2 D´ ecomposition en ´ el´ ements simples d’une fraction rationnelle

Fractions rationnelles

1 Propri´ et´ es g´ en´ erales

1.1 Corps des fractions

Introduction. L’anneau KrXs est int`egre.

Le plus petit corps contenantKrXsest not´e KpXqet est construit comme Qest construit `a partir deZ. D´efinition. On d´efinit KpXq t<sup>P</sup><sub>Q</sub>, P P KrXs, QP KrXsrt0uu ensemble des fractions rationnelles `a une

ind´etermin´ee `a coefficients dans K, et l’on pose les conventions suivantes : (a) ´Egalit´e : P₁

Q1 P₂

Q2 ðñ P1Q2P2Q1

(b) Identification : P₁ et ^P₁¹ sont identiques

(c) Loi : P1

Q1

P2

Q2 P1Q2 P2Q1

Q1Q2

(d) Loi : P1

Q₁ P2

Q₂ P1P2

Q₁Q₂

Et alors pKpXq, ,q estun corps commutatif.

Remarque.

D´efinition. On dit que le repr´esentant ^P_Q d’une fraction rationnelle est irr´eductible si et seulement si les polynˆomesP etQsont premiers entre eux.

Propri´et´e.Toute fraction rationnelle poss`ede un repr´esentant irr´eductible unique (aux polynˆomes associ´es pr`es) Exemple. X³1

X²1

D´efinition. On appelledegr´e de la fraction rationnelle ^P_Q l’entier relatif :

deg P

Q

degP degQ

1.2 Pˆoles et racines d’une fraction

D´efinition. Soit F ^A_B unique repr´esentation irr´eductible. Une racine d’ordrekde Aest appel´eeracine de F d’ordrek; une racine d’ordrek deB est appel´eepˆole deF d’ordre k.

Exemple. SoitF ^X_p²_X^3X_1q4². Donner pˆoles et racines.

D´efinition. Soit F _B^A repr´esentation irr´eductible,

PF tens. des pˆoles deFu txP K t.q.Brpxq 0u

On d´efinit lafonction rationnelle associ´ee `a F par

Fr : KrPF Ñ K x ÞÑ ^A_B^r_r^p_p^x_x^q_q

Propri´et´e. Soit F etG deux fractions rationnelles. Si les fonctions rationnelles co¨ıncident sur l’intersection de leur ensemble de d´efinition, alors les fractions rationnelles sont ´egales : Si@xP KrPFYPGFrpxq rGpxq, alors F G.

Cons´equence.

2 D´ ecomposition en ´ el´ ements simples d’une fraction rationnelle

2.1 Partie enti`ere d’une fraction rationnelle Th´eor`eme.

SoitF ^A_B P KpXq. Alors il existe un uniqueE P KrXstel que

F E R

B avec degR B  0

Le polynˆome E s’appelle partie enti`ere de F. On appelle la fraction ^R_B la partie fractionnaire de F.

Remarque.

Exemple. Par division euclidienne, on a facilement

X⁴ X³2X² X1

X³3X² 1 X 4 10X²5 X³3X² 1

2.2 Un peu de th´eorie

2.2.1 S´eparation des pˆoles Th´eor`eme.

SoitF ^R_B une fraction rationnelle avec degF  0. On suppose que BB₁B₂ avec B₁^B₂1.

Alors il existe un unique couplepR₁, R₂q de polynˆomes tels que :

F R₁

B₁ R₂

B₂ avec deg R₁

B₁

 0 et deg R₂

B₂

 0

Corollaire. Toute fraction rationnelle F de degr´e strictement n´egatif, admettant a pour pˆole d’ordre k, se d´ecompose de fa¸con unique en :

F R₁

pXaq^k R₂ B₂ avec degpR1q  k et degpR2q  degpB2q.

Remarque. an’est pas pˆole de ^R_B²

2. D´efinition. Le terme R1

pXaq^k s’appelle lapartie polaire de F relative au pˆole a.

