u k (t)e 2iπkx .

Analyse numérique et optimisation, MAP431

Corrigé du devoir à rendre le 8 avril 2008

(Sujetproposépar G. Allaire)

1 Diérenes nies

1. Déterminons(formellement du moins)les dérivéespartielles de

u(t, x) = X

k∈ Z

ˆ

u _k (t)e ^2iπkx .

Ona

∂u

∂t = X

k∈ Z

ˆ

u ^′ _k (t)e ^2iπkx

⁽¹⁾

etpour toutentier

j > 0

^,

∂ ^j u

∂x ^j = X

k∈Z

(2iπk) ^j u ˆ _k (t)e ^2iπkx .

⁽²⁾

Ondéduit de(1-2) etde l'équationdiérentielle vériée par

u

^que

ˆ

u ^′ _k + (2iπkV + 4νπ ² k ² )ˆ u _k = 0.

⁽³⁾

D'aprèslaondition initiale

u ˆ _k (0) = ˆ u _0,k

^{,ona don}

ˆ

u _k (t) = ˆ u _0,k e ^{−(4νπ 2 k 2 +2iπkV )t} .

Comme

(e ^2iπkx ) _k

^{est une base} Hibertiennede

L ² (0, 1)

^{et que}

|e ^{2iπkV t} | = 1

^,

ona

∂ ^j u

∂x ^j (t, ·)

2 L ²

= X

k

(2πk) ^2j |ˆ u _k (t)| ² = X

k

(2πk) ^2j e ^{−8νπ 2 k 2 t} |ˆ u ₀ (t)| ² .

Pour tout

t > 0

^{, lasuite}

(2πk) ^2j e ^{−8νπ 2 k 2 t}

^{onvergevers zero lorsque}

k

^tend

versl'inni.Ainsi, lasériepréédente estonvergente pour

t > 0

^et

^∂ _∂x ^{j u} j (t, ·)

appartient à

L ²

^dèsque

u ₀

^{appartient à}

L ² (0, 1)

^.

2. Onnote

F ∆x,∆t (n, j)

^{l'erreur de tronature dushéma, dénie par}

F _∆x,∆t (n, j) = U _j ⁿ⁺¹ − U _j ⁿ

∆t + V U _j+1 ⁿ − U _j−1 ⁿ

2∆x − θν U _j+1 ⁿ⁺¹ − 2U _j ⁿ⁺¹ + U _j−1 ⁿ⁺¹ (∆x) ²

− (1 − θ)ν U _j+1 ⁿ − 2U _j ⁿ + U _j−1 ⁿ

(∆x) ² ,

où

U _j ⁿ = u(n∆t, j∆x)

^.Déterminonsledéveloppementlimitéaupoint

(t, x) = (n∆t, j∆x)

^{de haun des termes}apparaissant dans l'expressionde l'erreur detronature. Pour lepremier terme,il vient

U _j ⁿ⁺¹ − U _j ⁿ

∆t = ∂u

∂t + ∆t 2

∂ ² u

∂t ² + O(∆t ² ),

Le développement du deuxième terme (pour des raisons de symétrie) ne

ontient quedes termesd'exposantspairs

U _j+1 ⁿ − U _j−1 ⁿ 2∆x = ∂u

∂x + ∆x ² 6

∂ ³ u

∂x ³ + O(∆x ⁴ ).

Il en est de même pour le développement du dernier terme de l'erreur de

tronature

U _j+1 ⁿ − 2U _j ⁿ + U _j−1 ⁿ

(∆x) ² = ∂ ² u

∂x ² + (∆x) ² 12

∂ ⁴ u

∂x ⁴ + O(∆x ⁴ ).

Enn, pour l'avant dernierterme,

U _j+1 ⁿ⁺¹ − 2U _j ⁿ⁺¹ + U _j−1 ⁿ⁺¹

(∆x) ² = ∂ ² u

∂x ² + ∆t ∂ ³ u

∂t∂x ² + (∆x) ² 12

∂ ⁴ u

∂x ⁴ + O(∆x ⁴ + ∆t ² ).

En rassemblant es résultatset en utilisant le fait que

u

^{estsolution de}

l'équationde onvetion diusion,on obtient

F _∆x,∆t (n, j) = ∆t 2

∂ ² u

∂t ² − V ∆x ² 6

∂ ³ u

∂x ³ − θν∆t ∂ ³ u

∂t∂x ² − θν(∆x) ² 12

∂ ⁴ u

∂x ⁴

− (1 − θ)ν (∆x) ² 12

∂ ⁴ u

∂x ⁴ + O((∆t) ² + (∆x) ⁴ ).

