2 Int´ egrale d’une fonction

Int´egration

1 Primitives

Soit f : I → R une fonction d´ erivable sur I . Alors f admet une primitive, c’est-` a-dire une fonction F : I → R , telle que F ⁰ = f sur I. De plus, si F est une primitive de f , alors les primitives de f sont toutes les fonctions G de la forme :

G(x) = F (x) + k (k ∈ R ).

2 Int´ egrale d’une fonction

Soit a < b deux nombres r´ eels, f : [a, b] → R une fonction d´ erivable sur [a, b]. On appelle int´ egrale de f de a ` a b le nombre r´ eel d´ efini par

Z b a

f(t)dt = [F (t)] ^b _a = F (b) − F (a),

o` u F est une primitive de f . Ce nombre ne d´ epend pas de la primitive F choisie.

Propri´ et´ e de lin´ earit´ e : pour α, β ∈ R , f, g : [a, b] → R d´ erivables,

Z b a

αf(t) + βg(t)dt = α Z b

a

f(t)dt + β Z b

a

g(t)dt.

Interpr´ etation g´ eom´ etrique : si f > 0 sur [a, b], R b

a f (t)dt est l’aire de la surface comprise entre C f et l’axe des abscisses (dessin). Dans le cas g´ en´ eral, R b

a f (t)dt est l’aire alg´ ebrique de cette surface (dessin).

Cons´ equence : si f > 0 sur [a, b], alors R _b

a f (t)dt > 0.

3 Calcul int´ egral

On d´ esigne par cette expression : – soit le calcul d’une int´ egrale R b

a f (t)dt, le r´ esultat est un nombre.

– soit le calcul d’une primitive. On peut alors aussi utiliser la notation R

pour mener les calculs.

Exemple : R x

e ^t + t + ¹ _t dt. Le r´ esultat est une fonction.

3.1 Int´ egration ”directe”

Exemples + ”formules” sur les groupements du genre u.u ⁰ , u ⁰ /u, u ⁰ .v ⁰ ◦ u, _1+u ^u

,....

3.2 Int´ egration par partie

Soit u, v : [a, b] → R deux fonctions d´ erivables. Alors

Z b a

u ⁰ (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] ^b _a − Z b

a

u(t)v ⁰ (t)dt.

Exemples

3.3 Transformation de l’´ ecriture : d´ ecomposition en fraction rationnelle

3.4 Changement de variables