Corollaire. SoitF P KpXq de degr´e n´egatif, tel queB scind´e :

F R

¹n i1

pXaiq^ki

avec degR 

¸n i1

k_i

AlorsF se d´ecompose de fa¸con unique sous la forme

F

¸n i1

R_i

pXaiq^ki avec degRi  ki

2.2.2 D´ecomposition d’une partie polaire Th´eor`eme.

Soit _pX^R_aqk avec degR k une partie polaire de pˆolea. Il existe des constantes uniquesλ₁, . . . , λ_k telles que :

R pXaq^k

¸k j1

λj

pXaq^j

2.3 Cas o`u le d´enominateur est un polynˆome scind´e

Remarque.Les r´esultats de ce paragraphe s’appliquent aux fractions rationnelles ayant des pˆoles dont la somme des multiplicit´es vaut le degr´e du d´enominateur. C’est le cas de certaines fractions deRpXq, et de toutes celles de CpXq.

Th´eor`eme.

SoitF P KpXq,F A

B E R

B avecR0 ou degpRq  degpBqd’apr`es (2.1). On supposeBscind´e,

i.e. on suppose B b

¹n i1

pXa_iq^ki. AlorsF se d´ecompose de fa¸con unique, appel´ee d´ecomposition de F en ´el´ements simplessous la forme

F E

¸n i1

_k

¸i

j1

λij

pXaiq^j

looooooooomooooooooon

Partie polaire relative au pˆoleai

Int´erˆet. Ce th´eor`eme donne l’existence et l’unicit´e de la d´ecomposition, mais aussi la forme a priori de la d´ecomposition. Apr`es, « tous les moyens sont bons» pour trouver les coefficients.

Exemple 0. 1 XpX 1q

Exemple 1. F X² 3X3 X² X6 Exemple 2. G 2X² 5X1

X³1 Exemple 3. H X² 3X 3

pX2q³

2.4 Techniques de calcul

Remarque. D’une fa¸con g´en´erale, il faut ´eviter la m´ethode d’identification des coefficients, M´ethode. Pour d´ecomposer F _B^A, o`uB est scind´e :

(a) On v´erifie que la fraction est sous forme irr´eductible (b) On calcule la partie enti`ere de F par division euclidienne

(c) On ´ecrit la d´ecomposition de d’Alembert deB

Bb

¹n i1

pXa_iq^ki

(d) On ´ecrit la forme g´en´erale de la d´ecomposition

F E

¸n i1

_k

¸i

j1

λij

pXa_iq^j

M´ethode.

(e) On d´etermine les coefficients : cas d’un pˆole simplepk_i 1q : M1. on a

λi Arpaiq Br¹paiq M2. on poseF₁ pXa_iqF et alors

λ_iF€₁pa_iq M´ethode.

(f) On d´etermine les coefficients : cas d’un pˆole doublepki 2q : On pose F1 pXaiq²F et on a

λi,2 F€1paiq

puisGF λ_i,2

pXaiq², fraction rationnelle pour laquellea_i est alors pˆole simple, et l’on peut appliquer (e).

(g) Pour un pˆole d’ordre plus ´elev´e, on suit les indications de l’´enonc´e, ou on g´en´eralise la m´ethode pr´ec´edente.

M´ethode. Quelques astuces qui all`egent les calculs :

(h) Si F P RpXq est `a d´ecomposer dans CpXq, alors les pˆoles strictement complexes sont deux `a deux conjugu´es, et par unicit´e de la d´ecomposition en ´el´ements simples, les coefficients correspondants `a 2 pˆoles conjugu´es seront des complexes conjugu´es.

(i) SiFr est paire ou impaire, alors on ´ecrit la d´ecomposition deFpXq etFpXqet on en d´eduit par unicit´e des relations entre les coefficients.

(j) Lorsqu’il ne reste qu’un ou deux coefficients `a trouver, on peut utiliser des valeurs particuli`eres simples,

ou la limite en 8 ou 8.

Exemple 1.

Exemple 2.

Exemple 3.

Exemple 4. D´ecomposer en ´el´ements simples dansCpXq la fraction rationnelle F 4 pX² 1q² Exemple 5. D´ecomposer en ´el´ements simples dansRpXq la fraction rationnelleG X⁴ 1

XpX²1q²

2.5 Cas g´en´eral d’une fraction de RpXq

Pr´esentation. Si l’on cherche `a d´ecomposer une fraction rationnelle en ´el´ements simples dansRrXs, il se peut que le d´enominateur ne soit pas scind´e. Il s’´ecrit alors

B b

¹n i1

pXa_iq^αi

¹m i1

pX² p_iX q_iq^βi

La d´ecomposition est encore possible, mais un peu plus complexe et a la forme suivante :

F E

¸n i1

_α

¸i

j1

λij

pXa_iq^j

_m

¸

i1

_β

¸i

j1

µijX νij

pX² p_iX q_iq^j

Remarque. Dans la pratique, ces termes s’obtiennent en adaptant la m´ethode pr´ec´edente. On peut aussi re- grouper les termes correspondants `a des pˆoles complexes conjugu´es de la d´ecomposition dansCpXq, mais ¸ca ne donne pas toujours directement des ´el´ements simples.

