sin(t)U(t−π3) EXERCICE 2 D´ecomposer en ´el´ements simples

Lyc´ee Schuman Perret

Novembre 2020 s´erie d’exercices No 4 _{Cira 2}

EXERCICE 1 Calculer les transform´ees.

f₁(t) = (2t−1)U(t) f₂(t) =e^−5tU(t) f₃(t) = cos(3t)U(t)

f₄(t) = sin(5t)U(t) f₅(t) =e^2tU(t) f₆(t) =te^−5tU(t)

f₇(t) =e^−tcos(3t)U(t) f₈(t) =e^−tsin(5t)U(t) f₉(t) =U(t−1)

f₁₀(t) = (t−1)U(t−1) f₁₁(t) = cos(3t−π)U(t−π) f₁₂(t) = sin(t)U(t−^π₃)

EXERCICE 2 D´ecomposer en ´el´ements simples.

A= _(p+1)(p−2)¹ B= _(p+1)(p−2)^p+2 C= _p(p^p+12+1) D= _(p2+1)(p¹ −2)

E = _(p+1)(p¹2

−4) F = _(p−3)(p¹2

+4) G= _p(p2¹

+2) H = _(p+1)(p^p3

−2)

EXERCICE 3 Retrouver des originaux.

F₁(p) = _p+5² F₂(p) = _p2¹+9 F₃(p) = _p^p+12+4 F₄(p) = _p(p+2)¹

F₅(p) = ^e_p^−p2 F₆(p) = _p¹2(1−p)e^−2p F₇(p) =e^−pπ2_p2^p+4 F₈(p) = _p(p+1)^e−3p

F₉(p) = _(p+1)¹ 2 F₁₀(p) = _(p+2)¹ 2 F₁₁(p) = _(p+1)¹2

+1 F₁₂(p) = _(p+1)^e−p2

+4

EXERCICE 4 R´esoudre des ´equations diff´erentielles d’ordre 1.

(E₁)y^′+y=U(t) et y(0) = 1 (E₂) y^′+ 2y=tU(t) et y(0) = 1

(E₃)y^′+ 3y =e^−3tU(t) et y(0) = 1 (E₄) y^′+y= sin(3t)U(t) ety(0) = 1

EXERCICE 5 R´esoudre des ´equations diff´erentielles d’ordre 2.

(E₁)y^′′+ 3y^′+ 2y=U(t) ety(0) = 1 ety^′(0) = 0 (E₂)y^′′+ 4y=tU(t) et y(0) = 1 ety^′(0) = 0

EXERCICE 6 R´esoudre un syst`eme diff´erentiel.

R´esoudre







x^′ = 2x+ 3y x(0) = 1 y^′ =−3x+ 2y y(0) = 0

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EXERCICE 7 Un probl`eme de BTS.

Dans ce probl`eme, on s’int´eresse `a un filtre mod´elis´e math´ematiquement par l’´equation diff´erentielle suivante :

s^′(t) +s(t) = e(t) s(0) = 0

La fonction erepr´esente l’entr´ee aux bornes du filtre et la fonction sla sortie.

On admet que les fonctionseetsadmettent des transform´ees de Laplace respectivement not´ees E etS.

La fonction de transfertH du filtre est d´efinie par :

S(p) =H(p)×E(p)

On rappelle que la fonction ´echelon unit´e, not´eeU, est d´efinie par :







U(t) = 0 si t <0 U(t) = 1 si t≥0

1. Montrer que :H(p) = _p+1¹ .

2. La fonction eest d´efinie par :e(t) =tU(t)−(t−1)U(t−1).

a. Repr´esenter graphiquement la fonctione.

b. Montrer que :E(p) = _p¹2 (1−e^−p).

c. En d´eduireS(p).

d. D´eterminer les nombres r´eelsa, b etc tels que : _p²_(p+1)¹ = _p^a2 +^b_p +_p+1^c e. En d´eduire l’original sde S.

f. V´erifier que :











s(t) = 0 si t <0

s(t) = t−1 + e^−t si 0≤t <1 s(t) = 1 + (1−e)e^−t si 1≤t 3. a. Comparers(1⁻) et s(1⁺).

b. Calculers^′(t) et ´etudier son signe sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[.

c. En d´eduire le sens de variation de la fonctionssur l’intervalle ]0 : +∞[.

d. D´eterminer la limite de la fonction sen +∞.

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