Ainsi, leshéma estau moinsd'ordre un en temps etdeux en espae.Nous

allons prouver qu'il s'agit en fait de l'ordre optimal. A et eet, il sut

d'éliminer les dérivées en temps dans l'expression de l'erreur de tronature

enexploitant l'équation vériée par

u

^{.En dérivant l'équationde onvetion}

deuxfois enespae, onobtient

∂ ³ u

∂t∂ ² x = ν ∂ ⁴ u

∂x ⁴ − V ∂ ³ u

∂x ³ .

Deplus,endérivantl'équationdeonvetion diusionparrapportautemps,

etenl'utilisant à nouveau, onen déduitque

∂ ² u

∂t ² = ν ² ∂ ⁴ u

∂x ⁴ − 2V ν ∂ ³ u

∂x ³ + V ² ∂ ² u

∂x ² .

F _∆x,∆t (n, j) = ∆t 2

V ² ∂ ² u

∂x ² − 2V ν(1 − θ) ∂ ³ u

∂x ³ + ν ² (1 − 2θ) ∂ ⁴ u

∂x ⁴

− (∆x) ² 6

V ∂ ³ u

∂x ³ + ν 2

∂ ⁴ u

∂x ⁴

+ O((∆t) ² + (∆x) ⁴ ).

Onne peut annuler ni le termeen fateur de

∆t

^{,ni leterme en fateur de}

∆x ²

^,saufsi

V

^{estnul.Danse as,onpeuthoisir}

θ = 1/2

^{etleshémaest}

aumoinsd'ordre deux enespae eten temps.

3. Lafontion 1-périodique

u ⁿ

^{vérie l'équation}

u ⁿ⁺¹ − u ⁿ

∆t + V u ⁿ (x + ∆x) − u ⁿ (x − ∆x) 2∆x

− θν u ⁿ⁺¹ (x + ∆x) − 2u ⁿ⁺¹ + u ⁿ⁺¹ (x + ∆x) (∆x) ²

− (1 − θ)ν u ⁿ (x + ∆x) − 2u ⁿ + u ⁿ (x + ∆x)

(∆x) ² = 0.

En eetuant la transformation de Fourier de ette équation, on en déduit

que

ˆ

u ⁿ⁺¹ _k − u ˆ ⁿ _k

∆t + V

2∆x (e ^2iπk∆x − e ^−2iπk∆x )ˆ u ⁿ _k

− θν

(∆x) ² (e ^2iπk∆x − 2 + e ^−2iπk∆x )ˆ u ⁿ⁺¹ _k

− (1 − θ)ν

(∆x) ² (e ^2iπk∆x − 2 + e ^−2iπk∆x )ˆ u ⁿ _k .

Onpeutainsiexprimer

u ⁿ⁺¹ _k

^enfontionde

u ⁿ _k

^.Pluspréisément,onobtient

u ⁿ⁺¹ _k = A(k)u ⁿ _k ,

où

A(k) = 1 − ^{4(1−θ)ν∆t} _(∆x) 2 sin ² (πk∆x) − i ^V _∆x ^∆t sin(2πk∆x) 1 + ^4θν∆t _(∆x) 2 sin ² (πk∆x) .

4. Dansleas

V = 0

^,l'expression de

A(k)

^{sesimplie souslaforme}

A(k) = (1 − 4(1 − θ)αs ² )/(1 + 4θαs ² ),

où

s = sin(kπ∆x)

^{. Pour tout}

k

^{, quels que soient}

0 ≤ θ ≤ 1

^et

α

^{, on a}

A(k) ≤ 1

^.Ainsi,

|A(k)| ≤ 1

^{sietseulement si}

A(k) ≥ −1

^{,'està diresi}

1 − 4(1 − θ)αs ² ≥ −(1 + 4θαs ² ),

1 − 2α(1 − 2θ)s ² ≥ 0.

Si

1 ≥ θ ≥ 1/2

^ou

1/2 > θ ≥ 0

^et

α ≤ (2 − 2θ) ⁻¹

^{, on a don}

|A(k)| ≤ 1

^.

Sousetteondition,onendéduitquelanorme

L ²

^de

u ˆ ⁿ

^(etdonde

u ⁿ

^)est

majorée uniformément. Le shéma est alors stableet, d'après le Théorème

de Lax, il est onvergent. De plus, l'erreur

L ²

^{du shéma est de l'ordre de}

(∆t) + (∆x) ²

^.

5. La partie réelle de

A(k)

^est indépendante de

V

^{. D'après la question}

préédente etsousles même onditions,on endéduit que

|A(k)| ² ≤ 1 +

V (∆t)s (∆x)(1 + 4θαs ² )

2

.