Exemple. Donner la d´ecomposition en ´el´ements simples de 1

X³pX² X 1q².

2.6 Utilisation de Maple

Exemple.

> G:=1/(X^4+4*X^3+3*X^2-4*X-4);

# G: 1

X⁴ 4X³ 3X²4X4

> convert(G,parfrac);

# 4

9pX 2q

1 3pX 2q²

1

18pX1q 1 2pX 1q

36.1Soit F2X3 X2X6etGX6 5X4 6X3 11X2 17X15 X2X6 (a)D´emontrersurcetexemplequ’ilexistepa,bqPR2 telsque Fa X2

b X3 (b)Onadmetqu’unr´esultatth´eoriqueaffirmel’existenceetl’unicit´e depa,bqPR2 telsqueFa X2b X3. CalculerF1pX2qFetF2pX3qF. EnutilisantF1etF2,d´eterminerlesvaleursdeaetb. (c)Montrerquel’onpeut´ecrireGAB X2X6o`uAetB sontdespolynˆomesetdegpBq 2 (d)Donnerlad´ecompositionen´el´ementssimplesdeG. fracrat_1.tex 36.2D´eterminerlad´ecompositionen´el´ementssimplessurCdes fractionsrationnellessuivantes: (a)FpXq1 X44X33X24X4 (b)FpXq3 X31 (c)FpXqX6 X2 1 pX1q3 fracrat_2.tex 36.3 (a)D´ecomposeren´el´ementssimplessurClafractionrationnelle FpXq1 XpX21q2. (b)Enregroupantlespartiespolairesrelativesauxpˆolesconjugu´es, donnerlad´ecompositionen´el´ementssimplessurRdeF. (c)End´eduire,l`ao`uc’estpossible,uneprimitivedelafonctionas- soci´ee`aF.

fracrat_3.tex 36.4D´ecomposeren´el´ementssimplesdansRpXqlafractionra- tionnelleRX81 X49 X25 X9 X X3X

fracrat_4.tex 36.5D´ecomposeren´el´ementssimplesdansCpXqouRpXqlesfrac- tionsrationnellessuivantes: paqX pX1q2pX2X1qpbqXpX6 1q pX21q2 pcqX4 p2X3qpX1q2pdqX2n X2n11pnPNq peqn! XpX1q...pXnqpfqX2 pXn1q pgq1 pX61qphqX2 X42cosαX21pαPRq fracrat_5.tex 36.6D´eterminerlalimitepournÑ8dessuitesd´efiniespar: paqUn

n¸ k2

1 kpk21qpbqVn

n¸ k2

3k2 1 k2pk21q2 pcqWn

n¸ k1

sin 1 kpk1q cos1 k cos 1 k1 fracrat_6.tex 36.7 (a)TrouveruneC.N.S.surpp,qqPR2 pourqu’ilexistedeuxr´eelsa etbtelsque X2 pXq pX21q2a pX1q2b pX1q2 (b)D´eterminerlescoefficientspa,b,cqpourqueX4 aX3 bX2 cX X3pX41q2 aitpourseulspˆolesr´eels:0pˆoletripleet1pˆolesimple.

fracrat_7.tex 36.8D´ecomposeren´el´ementssimplesdansRpXqlesfractionsra- tionnelles: FX7 2X X2pX21q2G1 X3p1X3q fracrat_8.tex 36.9D´ecomposeren´el´ementssimplessurCpXq: F1 Xn1 fracrat_9.tex 36.10D´ecomposeren´el´ementssimpleslafractionrationnelle: FX4 7X2 11X4 X2pX1q2

fracrat_12.tex 36.11D´eterminerlad´eriv´een-i`emede: 3x5 x36x211x6 fracrat_13.tex 36.12D´eterminerlad´eriv´een-i`emede: x3 x2x2 fracrat_14.tex 36.13R´esoudre,enpr´ecisantl’intervalledevalidit´edessolutions: x2 px1qy1 xpx2qy3px1q2 0 fracrat_22.tex