t

n n

tx−1dt.

3) Soient a et s deux r´eels strictement positifs. Calculer A := R+∞

0 ts−1e−atdt.

Montrer que pour s >1, on a Z +∞

0

ts−1

et−1dt=X

n≥1

Γ(s)n−s.

4) ExprimerAn:=R+∞

0 t2ne−t2dt`a partir de la fonction Γ. Montrer que la fonction t7→e−t2cosat est int´egrable sur [0,+∞[. Calculer l’int´egrale R+∞

0 e−t2cosatdt `a partir de Γ(n+ 1/2). En d´eduire la valeur de R+∞

0 e−t2cosatdt.

5) Autre m´ethode : On pose pour tout t∈R, fn(t) := e−t2/2

n

X

k=0

(−1)ka2kt2k (2k)!.

Quelle est la limite de la suitefnquandntend vers l’infini ? Par application du th´eor`eme de Lebesgue, retrouver l’int´egrale pr´ec´edente.

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