Comme

(∆x) ² = ν∆t/α

^{,il vient}

|A(k)| ² ≤ 1 + V ² ∆t ν

αs ² (1 + 4θαs ² ) ² .

Or

x/(1 + x) ² ≤ 1/4

^,ainsi

|A(k)| ² ≤ 1 + V ² ∆t 4ν .

Pour tout

n ≤ n ₀ = T /(∆t)

^{,ils'en suit lamajoration suivante}

|A(k)| ⁿ ≤

1 + V ² ∆t 4ν

n ⁰ /2

= e ^{n 0 ln(1+V 2 ∆t/(4ν))/2}

≤ e ^{V 2 n 0 ∆t/(8ν)} = e ^{V 2 T /(8ν)} .

La quantité

max _1≤n≤n 0 |A(k)| ⁿ

^{reste don} uniformément bornée.

6. LadémonstrationduThéorèmedeLax,énonésouslaondition

|A(k)| ≤ 1

^{,restevalable (motpour mot)souslaonditionmoinsrestritivede majo-}

ration uniformede

max _1≤n≤n 0 |A(k)| ⁿ

^.

2 Lax-Milgram

Soit

0 ≤ α < 2

^et

Ω

^{un ouvertbornérégulierde}

R ²

^.Onnote

(x ₁ , x ₂ )

^les

oordonnées d'unpoint

x ∈ Ω

^{.Soit unefontion}

f ∈ L ² (Ω)

^.Ononsidère







− ∂ ² u

∂x ² ₁ + α ∂ ² u

∂x 1 ∂x 2

− ∂ ² u

∂x ² ₂ = f

^dans

Ω

u = 0

^sur

∂Ω

(4)

On multiplie (4) par une fontion test régulière

φ

^{qui s'annule sur le bord}

∂Ω

^{,eton intègrepar parties. Onobtient} formellement

Z

Ω

∂u

∂x ₁

∂φ

∂x ₁ − α ∂u

∂x ₁

∂φ

∂x ₂ + ∂u

∂x ₂

∂φ

∂x ₂

dx = Z

Ω

f φ dx.

Onproposedon laformulation variationnelle :

trouver

u ∈ H ₀ ¹ (Ω)

^{tel que}

a(u, φ) = L(φ) ∀φ ∈ H ₀ ¹ (Ω),

ave

a(u, φ) = Z

Ω

∂u

∂x ₁

∂φ

∂x ₁ − α ∂u

∂x ₁

∂φ

∂x ₂ + ∂u

∂x ₂

∂φ

∂x ₂

dx

et

L(φ) = Z

Ω

f φ dx.

Pour démontrer l'existene et l'uniité de la solution de la formulation va-

riationnelleonutiliseleThéorème3.3.1deLax-Milgram.Onvériedon ses

hypothèses :

H ₀ ¹ (Ω)

^{est bien un espae de Hilbert,}

L(φ)

^est lassiquement une formelinéaire ontinue, et

a(u, φ)

^{est lairement bilinéaire ontinue.Le}

seulpoint déliatà vérierestla oerivité de

a(u, φ)

^:

a(u, u) =

Z

Ω

∂u

∂x ₁

2

− α ∂u

∂x ₁

∂u

∂x ₂ +

∂u

∂x ₂

2 ! dx

≥ (1 − α/2) Z

Ω

|∇u| ² dx ≥ Ckuk ² _H ¹

0 (Ω)

ave

C > 0

^{à ause de} l'inégalité de Poinaré. Don la forme bilinéaire est oerive et le théorème de Lax-Milgram assurel'existene et l'uniité de la

solutionde laformulation variationnelle.

Il reste à vérieren quelsens ona résoluleproblème auxlimites(4). Si

u

^{est régulier} ('est-à-dire ii si

u ∈ H ² (Ω)

^{), alors on utilise la formule de}

Green duThéorème 4.3.30

Z

Ω

∆u(x)v(x) dx = − Z

Ω

∇u(x) ·∇v(x) dx+

Z

∂Ω

∂u

∂n (x)v(x) ds ∀v ∈ H ¹ (Ω),

ainsiqu'une variante de e résultat

Z

Ω

∂ ² u

∂x ₁ ∂x ₂ v dx = − Z

Ω

∂u

∂x ₁

∂v

∂x ₂ dx + Z

∂Ω

∂u

∂x ₁ n 2 v ds ∀v ∈ H ¹ (Ω),

où

n ₂

^{désignelaomposantedelanormaleunitédansladiretion}

x ₂

^.Comme

la fontion test

φ ∈ H ₀ ¹ (Ω)

^{s'annule sur}

∂Ω

^{, on déduit de la} formulation variationnelle

Z

Ω

−∆u + α ∂ ² u

∂x ₁ ∂x ₂ − f

φ dx = 0 ∀φ ∈ C ₀ ^∞ (Ω)

−∆u + α ∂ ² u

∂x ₁ ∂x ₂ − f = 0

^{p.p. dans}

Ω.

