Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees
Licence de Math´ematiques
IP1-Math304 Ann´ee 04-05
Fiche no5
Ex 1. Calculer limn→+∞
R
]0,1[f(xn) dλ(x) lorsque a) f :]0,1[→R+ est d´ecroissante ;
b) f ∈L1R(λ) est positive et croissante.
Ex 2. Soit f :R+ →R, λ-int´egrable sur R+. Calculer
n→+∞lim Z
[0,+∞[
f(x)
1 +nsin2xdλ(x).
Ex 3. Etudier´
n→+∞lim 1 lnn
Z +∞
0
ln(n+x) cos(nx) 1 +x2 dx.
Ex 4. Etudier´
α→0lim Z 1
0
sinπ
x
α
dx, α >0.
Ex 5. Etudier´
n→+∞lim Z n
0
1− x
n n
ex/2dx et lim
n→+∞
Z n
0
1 + x
n n
e−2xdx.
Ex 6. Calculer Z 1
0
dy
1 +y2· En d´eduire la valeur de
+∞
X
k=0
(−1)k 2k+ 1. Ex 7. Int´egrale fonction de sa borne sup´erieure
Soitf une application Lebesgue-int´egrable sur un intervalle [a, b]. On pose, pour tout x∈[a, b], F(x) =R
[a,x]f(t) dλ(t). Montrer que F est continue et que F est d´erivable en tout point o`u f est continue.
Ex 8. On pose
f(x) :=
Z +∞
0
sint t
2
e−xtdt.
1) V´erifier que l’on d´efinit ainsi la fonction f sur R+.
2) Montrer que f est continue sur R+ et deux fois d´erivable sur R∗+.
3) Calculer f00 et les limites en +∞ de f et f0. En d´eduire une expression simple def.
Ex 9. Fonction Gamma On pose pour tout x >0,
Γ(x) :=
Z +∞
0
tx−1e−tdt.
1) Montrer que la fonction Γ est continue, de classe C∞ sur ]0,+∞[. Calculer les d´eriv´ees successives Γ(n) de Γ.
2) Montrer que
Γ(x) = lim
n→+∞
Z n
0
1− t
n n
tx−1dt.
3) Soient a et s deux r´eels strictement positifs. Calculer A := R+∞
0 ts−1e−atdt.
Montrer que pour s >1, on a Z +∞
0
ts−1
et−1dt=X
n≥1
Γ(s)n−s.
4) ExprimerAn:=R+∞
0 t2ne−t2dt`a partir de la fonction Γ. Montrer que la fonction t7→e−t2cosat est int´egrable sur [0,+∞[. Calculer l’int´egrale R+∞
0 e−t2cosatdt `a partir de Γ(n+ 1/2). En d´eduire la valeur de R+∞
0 e−t2cosatdt.
5) Autre m´ethode : On pose pour tout t∈R, fn(t) := e−t2/2
n
X
k=0
(−1)ka2kt2k (2k)!.
Quelle est la limite de la suitefnquandntend vers l’infini ? Par application du th´eor`eme de Lebesgue, retrouver l’int´egrale pr´ec´edente.
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