Universit´e Lille I L3 Maths
2011-2012 M-52
DS1 - Vendredi 4 novembre 2011 Dur´ee 2h
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
La correction tiendra compte de la r´edaction. En particulier, on demande d’´enoncer pr´ecis´ement les th´eor`emes utilis´es.
Le bar`eme donn´e est indicatif.
Questions de cours(3 points)
a) Citer trois caract´erisations ´equivalentes de la compacit´e (dans le cas m´etrique).
b) SoitE =`∞l’ensemble des suites r´eelles born´ees muni deN∞. Pour toutk∈N, on pose u(k)= (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0, . . .)
o`u le 1 se trouve `a la ki`eme place. Montrer que (u(k))k est une suite d’´el´ements de E sans valeur d’adh´erence.
c) SoitDun espace topologique discret. Montrer que les composantes connexes deDsont les singletons.
Exercice 1 (9 points)
Soit (K, d) un espace compact m´etrique etf :K→K telle que
∀x6=y, d(f(x), f(y))< d(x, y) On cherche `a montrer quef a un unique point fixe.
a) Montrer que, sif a un point fixe, il est unique.
b) Dans cette question, on prendK= [0; 1] etf :x7→x2/2 : montrer que les hypoth`eses sont v´erifi´ees.
Que vaut supx6=y∈K |f(x)−f(y)|
|x−y| ? En d´eduire que f n’est pas strictement contractante. Pourrait-on appliquer le th´eor`eme du point fixe ?
c) On suppose par l’absurde quef n’a pas de point fixe.
i) Pourx∈K, on pose g(x) = d(f(f(x)),f(x))
d(f(x),x) . Montrer que g est bien d´efinie, born´ee et atteint ses bornes surK.
ii) En d´eduire qu’il existek∈[0; 1[ tel que∀x∈K, d(f(f(x)), f(x))≤kd(f(x), x).
iii) Soitx0∈K, on d´efinit par r´ecurrencexn+1=f(xn) pour toutn∈N. Montrer que la suite (xn)n
est de Cauchy.
iv) En d´eduire que (xn)n converge versl∈K. Que vautf(l) ? d) Conclure.
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Exercice 2 (9 points)
DansMn(R), on noteSn l’ensemble des matrices sym´etriques, Sn+ l’ensemble des matrices sym´etriques positives etO(n) l’ensemble des matrices orthogonales :
Sn={S∈ Mn(R)|tS=S}
Sn+={S ∈Sn|pour tout vecteur colonneX, tXSX ≥0}
O(n) ={O∈ M(R)|tOO=In}
On admet le r´esultat suivant : toute matriceinversibleM s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme
M =SO , o`u S∈ Sn+ et O∈ O(n). (1) Cette ´ecriture est appel´eed´ecomposition polairedeM.
a) Pourn= 1, d´ecrireS1, S1+ etO1.
b) Montrer queSn etSn+sont ferm´es dansMn(R).
c) Montrer queO(n) est compact.
d) SoitM ∈ Mn(R).
i) Montrer qu’il existe une suite (Mk) qui converge vers M, telle que pour tout k, il existe une matrice sym´etrique positive inversibleSk et une matrice orthogonaleOk v´erifiantMk=SkOk. ii) Montrer que la suite (Ok) admet une sous-suite Oϕ(k)
qui converge dansO(n) ; on note O sa limite.
iii) Exprimer Sk en fonction deMk et Ok. Comment se comporte la sous-suite (Sϕ(k)) ? iv) En d´eduire queM poss`ede une d´ecomposition polaire de la forme (1).
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