Par ailleurson retrouve laondition auxlimites

u = 0

^{p.p. sur}

∂Ω

^grâeau

Théorème 4.3.13 detrae.

Si

u

^{n'est pas régulier, on peut néanmoins retrouver l'équation (4) en}

utilisant laDénition4.2.6 de ladivergene faible.Ondénit leveteur

τ = ∂u

∂x ₁ − α ∂u

∂x ₂ , ∂u

∂x ₂

∈ L ² (Ω) ²

quiadmetunedivergenefaiblevériant

−divτ = f ∈ L ² (Ω)

^{.Enremplaçant}

τ

^{par sadénitionon obtient bien(4).}

3 Problème

Soit

Ω

^{un ouvert borné régulier de}

R ^N

^{. Soit une fontion}

f ∈ L ² (Ω)

^.

Ons'intéresse à la reherhe d'unefontion

u(x)

^{et d'unnombre réel}

λ

^qui

vérient



 



 



−∆u + u + λ = f

^dans

Ω Z

Ω

u dx = 0

u = 0

^sur

∂Ω

(5)

1. Pour obtenir la formulation variationnelle de (5) on introduit l'espae

deHilbert

V =

v ∈ H ₀ ¹ (Ω)

^telque

Z

Ω

v dx = 0

qui est bien un espae de Hlbert omme sous-espae fermé de

H ₀ ¹ (Ω)

^{. On}

multiplie (5) par une fontion test

v ∈ V

^{et on intègre par parties. On re-}

marquequelaonstante

λ

^disparait!Laformulation variationnelle proposée estdon :trouver

u ∈ V

^telque

Z

Ω

(∇u · ∇v + uv) dx = Z

Ω

f v dx ∀v ∈ V.

2. ToutesleshypothèsesduthéorèmedeLax-Milgramsontlairementvéri-

ées,donilexisteuneuniquesolution

u

^deetteformulationvariationnelle.

3. On part de la formulation variationnelle et on proède à l'intégration

par parties "à l'envers" pour retrouver le problème aux limites (5). Pour

simplieron supposeque

u

^{est régulier.Onobtient}

Z

Ω

(∆u − u − f ) v dx = 0 ∀v ∈ V.

Malheureusement,

C _c ^∞ (Ω)

^{n'est pas dense dans}

V

^{à ause de la ontrainte}

d'intégrale nulle. Heureusement, on utilise l'astue suivante. Ondénit une

fontion

χ ∈ C _c ^∞ (Ω)

^{telle que}

R

Ω χ dx = 1

^{.Alors, pour tout}

φ ∈ C _c ^∞ (Ω)

^,la

fontion

v = φ − χ R

Ω φ dx

^{appartient à}

V

^{.Onendéduit que}

Z

Ω

∆u − u − f − Z

Ω

(∆u − u − f )χ dx

φ dx = 0 ∀φ ∈ C _c ^∞ (Ω),

'est-à-direque

∆u − u − f = Z

Ω

(∆u − u − f)χ dx = λ ∈ R

equidonnebien(5)pouruneuniquevaleur

λ ∈ R

^{.Laonditionauxlimites}

de Dirihlet estune onséquene du théorème de trae et plus partiulière-

ment duCorollaire 4.3.16.

4. Siondisrétise(5)parélémentsnisilfautaussidisrétiserlaontrainte

d'intégrale nulle pour toutes les fontions tests dans

V

^{(ontrainte qui est}

nonloale).Cen'est don pasévident a priori...

5. Pour surmonter les diultés préédentes on propose l'algorithme sui-

vant qui onstruit deux suites

u ⁿ ∈ H ₀ ¹ (Ω)

^et

λ ⁿ ∈ R

^{. On initialise}

λ ⁰

arbitrairement dans

R

^.Si

(u ⁿ , λ ⁿ )

^{estonnu,on alule}

u ⁿ⁺¹

^solutionde

−∆u ⁿ⁺¹ + u ⁿ⁺¹ + λ ⁿ = f

^dans

Ω

u ⁿ⁺¹ = 0

^sur

∂Ω

⁽⁶⁾

puis

λ ⁿ⁺¹ = λ ⁿ + ρ Z

Ω

u ⁿ⁺¹ dx

⁽⁷⁾

où

ρ > 0

^{est unnombrexé quel'on hosira plusloin.}

Le problème(6)permetdealuler

u ⁿ⁺¹

^enfontionde

λ ⁿ

^{:par lethéo-}

rème de Lax-Milgram il admet une unique solution dans

H ₀ ¹ (Ω)

^{. D'autre}

part, la formule (7) permet de aluler expliitement

λ ⁿ⁺¹

^{en fontion de}

(u ⁿ⁺¹ , λ ⁿ )

^{.Par onséquent,etalgorithme estbiendéni.}

6. Onpose

v ⁿ = u ⁿ − u

^,

µ ⁿ = λ ⁿ − λ

^{,e quidonnepar} soustrationde(5) à(6)

−∆v ⁿ⁺¹ + v ⁿ⁺¹ + µ ⁿ = 0

^dans

Ω

v ⁿ⁺¹ = 0

^sur

∂Ω

et

µ ⁿ⁺¹ = µ ⁿ + ρ R

Ω v ⁿ⁺¹ dx

^{. On multiplie l'équation pour}

v ⁿ⁺¹

^par

v ⁿ⁺¹

pour obtenir lapremière relation

kv ⁿ⁺¹ k ² + µ ⁿ Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx = 0.

Onmultiplie l'équation pour

µ ⁿ⁺¹

^par

µ ⁿ⁺¹

^{,e qui donne}

2 µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ

µ ⁿ⁺¹ − 2ρµ ⁿ⁺¹ Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx = 0

quiest équivalent à ladeuxième relation

|µ ⁿ⁺¹ | ² − |µ ⁿ | ² + |µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ | ² − 2ρµ ⁿ⁺¹ Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx = 0.

Cettedernièreéquation seréérit

|µ ⁿ⁺¹ | ² − |µ ⁿ | ² + |µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ | ² − 2ρµ ⁿ Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx = 2ρ(µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ ) Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx.

Onmajorealors lemembre dedroite par

2ρ(µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ ) R

Ω v ⁿ⁺¹ dx ≤ |µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ | ² + ρ ² R

Ω v ⁿ⁺¹ dx 2

≤ |µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ | ² + ρ ² |Ω| R

Ω |v ⁿ⁺¹ | ² dx

≤ |µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ | ² + ρ ² |Ω|kv ⁿ⁺¹ k ²

d'oùl'on déduitlatroisième relation i-dessous



 

 

 

 

 

 

kv ⁿ⁺¹ k ² + µ ⁿ Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx = 0

|µ ⁿ⁺¹ | ² − |µ ⁿ | ² + |µ ⁿ⁺¹ − µ ⁿ | ² − 2ρµ ⁿ⁺¹ Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx = 0

|µ ⁿ⁺¹ | ² − |µ ⁿ | ² − 2ρµ ⁿ Z

Ω

v ⁿ⁺¹ dx ≤ Cρ ² kv ⁿ⁺¹ k ²

(8)

ave

C = |Ω|

^.

7. Par addition de

2ρ

^{fois la première relation de (8) ave la troisième}

relationde (8)on obtient

|µ ⁿ⁺¹ | ² − |µ ⁿ | ² + (2ρ − Cρ ² )kv ⁿ⁺¹ k ² ≤ 0.

Ensommant en

n

^{on en déduit}

|µ ^{n 0} | ² + (2ρ − Cρ ² )

n 0

X

n=1

kv ⁿ k ² ≤ |µ ⁰ | ² .

Si

0 < ρ < C/2

^{,alors lasérie}

P +∞

n=1 kv ⁿ k ²

^{onverge, e quiimpliquequeson}

termegénéral

kv ⁿ k ²

^{tendvers0.Autrementdit,}

v ⁿ

^{tendvers0dans}

H ¹ (Ω)

^.

8. Si on multiplie l'équation pour

v ⁿ⁺¹

^{par la fontion test}

χ ∈ C _c ^∞ (Ω)

dénieun peu plushaut, ona

µ ⁿ = − Z

Ω

(∇v ⁿ⁺¹ · ∇χ + v ⁿ⁺¹ χ) dx.

Comme

v ⁿ

^{tendvers0 dans}

H ¹ (Ω)

^{,onen déduitque}

µ ⁿ

^{tendvers 0sousla}

même onditionsur

ρ

^.

Onadontrouvéunalgorithme(onvergent!)quin'utilisequelarésolu-

tionsans ontraintede problèmes auxlimites pour résoudreun problème

ave ontrainte.